Theorem fsumrecl 15661

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11087	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11113	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11139	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15659	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  ℂcc 11028  ℝcr 11029   + caddc 11033  Σcsu 15613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-sum 15614

This theorem is referenced by:  fsumless  15723  fsumle  15726  fsumlt  15727  fsumabs  15728  o1fsum  15740  isumltss  15775  climcndslem1  15776  climcndslem2  15777  mertenslem1  15811  rpnnen2lem10  16152  prmreclem4  16851  prmreclem5  16852  lebnumlem1  24920  csbren  25359  trirn  25360  rrxmet  25368  rrxdstprj1  25369  ovolfiniun  25462  ovoliunlem1  25463  ovolscalem1  25474  ovolicc2lem4  25481  volfiniun  25508  uniioombllem3a  25545  uniioombllem4  25547  i1fd  25642  itg1cl  25646  i1fadd  25656  i1fmul  25657  dvfsumge  25988  dvfsumabs  25989  dvfsumrlimf  25991  dvfsumlem2  25993  dvfsumlem2OLD  25994  dvfsumlem3  25995  dvfsumlem4  25996  dvfsum2  26001  aaliou3lem5  26315  mtest  26373  mtestbdd  26374  abelthlem7  26408  abelthlem8  26409  log2ublem2  26917  log2ub  26919  birthdaylem3  26923  emcllem1  26966  emcllem2  26967  emcllem3  26968  harmoniclbnd  26979  harmonicubnd  26980  harmonicbnd4  26981  fsumharmonic  26982  ftalem1  27043  ftalem4  27046  ftalem5  27047  chtf  27078  chpf  27093  chpub  27191  logfaclbnd  27193  logexprlim  27196  chtppilimlem1  27444  vmadivsum  27453  vmadivsumb  27454  rplogsumlem1  27455  rplogsumlem2  27456  rpvmasumlem  27458  dchrisumlem2  27461  dchrmusum2  27465  dchrvmasumlem2  27469  dchrvmasumlem3  27470  dchrvmasumiflem1  27472  dchrisum0ff  27478  dchrisum0flblem1  27479  dchrisum0fno1  27482  dchrisum0re  27484  dchrisum0lem1  27487  dchrisum0lem2a  27488  rplogsum  27498  dirith2  27499  mudivsum  27501  mulogsumlem  27502  mulog2sumlem1  27505  mulog2sumlem2  27506  vmalogdivsum2  27509  vmalogdivsum  27510  2vmadivsumlem  27511  logsqvma2  27514  log2sumbnd  27515  selberglem2  27517  selberg  27519  selbergb  27520  selberg2b  27523  chpdifbndlem1  27524  logdivbnd  27527  selberg3lem1  27528  selberg3lem2  27529  selberg3  27530  selberg4lem1  27531  selberg4  27532  pntrsumo1  27536  pntrsumbnd  27537  pntrsumbnd2  27538  selberg3r  27540  selberg4r  27541  selberg34r  27542  pntsf  27544  pntsval2  27547  pntrlog2bndlem1  27548  pntrlog2bndlem2  27549  pntrlog2bndlem3  27550  pntrlog2bndlem4  27551  pntrlog2bndlem5  27552  pntrlog2bndlem6  27554  pntrlog2bnd  27555  pntpbnd1  27557  pntpbnd2  27558  pntlemj  27574  pntlemf  27576  pntlemk  27577  pntlemo  27578  axsegconlem2  28995  ax5seglem3  29008  ax5seg  29015  esumpcvgval  34237  esumcvg  34245  sibfof  34499  reprlt  34778  reprgt  34780  reprinfz1  34781  hgt750lemd  34807  hgt750lemb  34815  hgt750lema  34816  hgt750leme  34817  tgoldbachgtde  34819  knoppndvlem5  36718  knoppndvlem11  36724  knoppndvlem14  36727  mettrifi  37960  geomcau  37962  rrnmet  38032  rrndstprj1  38033  rrndstprj2  38034  aks4d1p1p2  42392  sticksstones6  42473  unitscyglem4  42520  sumcubes  42635  fltnltalem  42972  refsumcn  45342  fsumge0cl  45886  fsumreclf  45889  stoweidlem11  46322  stoweidlem17  46328  stoweidlem20  46331  stoweidlem26  46337  stoweidlem30  46341  stoweidlem32  46343  stoweidlem38  46349  stoweidlem44  46355  stirlinglem12  46396  dirkeritg  46413  fourierdlem73  46490  fourierdlem83  46500  fourierdlem112  46529  etransclem23  46568  etransclem35  46580  etransclem48  46593  sge0rnre  46675  sge0cl  46692  sge0fsum  46698  sge0ltfirp  46711  sge0le  46718  sge0split  46720  sge0iunmptlemfi  46724  sge0iunmptlemre  46726  sge0xaddlem1  46744  sge0xaddlem2  46745  sge0seq  46757  omeiunltfirp  46830  carageniuncllem2  46833  hoidmvlelem2  46907  hoidmvlelem3  46908  hoiqssbllem2  46934  fsummsndifre  47685  fsummmodsndifre  47687