Theorem fsumrecl 15374

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 10859	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 10885	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 10909	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15372	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  (class class class)co 7255  Fincfn 8691  ℂcc 10800  ℝcr 10801   + caddc 10805  Σcsu 15325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326

This theorem is referenced by:  fsumless  15436  fsumle  15439  fsumlt  15440  fsumabs  15441  o1fsum  15453  isumltss  15488  climcndslem1  15489  climcndslem2  15490  mertenslem1  15524  rpnnen2lem10  15860  prmreclem4  16548  prmreclem5  16549  lebnumlem1  24030  csbren  24468  trirn  24469  rrxmet  24477  rrxdstprj1  24478  ovolfiniun  24570  ovoliunlem1  24571  ovolscalem1  24582  ovolicc2lem4  24589  volfiniun  24616  uniioombllem3a  24653  uniioombllem4  24655  i1fd  24750  itg1cl  24754  i1fadd  24764  i1fmul  24765  dvfsumge  25091  dvfsumabs  25092  dvfsumrlimf  25094  dvfsumlem2  25096  dvfsumlem3  25097  dvfsumlem4  25098  dvfsum2  25103  aaliou3lem5  25412  mtest  25468  mtestbdd  25469  abelthlem7  25502  abelthlem8  25503  log2ublem2  26002  log2ub  26004  birthdaylem3  26008  emcllem1  26050  emcllem2  26051  emcllem3  26052  harmoniclbnd  26063  harmonicubnd  26064  harmonicbnd4  26065  fsumharmonic  26066  ftalem1  26127  ftalem4  26130  ftalem5  26131  chtf  26162  chpf  26177  chpub  26273  logfaclbnd  26275  logexprlim  26278  chtppilimlem1  26526  vmadivsum  26535  vmadivsumb  26536  rplogsumlem1  26537  rplogsumlem2  26538  rpvmasumlem  26540  dchrisumlem2  26543  dchrmusum2  26547  dchrvmasumlem2  26551  dchrvmasumlem3  26552  dchrvmasumiflem1  26554  dchrisum0ff  26560  dchrisum0flblem1  26561  dchrisum0fno1  26564  dchrisum0re  26566  dchrisum0lem1  26569  dchrisum0lem2a  26570  rplogsum  26580  dirith2  26581  mudivsum  26583  mulogsumlem  26584  mulog2sumlem1  26587  mulog2sumlem2  26588  vmalogdivsum2  26591  vmalogdivsum  26592  2vmadivsumlem  26593  logsqvma2  26596  log2sumbnd  26597  selberglem2  26599  selberg  26601  selbergb  26602  selberg2b  26605  chpdifbndlem1  26606  logdivbnd  26609  selberg3lem1  26610  selberg3lem2  26611  selberg3  26612  selberg4lem1  26613  selberg4  26614  pntrsumo1  26618  pntrsumbnd  26619  pntrsumbnd2  26620  selberg3r  26622  selberg4r  26623  selberg34r  26624  pntsf  26626  pntsval2  26629  pntrlog2bndlem1  26630  pntrlog2bndlem2  26631  pntrlog2bndlem3  26632  pntrlog2bndlem4  26633  pntrlog2bndlem5  26634  pntrlog2bndlem6  26636  pntrlog2bnd  26637  pntpbnd1  26639  pntpbnd2  26640  pntlemj  26656  pntlemf  26658  pntlemk  26659  pntlemo  26660  axsegconlem2  27189  ax5seglem3  27202  ax5seg  27209  esumpcvgval  31946  esumcvg  31954  sibfof  32207  reprlt  32499  reprgt  32501  reprinfz1  32502  hgt750lemd  32528  hgt750lemb  32536  hgt750lema  32537  hgt750leme  32538  tgoldbachgtde  32540  knoppndvlem5  34623  knoppndvlem11  34629  knoppndvlem14  34632  mettrifi  35842  geomcau  35844  rrnmet  35914  rrndstprj1  35915  rrndstprj2  35916  aks4d1p1p2  40006  sticksstones6  40035  fltnltalem  40415  refsumcn  42462  fsumge0cl  43004  fsumreclf  43007  stoweidlem11  43442  stoweidlem17  43448  stoweidlem20  43451  stoweidlem26  43457  stoweidlem30  43461  stoweidlem32  43463  stoweidlem38  43469  stoweidlem44  43475  stirlinglem12  43516  dirkeritg  43533  fourierdlem73  43610  fourierdlem83  43620  fourierdlem112  43649  etransclem23  43688  etransclem35  43700  etransclem48  43713  sge0rnre  43792  sge0cl  43809  sge0fsum  43815  sge0ltfirp  43828  sge0le  43835  sge0split  43837  sge0iunmptlemfi  43841  sge0iunmptlemre  43843  sge0xaddlem1  43861  sge0xaddlem2  43862  sge0seq  43874  omeiunltfirp  43947  carageniuncllem2  43950  hoidmvlelem2  44024  hoidmvlelem3  44025  hoiqssbllem2  44051  fsummsndifre  44712  fsummmodsndifre  44714