Theorem fsumrecl 15691

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11090	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11116	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 483	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11142	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15689	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3885  (class class class)co 7360  Fincfn 8887  ℂcc 11031  ℝcr 11032   + caddc 11036  Σcsu 15643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644

This theorem is referenced by:  fsumless  15754  fsumle  15757  fsumlt  15758  fsumabs  15759  o1fsum  15771  isumltss  15808  climcndslem1  15809  climcndslem2  15810  mertenslem1  15844  rpnnen2lem10  16185  prmreclem4  16885  prmreclem5  16886  lebnumlem1  24950  csbren  25388  trirn  25389  rrxmet  25397  rrxdstprj1  25398  ovolfiniun  25490  ovoliunlem1  25491  ovolscalem1  25502  ovolicc2lem4  25509  volfiniun  25536  uniioombllem3a  25573  uniioombllem4  25575  i1fd  25670  itg1cl  25674  i1fadd  25684  i1fmul  25685  dvfsumge  26011  dvfsumabs  26012  dvfsumrlimf  26014  dvfsumlem2  26016  dvfsumlem3  26017  dvfsumlem4  26018  dvfsum2  26023  aaliou3lem5  26335  mtest  26391  mtestbdd  26392  abelthlem7  26425  abelthlem8  26426  log2ublem2  26933  log2ub  26935  birthdaylem3  26939  emcllem1  26981  emcllem2  26982  emcllem3  26983  harmoniclbnd  26994  harmonicubnd  26995  harmonicbnd4  26996  fsumharmonic  26997  ftalem1  27058  ftalem4  27061  ftalem5  27062  chtf  27093  chpf  27108  chpub  27205  logfaclbnd  27207  logexprlim  27210  chtppilimlem1  27458  vmadivsum  27467  vmadivsumb  27468  rplogsumlem1  27469  rplogsumlem2  27470  rpvmasumlem  27472  dchrisumlem2  27475  dchrmusum2  27479  dchrvmasumlem2  27483  dchrvmasumlem3  27484  dchrvmasumiflem1  27486  dchrisum0ff  27492  dchrisum0flblem1  27493  dchrisum0fno1  27496  dchrisum0re  27498  dchrisum0lem1  27501  dchrisum0lem2a  27502  rplogsum  27512  dirith2  27513  mudivsum  27515  mulogsumlem  27516  mulog2sumlem1  27519  mulog2sumlem2  27520  vmalogdivsum2  27523  vmalogdivsum  27524  2vmadivsumlem  27525  logsqvma2  27528  log2sumbnd  27529  selberglem2  27531  selberg  27533  selbergb  27534  selberg2b  27537  chpdifbndlem1  27538  logdivbnd  27541  selberg3lem1  27542  selberg3lem2  27543  selberg3  27544  selberg4lem1  27545  selberg4  27546  pntrsumo1  27550  pntrsumbnd  27551  pntrsumbnd2  27552  selberg3r  27554  selberg4r  27555  selberg34r  27556  pntsf  27558  pntsval2  27561  pntrlog2bndlem1  27562  pntrlog2bndlem2  27563  pntrlog2bndlem3  27564  pntrlog2bndlem4  27565  pntrlog2bndlem5  27566  pntrlog2bndlem6  27568  pntrlog2bnd  27569  pntpbnd1  27571  pntpbnd2  27572  pntlemj  27588  pntlemf  27590  pntlemk  27591  pntlemo  27592  axsegconlem2  29009  ax5seglem3  29022  ax5seg  29029  esumpcvgval  34274  esumcvg  34282  sibfof  34536  reprlt  34815  reprgt  34817  reprinfz1  34818  hgt750lemd  34844  hgt750lemb  34852  hgt750lema  34853  hgt750leme  34854  tgoldbachgtde  34856  knoppndvlem5  36837  knoppndvlem11  36843  knoppndvlem14  36846  mettrifi  38139  geomcau  38141  rrnmet  38211  rrndstprj1  38212  rrndstprj2  38213  aks4d1p1p2  42570  sticksstones6  42651  unitscyglem4  42698  sumcubes  42805  fltnltalem  43127  refsumcn  45493  fsumge0cl  46032  fsumreclf  46035  stoweidlem11  46468  stoweidlem17  46474  stoweidlem20  46477  stoweidlem26  46483  stoweidlem30  46487  stoweidlem32  46489  stoweidlem38  46495  stoweidlem44  46501  stirlinglem12  46542  dirkeritg  46559  fourierdlem73  46636  fourierdlem83  46646  fourierdlem112  46675  etransclem23  46714  etransclem35  46726  etransclem48  46739  sge0rnre  46821  sge0cl  46838  sge0fsum  46844  sge0ltfirp  46857  sge0le  46864  sge0split  46866  sge0iunmptlemfi  46870  sge0iunmptlemre  46872  sge0xaddlem1  46890  sge0xaddlem2  46891  sge0seq  46903  omeiunltfirp  46976  carageniuncllem2  46979  hoidmvlelem2  47053  hoidmvlelem3  47054  hoiqssbllem2  47080  fsummsndifre  47857  fsummmodsndifre  47859