Theorem fsumrecl 15263

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 10751	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 10777	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 10801	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15261	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2112   ⊆ wss 3853  (class class class)co 7191  Fincfn 8604  ℂcc 10692  ℝcr 10693   + caddc 10697  Σcsu 15214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-inf2 9234  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-sup 9036  df-oi 9104  df-card 9520  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-rp 12552  df-fz 13061  df-fzo 13204  df-seq 13540  df-exp 13601  df-hash 13862  df-cj 14627  df-re 14628  df-im 14629  df-sqrt 14763  df-abs 14764  df-clim 15014  df-sum 15215

This theorem is referenced by:  fsumless  15323  fsumle  15326  fsumlt  15327  fsumabs  15328  o1fsum  15340  isumltss  15375  climcndslem1  15376  climcndslem2  15377  mertenslem1  15411  rpnnen2lem10  15747  prmreclem4  16435  prmreclem5  16436  lebnumlem1  23812  csbren  24250  trirn  24251  rrxmet  24259  rrxdstprj1  24260  ovolfiniun  24352  ovoliunlem1  24353  ovolscalem1  24364  ovolicc2lem4  24371  volfiniun  24398  uniioombllem3a  24435  uniioombllem4  24437  i1fd  24532  itg1cl  24536  i1fadd  24546  i1fmul  24547  dvfsumge  24873  dvfsumabs  24874  dvfsumrlimf  24876  dvfsumlem2  24878  dvfsumlem3  24879  dvfsumlem4  24880  dvfsum2  24885  aaliou3lem5  25194  mtest  25250  mtestbdd  25251  abelthlem7  25284  abelthlem8  25285  log2ublem2  25784  log2ub  25786  birthdaylem3  25790  emcllem1  25832  emcllem2  25833  emcllem3  25834  harmoniclbnd  25845  harmonicubnd  25846  harmonicbnd4  25847  fsumharmonic  25848  ftalem1  25909  ftalem4  25912  ftalem5  25913  chtf  25944  chpf  25959  chpub  26055  logfaclbnd  26057  logexprlim  26060  chtppilimlem1  26308  vmadivsum  26317  vmadivsumb  26318  rplogsumlem1  26319  rplogsumlem2  26320  rpvmasumlem  26322  dchrisumlem2  26325  dchrmusum2  26329  dchrvmasumlem2  26333  dchrvmasumlem3  26334  dchrvmasumiflem1  26336  dchrisum0ff  26342  dchrisum0flblem1  26343  dchrisum0fno1  26346  dchrisum0re  26348  dchrisum0lem1  26351  dchrisum0lem2a  26352  rplogsum  26362  dirith2  26363  mudivsum  26365  mulogsumlem  26366  mulog2sumlem1  26369  mulog2sumlem2  26370  vmalogdivsum2  26373  vmalogdivsum  26374  2vmadivsumlem  26375  logsqvma2  26378  log2sumbnd  26379  selberglem2  26381  selberg  26383  selbergb  26384  selberg2b  26387  chpdifbndlem1  26388  logdivbnd  26391  selberg3lem1  26392  selberg3lem2  26393  selberg3  26394  selberg4lem1  26395  selberg4  26396  pntrsumo1  26400  pntrsumbnd  26401  pntrsumbnd2  26402  selberg3r  26404  selberg4r  26405  selberg34r  26406  pntsf  26408  pntsval2  26411  pntrlog2bndlem1  26412  pntrlog2bndlem2  26413  pntrlog2bndlem3  26414  pntrlog2bndlem4  26415  pntrlog2bndlem5  26416  pntrlog2bndlem6  26418  pntrlog2bnd  26419  pntpbnd1  26421  pntpbnd2  26422  pntlemj  26438  pntlemf  26440  pntlemk  26441  pntlemo  26442  axsegconlem2  26963  ax5seglem3  26976  ax5seg  26983  esumpcvgval  31712  esumcvg  31720  sibfof  31973  reprlt  32265  reprgt  32267  reprinfz1  32268  hgt750lemd  32294  hgt750lemb  32302  hgt750lema  32303  hgt750leme  32304  tgoldbachgtde  32306  knoppndvlem5  34382  knoppndvlem11  34388  knoppndvlem14  34391  mettrifi  35601  geomcau  35603  rrnmet  35673  rrndstprj1  35674  rrndstprj2  35675  aks4d1p1p2  39760  sticksstones6  39776  fltnltalem  40143  refsumcn  42187  fsumge0cl  42732  fsumreclf  42735  stoweidlem11  43170  stoweidlem17  43176  stoweidlem20  43179  stoweidlem26  43185  stoweidlem30  43189  stoweidlem32  43191  stoweidlem38  43197  stoweidlem44  43203  stirlinglem12  43244  dirkeritg  43261  fourierdlem73  43338  fourierdlem83  43348  fourierdlem112  43377  etransclem23  43416  etransclem35  43428  etransclem48  43441  sge0rnre  43520  sge0cl  43537  sge0fsum  43543  sge0ltfirp  43556  sge0le  43563  sge0split  43565  sge0iunmptlemfi  43569  sge0iunmptlemre  43571  sge0xaddlem1  43589  sge0xaddlem2  43590  sge0seq  43602  omeiunltfirp  43675  carageniuncllem2  43678  hoidmvlelem2  43752  hoidmvlelem3  43753  hoiqssbllem2  43779  fsummsndifre  44440  fsummmodsndifre  44442