Theorem ishil2 21672

Description: The predicate "is a Hilbert space" (over a *-division ring). (Contributed by NM, 7-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishil2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐻)
ishil2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐻)
ishil2.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝐻)
ishil2.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ishil2	⊢ (𝐻 ∈ Hil ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐶 (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝐻,𝑠

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑠)   ⊥ (𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem ishil2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ (proj‘𝐻) = (proj‘𝐻)
2		ishil2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝐻)
3	1, 2	ishil 21671	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Hil ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ dom (proj‘𝐻) = 𝐶))
4	1, 2	pjcss 21669	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → dom (proj‘𝐻) ⊆ 𝐶)
5		eqss 3947	. . . . . . 7 ⊢ (dom (proj‘𝐻) = 𝐶 ↔ (dom (proj‘𝐻) ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ dom (proj‘𝐻)))
6	5	baib 535	. . . . . 6 ⊢ (dom (proj‘𝐻) ⊆ 𝐶 → (dom (proj‘𝐻) = 𝐶 ↔ 𝐶 ⊆ dom (proj‘𝐻)))
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → (dom (proj‘𝐻) = 𝐶 ↔ 𝐶 ⊆ dom (proj‘𝐻)))
8		dfss3 3920	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ dom (proj‘𝐻) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐶 𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻))
9	7, 8	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → (dom (proj‘𝐻) = 𝐶 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐶 𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻)))
10		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝐻) = (LSubSp‘𝐻)
11	2, 10	csslss 21644	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ PreHil ∧ 𝑠 ∈ 𝐶) → 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝐻))
12		ishil2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐻)
13		ishil2.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝐻)
14		ishil2.s	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐻)
15	12, 10, 13, 14, 1	pjdm2 21664	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → (𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻) ↔ (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝐻) ∧ (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉)))
16	15	baibd 539	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ PreHil ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝐻)) → (𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻) ↔ (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))
17	11, 16	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ PreHil ∧ 𝑠 ∈ 𝐶) → (𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻) ↔ (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))
18	17	ralbidva 3155	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → (∀𝑠 ∈ 𝐶 𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐶 (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))
19	9, 18	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → (dom (proj‘𝐻) = 𝐶 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐶 (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))
20	19	pm5.32i 574	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ PreHil ∧ dom (proj‘𝐻) = 𝐶) ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐶 (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))
21	3, 20	bitri 275	1 ⊢ (𝐻 ∈ Hil ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐶 (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   ⊆ wss 3899  dom cdm 5622  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  LSSumclsm 19561  LSubSpclss 20880  PreHilcphl 21577  ocvcocv 21613  ClSubSpccss 21614  projcpj 21653  Hilchil 21654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19051  df-ghm 19140  df-cntz 19244  df-lsm 19563  df-pj1 19564  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20271  df-rhm 20406  df-staf 20770  df-srng 20771  df-lmod 20811  df-lss 20881  df-lmhm 20972  df-lvec 21053  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-phl 21579  df-ocv 21616  df-css 21617  df-pj 21656  df-hil 21657

This theorem is referenced by:  hlhilhillem  42159