Theorem fsumrecl 14941

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 10384	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 10410	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 474	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 10435	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 14939	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∈ wcel 2048   ⊆ wss 3825  (class class class)co 6970  Fincfn 8298  ℂcc 10325  ℝcr 10326   + caddc 10330  Σcsu 14893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-oi 8761  df-card 9154  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-rp 12198  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-seq 13178  df-exp 13238  df-hash 13499  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-clim 14696  df-sum 14894

This theorem is referenced by:  fsumless  15001  fsumle  15004  fsumlt  15005  fsumabs  15006  o1fsum  15018  isumltss  15053  climcndslem1  15054  climcndslem2  15055  mertenslem1  15090  rpnnen2lem10  15426  prmreclem4  16101  prmreclem5  16102  lebnumlem1  23258  csbren  23695  trirn  23696  rrxmet  23704  rrxdstprj1  23705  ovolfiniun  23795  ovoliunlem1  23796  ovolscalem1  23807  ovolicc2lem4  23814  volfiniun  23841  uniioombllem3a  23878  uniioombllem4  23880  i1fd  23975  itg1cl  23979  i1fadd  23989  i1fmul  23990  dvfsumge  24312  dvfsumabs  24313  dvfsumrlimf  24315  dvfsumlem2  24317  dvfsumlem3  24318  dvfsumlem4  24319  dvfsum2  24324  aaliou3lem5  24629  mtest  24685  mtestbdd  24686  abelthlem7  24719  abelthlem8  24720  log2ublem2  25217  log2ub  25219  birthdaylem3  25223  emcllem1  25265  emcllem2  25266  emcllem3  25267  harmoniclbnd  25278  harmonicubnd  25279  harmonicbnd4  25280  fsumharmonic  25281  ftalem1  25342  ftalem4  25345  ftalem5  25346  chtf  25377  chpf  25392  chpub  25488  logfaclbnd  25490  logexprlim  25493  chtppilimlem1  25741  vmadivsum  25750  vmadivsumb  25751  rplogsumlem1  25752  rplogsumlem2  25753  rpvmasumlem  25755  dchrisumlem2  25758  dchrmusum2  25762  dchrvmasumlem2  25766  dchrvmasumlem3  25767  dchrvmasumiflem1  25769  dchrisum0ff  25775  dchrisum0flblem1  25776  dchrisum0fno1  25779  dchrisum0re  25781  dchrisum0lem1  25784  dchrisum0lem2a  25785  rplogsum  25795  dirith2  25796  mudivsum  25798  mulogsumlem  25799  mulog2sumlem1  25802  mulog2sumlem2  25803  vmalogdivsum2  25806  vmalogdivsum  25807  2vmadivsumlem  25808  logsqvma2  25811  log2sumbnd  25812  selberglem2  25814  selberg  25816  selbergb  25817  selberg2b  25820  chpdifbndlem1  25821  logdivbnd  25824  selberg3lem1  25825  selberg3lem2  25826  selberg3  25827  selberg4lem1  25828  selberg4  25829  pntrsumo1  25833  pntrsumbnd  25834  pntrsumbnd2  25835  selberg3r  25837  selberg4r  25838  selberg34r  25839  pntsf  25841  pntsval2  25844  pntrlog2bndlem1  25845  pntrlog2bndlem2  25846  pntrlog2bndlem3  25847  pntrlog2bndlem4  25848  pntrlog2bndlem5  25849  pntrlog2bndlem6  25851  pntrlog2bnd  25852  pntpbnd1  25854  pntpbnd2  25855  pntlemj  25871  pntlemf  25873  pntlemk  25874  pntlemo  25875  axsegconlem2  26397  ax5seglem3  26410  ax5seg  26417  esumpcvgval  30938  esumcvg  30946  sibfof  31200  reprlt  31499  reprgt  31501  reprinfz1  31502  hgt750lemd  31528  hgt750lemb  31536  hgt750lema  31537  hgt750leme  31538  tgoldbachgtde  31540  knoppndvlem5  33315  knoppndvlem11  33321  knoppndvlem14  33324  mettrifi  34422  geomcau  34424  rrnmet  34497  rrndstprj1  34498  rrndstprj2  34499  fltnltalem  38626  refsumcn  40650  fsumge0cl  41231  fsumreclf  41234  stoweidlem11  41673  stoweidlem17  41679  stoweidlem20  41682  stoweidlem26  41688  stoweidlem30  41692  stoweidlem32  41694  stoweidlem38  41700  stoweidlem44  41706  stirlinglem12  41747  dirkeritg  41764  fourierdlem73  41841  fourierdlem83  41851  fourierdlem112  41880  etransclem23  41919  etransclem35  41931  etransclem48  41944  sge0rnre  42023  sge0cl  42040  sge0fsum  42046  sge0ltfirp  42059  sge0le  42066  sge0split  42068  sge0iunmptlemfi  42072  sge0iunmptlemre  42074  sge0xaddlem1  42092  sge0xaddlem2  42093  sge0seq  42105  omeiunltfirp  42178  carageniuncllem2  42181  hoidmvlelem2  42255  hoidmvlelem3  42256  hoiqssbllem2  42282  fsummsndifre  42884  fsummmodsndifre  42886