Theorem fsumrecl 15659

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11085	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11111	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11137	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15657	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3900  (class class class)co 7358  Fincfn 8885  ℂcc 11026  ℝcr 11027   + caddc 11031  Σcsu 15611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-inf2 9552  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-oi 9417  df-card 9853  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-fz 13426  df-fzo 13573  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-clim 15413  df-sum 15612

This theorem is referenced by:  fsumless  15721  fsumle  15724  fsumlt  15725  fsumabs  15726  o1fsum  15738  isumltss  15773  climcndslem1  15774  climcndslem2  15775  mertenslem1  15809  rpnnen2lem10  16150  prmreclem4  16849  prmreclem5  16850  lebnumlem1  24918  csbren  25357  trirn  25358  rrxmet  25366  rrxdstprj1  25367  ovolfiniun  25460  ovoliunlem1  25461  ovolscalem1  25472  ovolicc2lem4  25479  volfiniun  25506  uniioombllem3a  25543  uniioombllem4  25545  i1fd  25640  itg1cl  25644  i1fadd  25654  i1fmul  25655  dvfsumge  25986  dvfsumabs  25987  dvfsumrlimf  25989  dvfsumlem2  25991  dvfsumlem2OLD  25992  dvfsumlem3  25993  dvfsumlem4  25994  dvfsum2  25999  aaliou3lem5  26313  mtest  26371  mtestbdd  26372  abelthlem7  26406  abelthlem8  26407  log2ublem2  26915  log2ub  26917  birthdaylem3  26921  emcllem1  26964  emcllem2  26965  emcllem3  26966  harmoniclbnd  26977  harmonicubnd  26978  harmonicbnd4  26979  fsumharmonic  26980  ftalem1  27041  ftalem4  27044  ftalem5  27045  chtf  27076  chpf  27091  chpub  27189  logfaclbnd  27191  logexprlim  27194  chtppilimlem1  27442  vmadivsum  27451  vmadivsumb  27452  rplogsumlem1  27453  rplogsumlem2  27454  rpvmasumlem  27456  dchrisumlem2  27459  dchrmusum2  27463  dchrvmasumlem2  27467  dchrvmasumlem3  27468  dchrvmasumiflem1  27470  dchrisum0ff  27476  dchrisum0flblem1  27477  dchrisum0fno1  27480  dchrisum0re  27482  dchrisum0lem1  27485  dchrisum0lem2a  27486  rplogsum  27496  dirith2  27497  mudivsum  27499  mulogsumlem  27500  mulog2sumlem1  27503  mulog2sumlem2  27504  vmalogdivsum2  27507  vmalogdivsum  27508  2vmadivsumlem  27509  logsqvma2  27512  log2sumbnd  27513  selberglem2  27515  selberg  27517  selbergb  27518  selberg2b  27521  chpdifbndlem1  27522  logdivbnd  27525  selberg3lem1  27526  selberg3lem2  27527  selberg3  27528  selberg4lem1  27529  selberg4  27530  pntrsumo1  27534  pntrsumbnd  27535  pntrsumbnd2  27536  selberg3r  27538  selberg4r  27539  selberg34r  27540  pntsf  27542  pntsval2  27545  pntrlog2bndlem1  27546  pntrlog2bndlem2  27547  pntrlog2bndlem3  27548  pntrlog2bndlem4  27549  pntrlog2bndlem5  27550  pntrlog2bndlem6  27552  pntrlog2bnd  27553  pntpbnd1  27555  pntpbnd2  27556  pntlemj  27572  pntlemf  27574  pntlemk  27575  pntlemo  27576  axsegconlem2  28972  ax5seglem3  28985  ax5seg  28992  esumpcvgval  34214  esumcvg  34222  sibfof  34476  reprlt  34755  reprgt  34757  reprinfz1  34758  hgt750lemd  34784  hgt750lemb  34792  hgt750lema  34793  hgt750leme  34794  tgoldbachgtde  34796  knoppndvlem5  36689  knoppndvlem11  36695  knoppndvlem14  36698  mettrifi  37927  geomcau  37929  rrnmet  37999  rrndstprj1  38000  rrndstprj2  38001  aks4d1p1p2  42359  sticksstones6  42440  unitscyglem4  42487  sumcubes  42605  fltnltalem  42942  refsumcn  45312  fsumge0cl  45856  fsumreclf  45859  stoweidlem11  46292  stoweidlem17  46298  stoweidlem20  46301  stoweidlem26  46307  stoweidlem30  46311  stoweidlem32  46313  stoweidlem38  46319  stoweidlem44  46325  stirlinglem12  46366  dirkeritg  46383  fourierdlem73  46460  fourierdlem83  46470  fourierdlem112  46499  etransclem23  46538  etransclem35  46550  etransclem48  46563  sge0rnre  46645  sge0cl  46662  sge0fsum  46668  sge0ltfirp  46681  sge0le  46688  sge0split  46690  sge0iunmptlemfi  46694  sge0iunmptlemre  46696  sge0xaddlem1  46714  sge0xaddlem2  46715  sge0seq  46727  omeiunltfirp  46800  carageniuncllem2  46803  hoidmvlelem2  46877  hoidmvlelem3  46878  hoiqssbllem2  46904  fsummsndifre  47655  fsummmodsndifre  47657