MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cldcss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cldcss 24757
Description: Corollary of the Projection Theorem: A topologically closed subspace is algebraically closed in Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cldcss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
cldcss.j 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
cldcss.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
cldcss.c 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cldcss (𝑊 ∈ ℂHil → (𝑈𝐶 ↔ (𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))))

Proof of Theorem cldcss
StepHypRef Expression
1 hlphl 24681 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2 cldcss.c . . . . 5 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3 cldcss.l . . . . 5 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3csslss 21048 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈𝐿)
51, 4sylan 580 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈𝐿)
6 hlcph 24680 . . . 4 (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
7 cldcss.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
82, 7csscld 24565 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
96, 8sylan 580 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐶) → 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
105, 9jca 512 . 2 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐶) → (𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
1113ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ PreHil)
12 eqid 2737 . . . . . 6 (proj‘𝑊) = (proj‘𝑊)
1312, 2pjcss 21075 . . . . 5 (𝑊 ∈ PreHil → dom (proj‘𝑊) ⊆ 𝐶)
1411, 13syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → dom (proj‘𝑊) ⊆ 𝐶)
157, 3, 12pjth2 24756 . . . 4 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ∈ dom (proj‘𝑊))
1614, 15sseldd 3943 . . 3 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈𝐶)
17163expb 1120 . 2 ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ (𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))) → 𝑈𝐶)
1810, 17impbida 799 1 (𝑊 ∈ ℂHil → (𝑈𝐶 ↔ (𝑈𝐿𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3908  dom cdm 5631  cfv 6493  Basecbs 17043  TopOpenctopn 17263  LSubSpclss 20345  PreHilcphl 20981  ClSubSpccss 21018  projcpj 21059  Clsdccld 22319  ℂPreHilccph 24482  ℂHilchl 24650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-tpos 8149  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-fi 9305  df-sup 9336  df-inf 9337  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-q 12828  df-rp 12870  df-xneg 12987  df-xadd 12988  df-xmul 12989  df-ioo 13222  df-ico 13224  df-icc 13225  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-cj 14944  df-re 14945  df-im 14946  df-sqrt 15080  df-abs 15081  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-rest 17264  df-topn 17265  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-topgen 17285  df-pt 17286  df-prds 17289  df-xrs 17344  df-qtop 17349  df-imas 17350  df-xps 17352  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-mhm 18561  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-mulg 18832  df-subg 18884  df-ghm 18965  df-cntz 19056  df-lsm 19377  df-pj1 19378  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-cring 19921  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-invr 20054  df-dvr 20065  df-rnghom 20099  df-drng 20140  df-subrg 20173  df-staf 20257  df-srng 20258  df-lmod 20277  df-lss 20346  df-lmhm 20436  df-lvec 20517  df-sra 20586  df-rgmod 20587  df-psmet 20741  df-xmet 20742  df-met 20743  df-bl 20744  df-mopn 20745  df-fbas 20746  df-fg 20747  df-cnfld 20750  df-phl 20983  df-ipf 20984  df-ocv 21020  df-css 21021  df-pj 21062  df-top 22195  df-topon 22212  df-topsp 22234  df-bases 22248  df-cld 22322  df-ntr 22323  df-cls 22324  df-nei 22401  df-cn 22530  df-cnp 22531  df-t1 22617  df-haus 22618  df-cmp 22690  df-tx 22865  df-hmeo 23058  df-fil 23149  df-flim 23242  df-fcls 23244  df-xms 23625  df-ms 23626  df-tms 23627  df-nm 23890  df-ngp 23891  df-tng 23892  df-nlm 23894  df-cncf 24193  df-clm 24378  df-cph 24484  df-tcph 24485  df-cfil 24571  df-cmet 24573  df-cms 24651  df-bn 24652  df-hl 24653
This theorem is referenced by:  cldcss2  24758
  Copyright terms: Public domain W3C validator