MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlimf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumrlimf 25295
Description: Lemma for dvfsumrlim 25301. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
dvfsum.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
dvfsum.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
dvfsum.c (π‘₯ = π‘˜ β†’ 𝐡 = 𝐢)
dvfsumrlimf.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐢 βˆ’ 𝐴))
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlimf (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„)
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘₯,𝐢   π‘₯,π‘˜,𝐷   πœ‘,π‘˜,π‘₯   𝑆,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑀,π‘₯   π‘₯,𝑇   π‘₯,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘˜)   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘˜)   𝑇(π‘˜)   𝐺(π‘₯,π‘˜)   𝑉(π‘₯,π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem dvfsumrlimf
StepHypRef Expression
1 fzfid 13794 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯)) ∈ Fin)
2 dvfsum.b2 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
32ralrimiva 3139 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ ℝ)
5 elfzuz 13353 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
6 dvfsum.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
75, 6eleqtrrdi 2848 . . . . 5 (π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
8 dvfsum.c . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ 𝐡 = 𝐢)
98eleq1d 2821 . . . . . 6 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ 𝐢 ∈ ℝ))
109rspccva 3569 . . . . 5 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
114, 7, 10syl2an 596 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
121, 11fsumrecl 15545 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐢 ∈ ℝ)
13 dvfsum.a . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1412, 13resubcld 11504 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐢 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
15 dvfsumrlimf.g . 2 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐢 βˆ’ 𝐴))
1614, 15fmptd 7044 1 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘†βŸΆβ„)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5175  βŸΆwf 6475  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  β„cr 10971  1c1 10973   + caddc 10975  +∞cpnf 11107   ≀ cle 11111   βˆ’ cmin 11306  β„€cz 12420  β„€β‰₯cuz 12683  (,)cioo 13180  ...cfz 13340  βŒŠcfl 13611  Ξ£csu 15496   D cdv 25133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-sum 15497
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  25301  dvfsumrlim2  25302  dvfsumrlim3  25303
  Copyright terms: Public domain W3C validator