Theorem fsumrecl 15641

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11063	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11089	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11115	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15639	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  ℂcc 11004  ℝcr 11005   + caddc 11009  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594

This theorem is referenced by:  fsumless  15703  fsumle  15706  fsumlt  15707  fsumabs  15708  o1fsum  15720  isumltss  15755  climcndslem1  15756  climcndslem2  15757  mertenslem1  15791  rpnnen2lem10  16132  prmreclem4  16831  prmreclem5  16832  lebnumlem1  24887  csbren  25326  trirn  25327  rrxmet  25335  rrxdstprj1  25336  ovolfiniun  25429  ovoliunlem1  25430  ovolscalem1  25441  ovolicc2lem4  25448  volfiniun  25475  uniioombllem3a  25512  uniioombllem4  25514  i1fd  25609  itg1cl  25613  i1fadd  25623  i1fmul  25624  dvfsumge  25955  dvfsumabs  25956  dvfsumrlimf  25958  dvfsumlem2  25960  dvfsumlem2OLD  25961  dvfsumlem3  25962  dvfsumlem4  25963  dvfsum2  25968  aaliou3lem5  26282  mtest  26340  mtestbdd  26341  abelthlem7  26375  abelthlem8  26376  log2ublem2  26884  log2ub  26886  birthdaylem3  26890  emcllem1  26933  emcllem2  26934  emcllem3  26935  harmoniclbnd  26946  harmonicubnd  26947  harmonicbnd4  26948  fsumharmonic  26949  ftalem1  27010  ftalem4  27013  ftalem5  27014  chtf  27045  chpf  27060  chpub  27158  logfaclbnd  27160  logexprlim  27163  chtppilimlem1  27411  vmadivsum  27420  vmadivsumb  27421  rplogsumlem1  27422  rplogsumlem2  27423  rpvmasumlem  27425  dchrisumlem2  27428  dchrmusum2  27432  dchrvmasumlem2  27436  dchrvmasumlem3  27437  dchrvmasumiflem1  27439  dchrisum0ff  27445  dchrisum0flblem1  27446  dchrisum0fno1  27449  dchrisum0re  27451  dchrisum0lem1  27454  dchrisum0lem2a  27455  rplogsum  27465  dirith2  27466  mudivsum  27468  mulogsumlem  27469  mulog2sumlem1  27472  mulog2sumlem2  27473  vmalogdivsum2  27476  vmalogdivsum  27477  2vmadivsumlem  27478  logsqvma2  27481  log2sumbnd  27482  selberglem2  27484  selberg  27486  selbergb  27487  selberg2b  27490  chpdifbndlem1  27491  logdivbnd  27494  selberg3lem1  27495  selberg3lem2  27496  selberg3  27497  selberg4lem1  27498  selberg4  27499  pntrsumo1  27503  pntrsumbnd  27504  pntrsumbnd2  27505  selberg3r  27507  selberg4r  27508  selberg34r  27509  pntsf  27511  pntsval2  27514  pntrlog2bndlem1  27515  pntrlog2bndlem2  27516  pntrlog2bndlem3  27517  pntrlog2bndlem4  27518  pntrlog2bndlem5  27519  pntrlog2bndlem6  27521  pntrlog2bnd  27522  pntpbnd1  27524  pntpbnd2  27525  pntlemj  27541  pntlemf  27543  pntlemk  27544  pntlemo  27545  axsegconlem2  28896  ax5seglem3  28909  ax5seg  28916  esumpcvgval  34091  esumcvg  34099  sibfof  34353  reprlt  34632  reprgt  34634  reprinfz1  34635  hgt750lemd  34661  hgt750lemb  34669  hgt750lema  34670  hgt750leme  34671  tgoldbachgtde  34673  knoppndvlem5  36560  knoppndvlem11  36566  knoppndvlem14  36569  mettrifi  37796  geomcau  37798  rrnmet  37868  rrndstprj1  37869  rrndstprj2  37870  aks4d1p1p2  42162  sticksstones6  42243  unitscyglem4  42290  sumcubes  42405  fltnltalem  42754  refsumcn  45126  fsumge0cl  45672  fsumreclf  45675  stoweidlem11  46108  stoweidlem17  46114  stoweidlem20  46117  stoweidlem26  46123  stoweidlem30  46127  stoweidlem32  46129  stoweidlem38  46135  stoweidlem44  46141  stirlinglem12  46182  dirkeritg  46199  fourierdlem73  46276  fourierdlem83  46286  fourierdlem112  46315  etransclem23  46354  etransclem35  46366  etransclem48  46379  sge0rnre  46461  sge0cl  46478  sge0fsum  46484  sge0ltfirp  46497  sge0le  46504  sge0split  46506  sge0iunmptlemfi  46510  sge0iunmptlemre  46512  sge0xaddlem1  46530  sge0xaddlem2  46531  sge0seq  46543  omeiunltfirp  46616  carageniuncllem2  46619  hoidmvlelem2  46693  hoidmvlelem3  46694  hoiqssbllem2  46720  fsummsndifre  47471  fsummmodsndifre  47473