Theorem ishil2 20477

Description: The predicate "is a Hilbert space" (over a *-division ring). (Contributed by NM, 7-Oct-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishil2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝐻)
ishil2.s	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐻)
ishil2.o	⊢ ⊥ = (ocv‘𝐻)
ishil2.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
ishil2	⊢ (𝐻 ∈ Hil ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐶 (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑠   𝐻,𝑠

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑠)   ⊥ (𝑠)   𝑉(𝑠)

Proof of Theorem ishil2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2759	. . 3 ⊢ (proj‘𝐻) = (proj‘𝐻)
2		ishil2.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝐻)
3	1, 2	ishil 20476	. 2 ⊢ (𝐻 ∈ Hil ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ dom (proj‘𝐻) = 𝐶))
4	1, 2	pjcss 20474	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → dom (proj‘𝐻) ⊆ 𝐶)
5		eqss 3908	. . . . . . 7 ⊢ (dom (proj‘𝐻) = 𝐶 ↔ (dom (proj‘𝐻) ⊆ 𝐶 ∧ 𝐶 ⊆ dom (proj‘𝐻)))
6	5	baib 540	. . . . . 6 ⊢ (dom (proj‘𝐻) ⊆ 𝐶 → (dom (proj‘𝐻) = 𝐶 ↔ 𝐶 ⊆ dom (proj‘𝐻)))
7	4, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → (dom (proj‘𝐻) = 𝐶 ↔ 𝐶 ⊆ dom (proj‘𝐻)))
8		dfss3 3881	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ⊆ dom (proj‘𝐻) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐶 𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻))
9	7, 8	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → (dom (proj‘𝐻) = 𝐶 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐶 𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻)))
10		eqid 2759	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝐻) = (LSubSp‘𝐻)
11	2, 10	csslss 20449	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ PreHil ∧ 𝑠 ∈ 𝐶) → 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝐻))
12		ishil2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐻)
13		ishil2.o	. . . . . . . 8 ⊢ ⊥ = (ocv‘𝐻)
14		ishil2.s	. . . . . . . 8 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐻)
15	12, 10, 13, 14, 1	pjdm2 20469	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → (𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻) ↔ (𝑠 ∈ (LSubSp‘𝐻) ∧ (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉)))
16	15	baibd 544	. . . . . 6 ⊢ ((𝐻 ∈ PreHil ∧ 𝑠 ∈ (LSubSp‘𝐻)) → (𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻) ↔ (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))
17	11, 16	syldan 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ PreHil ∧ 𝑠 ∈ 𝐶) → (𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻) ↔ (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))
18	17	ralbidva 3126	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → (∀𝑠 ∈ 𝐶 𝑠 ∈ dom (proj‘𝐻) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐶 (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))
19	9, 18	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ PreHil → (dom (proj‘𝐻) = 𝐶 ↔ ∀𝑠 ∈ 𝐶 (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))
20	19	pm5.32i 579	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ PreHil ∧ dom (proj‘𝐻) = 𝐶) ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐶 (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))
21	3, 20	bitri 278	1 ⊢ (𝐻 ∈ Hil ↔ (𝐻 ∈ PreHil ∧ ∀𝑠 ∈ 𝐶 (𝑠 ⊕ ( ⊥ ‘𝑠)) = 𝑉))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ∀wral 3071   ⊆ wss 3859  dom cdm 5525  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Basecbs 16534  LSSumclsm 18819  LSubSpclss 19764  PreHilcphl 20382  ocvcocv 20418  ClSubSpccss 20419  projcpj 20458  Hilchil 20459

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-tpos 7903  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-0g 16766  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-mhm 18015  df-grp 18165  df-minusg 18166  df-sbg 18167  df-subg 18336  df-ghm 18416  df-cntz 18507  df-lsm 18821  df-pj1 18822  df-cmn 18968  df-abl 18969  df-mgp 19301  df-ur 19313  df-ring 19360  df-oppr 19437  df-rnghom 19531  df-staf 19677  df-srng 19678  df-lmod 19697  df-lss 19765  df-lmhm 19855  df-lvec 19936  df-sra 20005  df-rgmod 20006  df-phl 20384  df-ocv 20421  df-css 20422  df-pj 20461  df-hil 20462

This theorem is referenced by:  hlhilhillem  39529