Theorem fsumrecl 15900

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11257	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11283	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11311	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15898	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  (class class class)co 7420  Fincfn 8973  ℂcc 11198  ℝcr 11199   + caddc 11203  Σcsu 15853

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854

This theorem is used by:  fsumless  15963  fsumle  15966  fsumlt  15967  fsumabs  15968  o1fsum  15980  isumltss  16017  climcndslem1  16018  climcndslem2  16019  mertenslem1  16053  rpnnen2lem10  16391  prmreclem4  17097  prmreclem5  17098  lebnumlem1  25282  csbren  25720  trirn  25721  rrxmet  25729  rrxdstprj1  25730  ovolfiniun  25822  ovoliunlem1  25823  ovolscalem1  25834  ovolicc2lem4  25841  volfiniun  25868  uniioombllem3a  25905  uniioombllem4  25907  i1fd  26002  itg1cl  26006  i1fadd  26016  i1fmul  26017  dvfsumge  26342  dvfsumabs  26343  dvfsumrlimf  26345  dvfsumlem2  26347  dvfsumlem3  26348  dvfsumlem4  26349  dvfsum2  26354  aaliou3lem5  26674  mtest  26731  mtestbdd  26732  abelthlem7  26765  abelthlem8  26766  log2ublem2  27275  log2ub  27277  birthdaylem3  27281  emcllem1  27323  emcllem2  27324  emcllem3  27325  harmoniclbnd  27336  harmonicubnd  27337  harmonicbnd4  27338  fsumharmonic  27339  ftalem1  27400  ftalem4  27403  ftalem5  27404  chtf  27435  chpf  27450  chpub  27547  logfaclbnd  27549  logexprlim  27552  chtppilimlem1  27800  vmadivsum  27809  vmadivsumb  27810  rplogsumlem1  27811  rplogsumlem2  27812  rpvmasumlem  27814  dchrisumlem2  27817  dchrmusum2  27821  dchrvmasumlem2  27825  dchrvmasumlem3  27826  dchrvmasumiflem1  27828  dchrisum0ff  27834  dchrisum0flblem1  27835  dchrisum0fno1  27838  dchrisum0re  27840  dchrisum0lem1  27843  dchrisum0lem2a  27844  rplogsum  27854  dirith2  27855  mudivsum  27857  mulogsumlem  27858  mulog2sumlem1  27861  mulog2sumlem2  27862  vmalogdivsum2  27865  vmalogdivsum  27866  2vmadivsumlem  27867  logsqvma2  27870  log2sumbnd  27871  selberglem2  27873  selberg  27875  selbergb  27876  selberg2b  27879  chpdifbndlem1  27880  logdivbnd  27883  selberg3lem1  27884  selberg3lem2  27885  selberg3  27886  selberg4lem1  27887  selberg4  27888  pntrsumo1  27892  pntrsumbnd  27893  pntrsumbnd2  27894  selberg3r  27896  selberg4r  27897  selberg34r  27898  pntsf  27900  pntsval2  27903  pntrlog2bndlem1  27904  pntrlog2bndlem2  27905  pntrlog2bndlem3  27906  pntrlog2bndlem4  27907  pntrlog2bndlem5  27908  pntrlog2bndlem6  27910  pntrlog2bnd  27911  pntpbnd1  27913  pntpbnd2  27914  pntlemj  27930  pntlemf  27932  pntlemk  27933  pntlemo  27934  axsegconlem2  29496  ax5seglem3  29509  ax5seg  29516  esumpcvgval  34710  esumcvg  34718  sibfof  34972  reprlt  35248  reprgt  35250  reprinfz1  35251  hgt750lemd  35277  hgt750lemb  35285  hgt750lema  35286  hgt750leme  35287  tgoldbachgtde  35289  knoppndvlem5  37382  knoppndvlem11  37388  knoppndvlem14  37391  mettrifi  38692  geomcau  38694  rrnmet  38764  rrndstprj1  38765  rrndstprj2  38766  aks4d1p1p2  43121  sticksstones6  43202  unitscyglem4  43249  sumcubes  43371  fltnltalem  43674  refsumcn  46047  fsumge0cl  46585  fsumreclf  46588  stoweidlem11  47021  stoweidlem17  47027  stoweidlem20  47030  stoweidlem26  47036  stoweidlem30  47040  stoweidlem32  47042  stoweidlem38  47048  stoweidlem44  47054  stirlinglem12  47095  dirkeritg  47112  fourierdlem73  47189  fourierdlem83  47199  fourierdlem112  47228  etransclem23  47267  etransclem35  47279  etransclem48  47292  sge0rnre  47374  sge0cl  47391  sge0fsum  47397  sge0ltfirp  47410  sge0le  47417  sge0split  47419  sge0iunmptlemfi  47423  sge0iunmptlemre  47425  sge0xaddlem1  47443  sge0xaddlem2  47444  sge0seq  47456  omeiunltfirp  47529  carageniuncllem2  47532  hoidmvlelem2  47606  hoidmvlelem3  47607  hoiqssbllem2  47633  fsummsndifre  48450  fsummmodsndifre  48452