Theorem fsumrecl 15822

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11184	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11210	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11238	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15820	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902  (class class class)co 7416  Fincfn 8955  ℂcc 11125  ℝcr 11126   + caddc 11130  Σcsu 15775

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-sum 15776

This theorem is used by:  fsumless  15885  fsumle  15888  fsumlt  15889  fsumabs  15890  o1fsum  15902  isumltss  15939  climcndslem1  15940  climcndslem2  15941  mertenslem1  15975  rpnnen2lem10  16315  prmreclem4  17015  prmreclem5  17016  lebnumlem1  25190  csbren  25628  trirn  25629  rrxmet  25637  rrxdstprj1  25638  ovolfiniun  25730  ovoliunlem1  25731  ovolscalem1  25742  ovolicc2lem4  25749  volfiniun  25776  uniioombllem3a  25813  uniioombllem4  25815  i1fd  25910  itg1cl  25914  i1fadd  25924  i1fmul  25925  dvfsumge  26251  dvfsumabs  26252  dvfsumrlimf  26254  dvfsumlem2  26256  dvfsumlem3  26257  dvfsumlem4  26258  dvfsum2  26263  aaliou3lem5  26580  mtest  26637  mtestbdd  26638  abelthlem7  26671  abelthlem8  26672  log2ublem2  27182  log2ub  27184  birthdaylem3  27188  emcllem1  27230  emcllem2  27231  emcllem3  27232  harmoniclbnd  27243  harmonicubnd  27244  harmonicbnd4  27245  fsumharmonic  27246  ftalem1  27307  ftalem4  27310  ftalem5  27311  chtf  27342  chpf  27357  chpub  27454  logfaclbnd  27456  logexprlim  27459  chtppilimlem1  27707  vmadivsum  27716  vmadivsumb  27717  rplogsumlem1  27718  rplogsumlem2  27719  rpvmasumlem  27721  dchrisumlem2  27724  dchrmusum2  27728  dchrvmasumlem2  27732  dchrvmasumlem3  27733  dchrvmasumiflem1  27735  dchrisum0ff  27741  dchrisum0flblem1  27742  dchrisum0fno1  27745  dchrisum0re  27747  dchrisum0lem1  27750  dchrisum0lem2a  27751  rplogsum  27761  dirith2  27762  mudivsum  27764  mulogsumlem  27765  mulog2sumlem1  27768  mulog2sumlem2  27769  vmalogdivsum2  27772  vmalogdivsum  27773  2vmadivsumlem  27774  logsqvma2  27777  log2sumbnd  27778  selberglem2  27780  selberg  27782  selbergb  27783  selberg2b  27786  chpdifbndlem1  27787  logdivbnd  27790  selberg3lem1  27791  selberg3lem2  27792  selberg3  27793  selberg4lem1  27794  selberg4  27795  pntrsumo1  27799  pntrsumbnd  27800  pntrsumbnd2  27801  selberg3r  27803  selberg4r  27804  selberg34r  27805  pntsf  27807  pntsval2  27810  pntrlog2bndlem1  27811  pntrlog2bndlem2  27812  pntrlog2bndlem3  27813  pntrlog2bndlem4  27814  pntrlog2bndlem5  27815  pntrlog2bndlem6  27817  pntrlog2bnd  27818  pntpbnd1  27820  pntpbnd2  27821  pntlemj  27837  pntlemf  27839  pntlemk  27840  pntlemo  27841  axsegconlem2  29361  ax5seglem3  29374  ax5seg  29381  esumpcvgval  34575  esumcvg  34583  sibfof  34838  reprlt  35114  reprgt  35116  reprinfz1  35117  hgt750lemd  35143  hgt750lemb  35151  hgt750lema  35152  hgt750leme  35153  tgoldbachgtde  35155  knoppndvlem5  37200  knoppndvlem11  37206  knoppndvlem14  37209  mettrifi  38494  geomcau  38496  rrnmet  38566  rrndstprj1  38567  rrndstprj2  38568  aks4d1p1p2  42923  sticksstones6  43004  unitscyglem4  43051  sumcubes  43175  fltnltalem  43495  refsumcn  45851  fsumge0cl  46390  fsumreclf  46393  stoweidlem11  46826  stoweidlem17  46832  stoweidlem20  46835  stoweidlem26  46841  stoweidlem30  46845  stoweidlem32  46847  stoweidlem38  46853  stoweidlem44  46859  stirlinglem12  46900  dirkeritg  46917  fourierdlem73  46994  fourierdlem83  47004  fourierdlem112  47033  etransclem23  47072  etransclem35  47084  etransclem48  47097  sge0rnre  47179  sge0cl  47196  sge0fsum  47202  sge0ltfirp  47215  sge0le  47222  sge0split  47224  sge0iunmptlemfi  47228  sge0iunmptlemre  47230  sge0xaddlem1  47248  sge0xaddlem2  47249  sge0seq  47261  omeiunltfirp  47334  carageniuncllem2  47337  hoidmvlelem2  47411  hoidmvlelem3  47412  hoiqssbllem2  47438  fsummsndifre  48255  fsummmodsndifre  48257