Theorem chlcsschl 25367

Description: A closed subspace of a subcomplex Hilbert space is a subcomplex Hilbert space. (Contributed by NM, 10-Apr-2008.) (Revised by AV, 8-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
cmslsschl.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
chlcsschl.s	⊢ 𝑆 = (ClSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
chlcsschl	⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂHil)

Proof of Theorem chlcsschl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlbn 25352	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ Ban)
2		hlcph 25353	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ ℂPreHil)
3	1, 2	jca 510	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → (𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil))
4		cmslsschl.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
5		chlcsschl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (ClSubSp‘𝑊)
6	4, 5	bncssbn 25363	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Ban ∧ 𝑊 ∈ ℂPreHil) ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ Ban)
7	3, 6	sylan 578	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ Ban)
8		hlphl 25354	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂHil → 𝑊 ∈ PreHil)
9		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
10	5, 9	csslss 21657	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
11	8, 10	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊))
12	4, 9	cphsscph 25240	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂPreHil ∧ 𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊)) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)
13	2, 11, 12	syl2an2r 683	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂPreHil)
14		ishl 25351	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℂHil ↔ (𝑋 ∈ Ban ∧ 𝑋 ∈ ℂPreHil))
15	7, 13, 14	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂHil ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ ℂHil)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ↾_s cress 17228  LSubSpclss 20844  PreHilcphl 21590  ClSubSpccss 21627  ℂPreHilccph 25155  Bancbn 25322  ℂHilchl 25323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223  ax-addf 11224  ax-mulf 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-fi 9441  df-sup 9472  df-inf 9473  df-oi 9540  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14334  df-cj 15090  df-re 15091  df-im 15092  df-sqrt 15226  df-abs 15227  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-starv 17267  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-ip 17270  df-tset 17271  df-ple 17272  df-ds 17274  df-unif 17275  df-hom 17276  df-cco 17277  df-rest 17423  df-topn 17424  df-0g 17442  df-gsum 17443  df-topgen 17444  df-pt 17445  df-prds 17448  df-xrs 17503  df-qtop 17508  df-imas 17509  df-xps 17511  df-mre 17585  df-mrc 17586  df-acs 17588  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-mhm 18759  df-submnd 18760  df-grp 18917  df-minusg 18918  df-sbg 18919  df-mulg 19048  df-subg 19103  df-ghm 19193  df-cntz 19297  df-cmn 19766  df-abl 19767  df-mgp 20104  df-rng 20122  df-ur 20151  df-ring 20204  df-cring 20205  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-dvr 20369  df-rhm 20440  df-subrng 20512  df-subrg 20537  df-drng 20655  df-staf 20754  df-srng 20755  df-lmod 20774  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lmhm 20936  df-lvec 21017  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-fbas 21310  df-fg 21311  df-cnfld 21314  df-phl 21592  df-ipf 21593  df-ocv 21629  df-css 21630  df-top 22857  df-topon 22874  df-topsp 22896  df-bases 22910  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-t1 23279  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-flim 23904  df-xms 24287  df-ms 24288  df-tms 24289  df-nm 24552  df-ngp 24553  df-tng 24554  df-nlm 24556  df-nvc 24557  df-clm 25051  df-cph 25157  df-tcph 25158  df-cfil 25244  df-cmet 25246  df-cms 25324  df-bn 25325  df-hl 25326

This theorem is referenced by: (None)