MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlimf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumrlimf 25523
Description: Lemma for dvfsumrlim 25529. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlimf.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlimf (𝜑𝐺:𝑆⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlimf
StepHypRef Expression
1 fzfid 13933 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑆) → (𝑀...(⌊‘𝑥)) ∈ Fin)
2 dvfsum.b2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
32ralrimiva 3147 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
43adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑆) → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
5 elfzuz 13492 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
6 dvfsum.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
75, 6eleqtrrdi 2845 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥)) → 𝑘𝑍)
8 dvfsum.c . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
98eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
109rspccva 3610 . . . . 5 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
114, 7, 10syl2an 597 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑆) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))) → 𝐶 ∈ ℝ)
121, 11fsumrecl 15675 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 ∈ ℝ)
13 dvfsum.a . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
1412, 13resubcld 11637 . 2 ((𝜑𝑥𝑆) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) ∈ ℝ)
15 dvfsumrlimf.g . 2 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
1614, 15fmptd 7108 1 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062   class class class wbr 5146  cmpt 5229  wf 6535  cfv 6539  (class class class)co 7403  cr 11104  1c1 11106   + caddc 11108  +∞cpnf 11240  cle 11244  cmin 11439  cz 12553  cuz 12817  (,)cioo 13319  ...cfz 13479  cfl 13750  Σcsu 15627   D cdv 25361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-n0 12468  df-z 12554  df-uz 12818  df-rp 12970  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-seq 13962  df-exp 14023  df-hash 14286  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15427  df-sum 15628
This theorem is referenced by:  dvfsumrlim  25529  dvfsumrlim2  25530  dvfsumrlim3  25531
  Copyright terms: Public domain W3C validator