MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ishil2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ishil2 21141
Description: The predicate "is a Hilbert space" (over a *-division ring). (Contributed by NM, 7-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ishil2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π»)
ishil2.s βŠ• = (LSSumβ€˜π»)
ishil2.o βŠ₯ = (ocvβ€˜π»)
ishil2.c 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
ishil2 (𝐻 ∈ Hil ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐢 (𝑠 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘ )) = 𝑉))
Distinct variable groups:   𝐢,𝑠   𝐻,𝑠
Allowed substitution hints:   βŠ• (𝑠)   βŠ₯ (𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem ishil2
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (projβ€˜π») = (projβ€˜π»)
2 ishil2.c . . 3 𝐢 = (ClSubSpβ€˜π»)
31, 2ishil 21140 . 2 (𝐻 ∈ Hil ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ dom (projβ€˜π») = 𝐢))
41, 2pjcss 21138 . . . . . 6 (𝐻 ∈ PreHil β†’ dom (projβ€˜π») βŠ† 𝐢)
5 eqss 3960 . . . . . . 7 (dom (projβ€˜π») = 𝐢 ↔ (dom (projβ€˜π») βŠ† 𝐢 ∧ 𝐢 βŠ† dom (projβ€˜π»)))
65baib 537 . . . . . 6 (dom (projβ€˜π») βŠ† 𝐢 β†’ (dom (projβ€˜π») = 𝐢 ↔ 𝐢 βŠ† dom (projβ€˜π»)))
74, 6syl 17 . . . . 5 (𝐻 ∈ PreHil β†’ (dom (projβ€˜π») = 𝐢 ↔ 𝐢 βŠ† dom (projβ€˜π»)))
8 dfss3 3933 . . . . 5 (𝐢 βŠ† dom (projβ€˜π») ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐢 𝑠 ∈ dom (projβ€˜π»))
97, 8bitrdi 287 . . . 4 (𝐻 ∈ PreHil β†’ (dom (projβ€˜π») = 𝐢 ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐢 𝑠 ∈ dom (projβ€˜π»)))
10 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π») = (LSubSpβ€˜π»)
112, 10csslss 21111 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ PreHil ∧ 𝑠 ∈ 𝐢) β†’ 𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π»))
12 ishil2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π»)
13 ishil2.o . . . . . . . 8 βŠ₯ = (ocvβ€˜π»)
14 ishil2.s . . . . . . . 8 βŠ• = (LSSumβ€˜π»)
1512, 10, 13, 14, 1pjdm2 21133 . . . . . . 7 (𝐻 ∈ PreHil β†’ (𝑠 ∈ dom (projβ€˜π») ↔ (𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π») ∧ (𝑠 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘ )) = 𝑉)))
1615baibd 541 . . . . . 6 ((𝐻 ∈ PreHil ∧ 𝑠 ∈ (LSubSpβ€˜π»)) β†’ (𝑠 ∈ dom (projβ€˜π») ↔ (𝑠 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘ )) = 𝑉))
1711, 16syldan 592 . . . . 5 ((𝐻 ∈ PreHil ∧ 𝑠 ∈ 𝐢) β†’ (𝑠 ∈ dom (projβ€˜π») ↔ (𝑠 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘ )) = 𝑉))
1817ralbidva 3169 . . . 4 (𝐻 ∈ PreHil β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐢 𝑠 ∈ dom (projβ€˜π») ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐢 (𝑠 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘ )) = 𝑉))
199, 18bitrd 279 . . 3 (𝐻 ∈ PreHil β†’ (dom (projβ€˜π») = 𝐢 ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐢 (𝑠 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘ )) = 𝑉))
2019pm5.32i 576 . 2 ((𝐻 ∈ PreHil ∧ dom (projβ€˜π») = 𝐢) ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐢 (𝑠 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘ )) = 𝑉))
213, 20bitri 275 1 (𝐻 ∈ Hil ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐢 (𝑠 βŠ• ( βŠ₯ β€˜π‘ )) = 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3911  dom cdm 5634  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  LSSumclsm 19421  LSubSpclss 20407  PreHilcphl 21044  ocvcocv 21080  ClSubSpccss 21081  projcpj 21122  Hilchil 21123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-map 8770  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-lsm 19423  df-pj1 19424  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-rnghom 20153  df-staf 20318  df-srng 20319  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lmhm 20498  df-lvec 20579  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-phl 21046  df-ocv 21083  df-css 21084  df-pj 21125  df-hil 21126
This theorem is referenced by:  hlhilhillem  40473
  Copyright terms: Public domain W3C validator