MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cffldtocusgrOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cffldtocusgrOLD 29480
Description: Obsolete version of cffldtocusgr 29479 as of 27-Apr-2025. (Contributed by AV, 14-Nov-2021.) (Proof shortened by AV, 17-Nov-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cffldtocusgrOLD.p 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 ℂ ∣ (♯‘𝑥) = 2}
cffldtocusgrOLD.g 𝐺 = (ℂfld sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)
Assertion
Ref Expression
cffldtocusgrOLD 𝐺 ∈ ComplUSGraph
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑃

Proof of Theorem cffldtocusgrOLD
StepHypRef Expression
1 opex 5475 . . . . . . 7 ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ V
21tpid1 4773 . . . . . 6 ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
32orci 865 . . . . 5 (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
4 elun 4163 . . . . 5 (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ↔ (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∨ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
53, 4mpbir 231 . . . 4 ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
65orci 865 . . 3 (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
7 dfcnfldOLD 21398 . . . . 5 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
87eleq2i 2831 . . . 4 (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ℂfld ↔ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
9 elun 4163 . . . 4 (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ↔ (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
108, 9bitri 275 . . 3 (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ℂfld ↔ (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∨ ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
116, 10mpbir 231 . 2 ⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ℂfld
12 cffldtocusgrOLD.p . . . 4 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 ℂ ∣ (♯‘𝑥) = 2}
13 cnfldbas 21386 . . . . . 6 ℂ = (Base‘ℂfld)
1413pweqi 4621 . . . . 5 𝒫 ℂ = 𝒫 (Base‘ℂfld)
1514rabeqi 3447 . . . 4 {𝑥 ∈ 𝒫 ℂ ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘ℂfld) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
1612, 15eqtri 2763 . . 3 𝑃 = {𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘ℂfld) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
17 cnfldstr 21384 . . . 4 fld Struct ⟨1, 13⟩
1817a1i 11 . . 3 (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ℂfld → ℂfld Struct ⟨1, 13⟩)
19 cffldtocusgrOLD.g . . 3 𝐺 = (ℂfld sSet ⟨(.ef‘ndx), ( I ↾ 𝑃)⟩)
20 fvex 6920 . . . 4 (Base‘ndx) ∈ V
21 cnex 11234 . . . 4 ℂ ∈ V
2220, 21opeldm 5921 . . 3 (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ℂfld → (Base‘ndx) ∈ dom ℂfld)
2316, 18, 19, 22structtocusgr 29478 . 2 (⟨(Base‘ndx), ℂ⟩ ∈ ℂfld𝐺 ∈ ComplUSGraph)
2411, 23ax-mp 5 1 𝐺 ∈ ComplUSGraph
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  cun 3961  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  {ctp 4635  cop 4637   class class class wbr 5148   I cid 5582  cres 5691  ccom 5693  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cle 11294  cmin 11490  2c2 12319  3c3 12320  cdc 12731  chash 14366  ccj 15132  abscabs 15270   Struct cstr 17180   sSet csts 17197  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  *𝑟cstv 17300  TopSetcts 17304  lecple 17305  distcds 17307  UnifSetcunif 17308  MetOpencmopn 21372  metUnifcmetu 21373  fldccnfld 21382  .efcedgf 29018  ComplUSGraphccusgr 29442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-cnfld 21383  df-edgf 29019  df-vtx 29030  df-iedg 29031  df-edg 29080  df-usgr 29183  df-nbgr 29365  df-uvtx 29418  df-cplgr 29443  df-cusgr 29444
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator