Theorem fsumrecl 15853

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11214	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11240	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11268	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15851	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  (class class class)co 7409  Fincfn 8952  ℂcc 11155  ℝcr 11156   + caddc 11160  Σcsu 15806

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-rp 13076  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-clim 15608  df-sum 15807

This theorem is used by:  fsumless  15916  fsumle  15919  fsumlt  15920  fsumabs  15921  o1fsum  15933  isumltss  15970  climcndslem1  15971  climcndslem2  15972  mertenslem1  16006  rpnnen2lem10  16344  prmreclem4  17044  prmreclem5  17045  lebnumlem1  25229  csbren  25667  trirn  25668  rrxmet  25676  rrxdstprj1  25677  ovolfiniun  25769  ovoliunlem1  25770  ovolscalem1  25781  ovolicc2lem4  25788  volfiniun  25815  uniioombllem3a  25852  uniioombllem4  25854  i1fd  25949  itg1cl  25953  i1fadd  25963  i1fmul  25964  dvfsumge  26289  dvfsumabs  26290  dvfsumrlimf  26292  dvfsumlem2  26294  dvfsumlem3  26295  dvfsumlem4  26296  dvfsum2  26301  aaliou3lem5  26623  mtest  26680  mtestbdd  26681  abelthlem7  26714  abelthlem8  26715  log2ublem2  27224  log2ub  27226  birthdaylem3  27230  emcllem1  27272  emcllem2  27273  emcllem3  27274  harmoniclbnd  27285  harmonicubnd  27286  harmonicbnd4  27287  fsumharmonic  27288  ftalem1  27349  ftalem4  27352  ftalem5  27353  chtf  27384  chpf  27399  chpub  27496  logfaclbnd  27498  logexprlim  27501  chtppilimlem1  27749  vmadivsum  27758  vmadivsumb  27759  rplogsumlem1  27760  rplogsumlem2  27761  rpvmasumlem  27763  dchrisumlem2  27766  dchrmusum2  27770  dchrvmasumlem2  27774  dchrvmasumlem3  27775  dchrvmasumiflem1  27777  dchrisum0ff  27783  dchrisum0flblem1  27784  dchrisum0fno1  27787  dchrisum0re  27789  dchrisum0lem1  27792  dchrisum0lem2a  27793  rplogsum  27803  dirith2  27804  mudivsum  27806  mulogsumlem  27807  mulog2sumlem1  27810  mulog2sumlem2  27811  vmalogdivsum2  27814  vmalogdivsum  27815  2vmadivsumlem  27816  logsqvma2  27819  log2sumbnd  27820  selberglem2  27822  selberg  27824  selbergb  27825  selberg2b  27828  chpdifbndlem1  27829  logdivbnd  27832  selberg3lem1  27833  selberg3lem2  27834  selberg3  27835  selberg4lem1  27836  selberg4  27837  pntrsumo1  27841  pntrsumbnd  27842  pntrsumbnd2  27843  selberg3r  27845  selberg4r  27846  selberg34r  27847  pntsf  27849  pntsval2  27852  pntrlog2bndlem1  27853  pntrlog2bndlem2  27854  pntrlog2bndlem3  27855  pntrlog2bndlem4  27856  pntrlog2bndlem5  27857  pntrlog2bndlem6  27859  pntrlog2bnd  27860  pntpbnd1  27862  pntpbnd2  27863  pntlemj  27879  pntlemf  27881  pntlemk  27882  pntlemo  27883  axsegconlem2  29415  ax5seglem3  29428  ax5seg  29435  esumpcvgval  34629  esumcvg  34637  sibfof  34892  reprlt  35168  reprgt  35170  reprinfz1  35171  hgt750lemd  35197  hgt750lemb  35205  hgt750lema  35206  hgt750leme  35207  tgoldbachgtde  35209  knoppndvlem5  37298  knoppndvlem11  37304  knoppndvlem14  37307  mettrifi  38605  geomcau  38607  rrnmet  38677  rrndstprj1  38678  rrndstprj2  38679  aks4d1p1p2  43034  sticksstones6  43115  unitscyglem4  43162  sumcubes  43286  fltnltalem  43606  refsumcn  45962  fsumge0cl  46501  fsumreclf  46504  stoweidlem11  46937  stoweidlem17  46943  stoweidlem20  46946  stoweidlem26  46952  stoweidlem30  46956  stoweidlem32  46958  stoweidlem38  46964  stoweidlem44  46970  stirlinglem12  47011  dirkeritg  47028  fourierdlem73  47105  fourierdlem83  47115  fourierdlem112  47144  etransclem23  47183  etransclem35  47195  etransclem48  47208  sge0rnre  47290  sge0cl  47307  sge0fsum  47313  sge0ltfirp  47326  sge0le  47333  sge0split  47335  sge0iunmptlemfi  47339  sge0iunmptlemre  47341  sge0xaddlem1  47359  sge0xaddlem2  47360  sge0seq  47372  omeiunltfirp  47445  carageniuncllem2  47448  hoidmvlelem2  47522  hoidmvlelem3  47523  hoiqssbllem2  47549  fsummsndifre  48366  fsummmodsndifre  48368