Theorem cldcss 25675

Description: Corollary of the Projection Theorem: A topologically closed subspace is algebraically closed in Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cldcss.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
cldcss.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
cldcss.l	⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
cldcss.c	⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cldcss	⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (𝑈 ∈ 𝐶 ↔ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))))

Proof of Theorem cldcss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlphl 25599	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
2		cldcss.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (ClSubSp‘𝑊)
3		cldcss.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
4	2, 3	csslss 21910	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ 𝐿)
5	1, 4	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ 𝐿)
6		hlcph 25598	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
7		cldcss.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝑊)
8	2, 7	csscld 25483	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
9	6, 8	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))
10	5, 9	jca 521	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐶) → (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)))
11	1	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑊 ∈ PreHil)
12		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (proj‘𝑊) = (proj‘𝑊)
13	12, 2	pjcss 21935	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → dom (proj‘𝑊) ⊆ 𝐶)
14	11, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → dom (proj‘𝑊) ⊆ 𝐶)
15	7, 3, 12	pjth2 25674	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ∈ dom (proj‘𝑊))
16	14, 15	sseldd 3935	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐶)
17	16	3expb 1138	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))) → 𝑈 ∈ 𝐶)
18	10, 17	impbida 813	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (𝑈 ∈ 𝐶 ↔ (𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 𝑈 ∈ (Clsd‘𝐽))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  Basecbs 17307  TopOpenctopn 17512  LSubSpclss 21121  PreHilcphl 21843  ClSubSpccss 21880  projcpj 21919  Clsdccld 23247  ℂPreHilccph 25400  ℂHilchl 25568

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207  ax-mulf 11208

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-starv 17363  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-unif 17371  df-hom 17372  df-cco 17373  df-rest 17513  df-topn 17514  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-topgen 17534  df-pt 17535  df-prds 17538  df-xrs 17594  df-qtop 17599  df-imas 17600  df-xps 17602  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-mhm 18897  df-submnd 18898  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-mulg 19197  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-cntz 19450  df-lsm 19769  df-pj1 19770  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-cring 20381  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-dvr 20548  df-rhm 20619  df-subrng 20714  df-subrg 20738  df-drng 20898  df-staf 21011  df-srng 21012  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-lmhm 21212  df-lvec 21293  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-fbas 21588  df-fg 21589  df-cnfld 21592  df-phl 21845  df-ipf 21846  df-ocv 21882  df-css 21883  df-pj 21922  df-top 23125  df-topon 23142  df-topsp 23164  df-bases 23177  df-cld 23250  df-ntr 23251  df-cls 23252  df-nei 23329  df-cn 23458  df-cnp 23459  df-t1 23545  df-haus 23546  df-cmp 23618  df-tx 23794  df-hmeo 23987  df-fil 24078  df-flim 24171  df-fcls 24173  df-xms 24552  df-ms 24553  df-tms 24554  df-nm 24814  df-ngp 24815  df-tng 24816  df-nlm 24818  df-cncf 25112  df-clm 25297  df-cph 25402  df-tcph 25403  df-cfil 25489  df-cmet 25491  df-cms 25569  df-bn 25570  df-hl 25571

This theorem is used by:  cldcss2  25676