Theorem fsumrecl 15696

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11095	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11121	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11147	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15694	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  ℂcc 11036  ℝcr 11037   + caddc 11041  Σcsu 15648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-sum 15649

This theorem is referenced by:  fsumless  15759  fsumle  15762  fsumlt  15763  fsumabs  15764  o1fsum  15776  isumltss  15813  climcndslem1  15814  climcndslem2  15815  mertenslem1  15849  rpnnen2lem10  16190  prmreclem4  16890  prmreclem5  16891  lebnumlem1  24928  csbren  25366  trirn  25367  rrxmet  25375  rrxdstprj1  25376  ovolfiniun  25468  ovoliunlem1  25469  ovolscalem1  25480  ovolicc2lem4  25487  volfiniun  25514  uniioombllem3a  25551  uniioombllem4  25553  i1fd  25648  itg1cl  25652  i1fadd  25662  i1fmul  25663  dvfsumge  25989  dvfsumabs  25990  dvfsumrlimf  25992  dvfsumlem2  25994  dvfsumlem3  25995  dvfsumlem4  25996  dvfsum2  26001  aaliou3lem5  26313  mtest  26369  mtestbdd  26370  abelthlem7  26403  abelthlem8  26404  log2ublem2  26911  log2ub  26913  birthdaylem3  26917  emcllem1  26959  emcllem2  26960  emcllem3  26961  harmoniclbnd  26972  harmonicubnd  26973  harmonicbnd4  26974  fsumharmonic  26975  ftalem1  27036  ftalem4  27039  ftalem5  27040  chtf  27071  chpf  27086  chpub  27183  logfaclbnd  27185  logexprlim  27188  chtppilimlem1  27436  vmadivsum  27445  vmadivsumb  27446  rplogsumlem1  27447  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrisumlem2  27453  dchrmusum2  27457  dchrvmasumlem2  27461  dchrvmasumlem3  27462  dchrvmasumiflem1  27464  dchrisum0ff  27470  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0fno1  27474  dchrisum0re  27476  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem2a  27480  rplogsum  27490  dirith2  27491  mudivsum  27493  mulogsumlem  27494  mulog2sumlem1  27497  mulog2sumlem2  27498  vmalogdivsum2  27501  vmalogdivsum  27502  2vmadivsumlem  27503  logsqvma2  27506  log2sumbnd  27507  selberglem2  27509  selberg  27511  selbergb  27512  selberg2b  27515  chpdifbndlem1  27516  logdivbnd  27519  selberg3lem1  27520  selberg3lem2  27521  selberg3  27522  selberg4lem1  27523  selberg4  27524  pntrsumo1  27528  pntrsumbnd  27529  pntrsumbnd2  27530  selberg3r  27532  selberg4r  27533  selberg34r  27534  pntsf  27536  pntsval2  27539  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6  27546  pntrlog2bnd  27547  pntpbnd1  27549  pntpbnd2  27550  pntlemj  27566  pntlemf  27568  pntlemk  27569  pntlemo  27570  axsegconlem2  28987  ax5seglem3  29000  ax5seg  29007  esumpcvgval  34222  esumcvg  34230  sibfof  34484  reprlt  34763  reprgt  34765  reprinfz1  34766  hgt750lemd  34792  hgt750lemb  34800  hgt750lema  34801  hgt750leme  34802  tgoldbachgtde  34804  knoppndvlem5  36776  knoppndvlem11  36782  knoppndvlem14  36785  mettrifi  38078  geomcau  38080  rrnmet  38150  rrndstprj1  38151  rrndstprj2  38152  aks4d1p1p2  42509  sticksstones6  42590  unitscyglem4  42637  sumcubes  42745  fltnltalem  43095  refsumcn  45461  fsumge0cl  46003  fsumreclf  46006  stoweidlem11  46439  stoweidlem17  46445  stoweidlem20  46448  stoweidlem26  46454  stoweidlem30  46458  stoweidlem32  46460  stoweidlem38  46466  stoweidlem44  46472  stirlinglem12  46513  dirkeritg  46530  fourierdlem73  46607  fourierdlem83  46617  fourierdlem112  46646  etransclem23  46685  etransclem35  46697  etransclem48  46710  sge0rnre  46792  sge0cl  46809  sge0fsum  46815  sge0ltfirp  46828  sge0le  46835  sge0split  46837  sge0iunmptlemfi  46841  sge0iunmptlemre  46843  sge0xaddlem1  46861  sge0xaddlem2  46862  sge0seq  46874  omeiunltfirp  46947  carageniuncllem2  46950  hoidmvlelem2  47024  hoidmvlelem3  47025  hoiqssbllem2  47051  fsummsndifre  47828  fsummmodsndifre  47830