MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishil2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ishil2 21610
Description: The predicate "is a Hilbert space" (over a *-division ring). (Contributed by NM, 7-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ishil2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π»)
ishil2.s βŠ• = (LSSumβ€˜π»)
ishil2.o βŠ₯ = (ocvβ€˜π»)
ishil2.c 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
ishil2 (𝐻 ∈ Hil ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐢 (𝑠 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘ )) = 𝑉))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑠   𝐻,𝑠
Allowed substitution hints:   βŠ• (𝑠)   βŠ₯ (𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem ishil2
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (projβ€˜π») = (projβ€˜π»)
2 ishil2.c . . 3 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π»)
31, 2ishil 21609 . 2 (𝐻 ∈ Hil ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ dom (projβ€˜π») = 𝐢))
41, 2pjcss 21607 . . . . . 6 (𝐻 ∈ PreHil β†’ dom (projβ€˜π») βŠ† 𝐢)
5 eqss 3992 . . . . . . 7 (dom (projβ€˜π») = 𝐢 ↔ (dom (projβ€˜π») βŠ† 𝐢 ∧ 𝐢 βŠ† dom (projβ€˜π»)))
65baib 535 . . . . . 6 (dom (projβ€˜π») βŠ† 𝐢 β†’ (dom (projβ€˜π») = 𝐢 ↔ 𝐢 βŠ† dom (projβ€˜π»)))
74, 6syl 17 . . . . 5 (𝐻 ∈ PreHil β†’ (dom (projβ€˜π») = 𝐢 ↔ 𝐢 βŠ† dom (projβ€˜π»)))
8 dfss3 3965 . . . . 5 (𝐢 βŠ† dom (projβ€˜π») ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐢 𝑠 ∈ dom (projβ€˜π»))
97, 8bitrdi 287 . . . 4 (𝐻 ∈ PreHil β†’ (dom (projβ€˜π») = 𝐢 ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐢 𝑠 ∈ dom (projβ€˜π»)))
10 eqid 2726 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π») = (LSubSpβ€˜π»)
112, 10csslss 21580 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ PreHil ∧ 𝑠 ∈ 𝐢) β†’ 𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π»))
12 ishil2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π»)
13 ishil2.o . . . . . . . 8 βŠ₯ = (ocvβ€˜π»)
14 ishil2.s . . . . . . . 8 βŠ• = (LSSumβ€˜π»)
1512, 10, 13, 14, 1pjdm2 21602 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ PreHil β†’ (𝑠 ∈ dom (projβ€˜π») ↔ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π») ∧ (𝑠 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘ )) = 𝑉)))
1615baibd 539 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ PreHil ∧ 𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π»)) β†’ (𝑠 ∈ dom (projβ€˜π») ↔ (𝑠 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘ )) = 𝑉))
1711, 16syldan 590 . . . . 5 ((𝐻 ∈ PreHil ∧ 𝑠 ∈ 𝐢) β†’ (𝑠 ∈ dom (projβ€˜π») ↔ (𝑠 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘ )) = 𝑉))
1817ralbidva 3169 . . . 4 (𝐻 ∈ PreHil β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐢 𝑠 ∈ dom (projβ€˜π») ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐢 (𝑠 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘ )) = 𝑉))
199, 18bitrd 279 . . 3 (𝐻 ∈ PreHil β†’ (dom (projβ€˜π») = 𝐢 ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐢 (𝑠 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘ )) = 𝑉))
2019pm5.32i 574 . 2 ((𝐻 ∈ PreHil ∧ dom (projβ€˜π») = 𝐢) ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐢 (𝑠 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘ )) = 𝑉))
213, 20bitri 275 1 (𝐻 ∈ Hil ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐢 (𝑠 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘ )) = 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  dom cdm 5669  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  LSSumclsm 19552  LSubSpclss 20776  PreHilcphl 21513  ocvcocv 21549  ClSubSpccss 21550  projcpj 21591  Hilchil 21592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-lsm 19554  df-pj1 19555  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-rhm 20372  df-staf 20686  df-srng 20687  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lmhm 20868  df-lvec 20949  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-phl 21515  df-ocv 21552  df-css 21553  df-pj 21594  df-hil 21595
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  41346
  Copyright terms: Public domain W3C validator