Theorem fsumrecl 15792

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11163	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11189	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11217	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15790	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  (class class class)co 7412  Fincfn 8941  ℂcc 11104  ℝcr 11105   + caddc 11109  Σcsu 15744

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-sum 15745

This theorem is used by:  fsumless  15855  fsumle  15858  fsumlt  15859  fsumabs  15860  o1fsum  15872  isumltss  15909  climcndslem1  15910  climcndslem2  15911  mertenslem1  15945  rpnnen2lem10  16285  prmreclem4  16985  prmreclem5  16986  lebnumlem1  25131  csbren  25569  trirn  25570  rrxmet  25578  rrxdstprj1  25579  ovolfiniun  25671  ovoliunlem1  25672  ovolscalem1  25683  ovolicc2lem4  25690  volfiniun  25717  uniioombllem3a  25754  uniioombllem4  25756  i1fd  25851  itg1cl  25855  i1fadd  25865  i1fmul  25866  dvfsumge  26192  dvfsumabs  26193  dvfsumrlimf  26195  dvfsumlem2  26197  dvfsumlem3  26198  dvfsumlem4  26199  dvfsum2  26204  aaliou3lem5  26521  mtest  26578  mtestbdd  26579  abelthlem7  26612  abelthlem8  26613  log2ublem2  27123  log2ub  27125  birthdaylem3  27129  emcllem1  27171  emcllem2  27172  emcllem3  27173  harmoniclbnd  27184  harmonicubnd  27185  harmonicbnd4  27186  fsumharmonic  27187  ftalem1  27248  ftalem4  27251  ftalem5  27252  chtf  27283  chpf  27298  chpub  27395  logfaclbnd  27397  logexprlim  27400  chtppilimlem1  27648  vmadivsum  27657  vmadivsumb  27658  rplogsumlem1  27659  rplogsumlem2  27660  rpvmasumlem  27662  dchrisumlem2  27665  dchrmusum2  27669  dchrvmasumlem2  27673  dchrvmasumlem3  27674  dchrvmasumiflem1  27676  dchrisum0ff  27682  dchrisum0flblem1  27683  dchrisum0fno1  27686  dchrisum0re  27688  dchrisum0lem1  27691  dchrisum0lem2a  27692  rplogsum  27702  dirith2  27703  mudivsum  27705  mulogsumlem  27706  mulog2sumlem1  27709  mulog2sumlem2  27710  vmalogdivsum2  27713  vmalogdivsum  27714  2vmadivsumlem  27715  logsqvma2  27718  log2sumbnd  27719  selberglem2  27721  selberg  27723  selbergb  27724  selberg2b  27727  chpdifbndlem1  27728  logdivbnd  27731  selberg3lem1  27732  selberg3lem2  27733  selberg3  27734  selberg4lem1  27735  selberg4  27736  pntrsumo1  27740  pntrsumbnd  27741  pntrsumbnd2  27742  selberg3r  27744  selberg4r  27745  selberg34r  27746  pntsf  27748  pntsval2  27751  pntrlog2bndlem1  27752  pntrlog2bndlem2  27753  pntrlog2bndlem3  27754  pntrlog2bndlem4  27755  pntrlog2bndlem5  27756  pntrlog2bndlem6  27758  pntrlog2bnd  27759  pntpbnd1  27761  pntpbnd2  27762  pntlemj  27778  pntlemf  27780  pntlemk  27781  pntlemo  27782  axsegconlem2  29279  ax5seglem3  29292  ax5seg  29299  esumpcvgval  34477  esumcvg  34485  sibfof  34739  reprlt  35015  reprgt  35017  reprinfz1  35018  hgt750lemd  35044  hgt750lemb  35052  hgt750lema  35053  hgt750leme  35054  tgoldbachgtde  35056  knoppndvlem5  37133  knoppndvlem11  37139  knoppndvlem14  37142  mettrifi  38436  geomcau  38438  rrnmet  38508  rrndstprj1  38509  rrndstprj2  38510  aks4d1p1p2  42865  sticksstones6  42946  unitscyglem4  42993  sumcubes  43102  fltnltalem  43422  refsumcn  45778  fsumge0cl  46317  fsumreclf  46320  stoweidlem11  46753  stoweidlem17  46759  stoweidlem20  46762  stoweidlem26  46768  stoweidlem30  46772  stoweidlem32  46774  stoweidlem38  46780  stoweidlem44  46786  stirlinglem12  46827  dirkeritg  46844  fourierdlem73  46921  fourierdlem83  46931  fourierdlem112  46960  etransclem23  46999  etransclem35  47011  etransclem48  47024  sge0rnre  47106  sge0cl  47123  sge0fsum  47129  sge0ltfirp  47142  sge0le  47149  sge0split  47151  sge0iunmptlemfi  47155  sge0iunmptlemre  47157  sge0xaddlem1  47175  sge0xaddlem2  47176  sge0seq  47188  omeiunltfirp  47261  carageniuncllem2  47264  hoidmvlelem2  47338  hoidmvlelem3  47339  hoiqssbllem2  47365  fsummsndifre  48145  fsummmodsndifre  48147