Theorem ishil2 21658

Description: The predicate "is a Hilbert space" (over a *-division ring). (Contributed by NM, 7-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishil2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐻)
ishil2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐻)
ishil2.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝐻)
ishil2.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ishil2	⊢ (𝐻 ∈ Hil ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐶 (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝐻,𝑠

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑠)   ⊥ (𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem ishil2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. . 3 ⊢ (proj‘𝐻) = (proj‘𝐻)
2		ishil2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝐻)
3	1, 2	ishil 21657	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Hil ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ dom (proj‘𝐻) = 𝐶))
4	1, 2	pjcss 21655	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → dom (proj‘𝐻) ⊆ 𝐶)
5		eqss 3995	. . . . . . 7 ⊢ (dom (proj‘𝐻) = 𝐶 ↔ (dom (proj‘𝐻) ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ dom (proj‘𝐻)))
6	5	baib 534	. . . . . 6 ⊢ (dom (proj‘𝐻) ⊆ 𝐶 → (dom (proj‘𝐻) = 𝐶 ↔ 𝐶 ⊆ dom (proj‘𝐻)))
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → (dom (proj‘𝐻) = 𝐶 ↔ 𝐶 ⊆ dom (proj‘𝐻)))
8		dfss3 3968	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ dom (proj‘𝐻) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐶 𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻))
9	7, 8	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → (dom (proj‘𝐻) = 𝐶 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐶 𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻)))
10		eqid 2727	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝐻) = (LSubSp‘𝐻)
11	2, 10	csslss 21628	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ PreHil ∧ 𝑠 ∈ 𝐶) → 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝐻))
12		ishil2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐻)
13		ishil2.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝐻)
14		ishil2.s	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐻)
15	12, 10, 13, 14, 1	pjdm2 21650	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → (𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻) ↔ (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝐻) ∧ (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉)))
16	15	baibd 538	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ PreHil ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝐻)) → (𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻) ↔ (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))
17	11, 16	syldan 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ PreHil ∧ 𝑠 ∈ 𝐶) → (𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻) ↔ (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))
18	17	ralbidva 3171	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → (∀𝑠 ∈ 𝐶 𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐶 (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))
19	9, 18	bitrd 278	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → (dom (proj‘𝐻) = 𝐶 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐶 (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))
20	19	pm5.32i 573	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ PreHil ∧ dom (proj‘𝐻) = 𝐶) ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐶 (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))
21	3, 20	bitri 274	1 ⊢ (𝐻 ∈ Hil ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐶 (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3057   ⊆ wss 3947  dom cdm 5680  ‘cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  LSSumclsm 19594  LSubSpclss 20820  PreHilcphl 21561  ocvcocv 21597  ClSubSpccss 21598  projcpj 21639  Hilchil 21640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-cntz 19273  df-lsm 19596  df-pj1 19597  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20278  df-rhm 20416  df-staf 20730  df-srng 20731  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-lmhm 20912  df-lvec 20993  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-phl 21563  df-ocv 21600  df-css 21601  df-pj 21642  df-hil 21643

This theorem is referenced by:  hlhilhillem  41441