MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumrecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumrecl 14688
Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcl.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
fsumrecl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-resscn 10278 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3 readdcl 10304 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
43adantl 469 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5 fsumcl.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
6 fsumrecl.2 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 0red 10328 . 2 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
82, 4, 5, 6, 7fsumcllem 14686 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 2156  wss 3769  (class class class)co 6874  Fincfn 8192  cc 10219  cr 10220   + caddc 10224  Σcsu 14639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-oadd 7800  df-er 7979  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-sup 8587  df-oi 8654  df-card 9048  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-rp 12047  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-seq 13025  df-exp 13084  df-hash 13338  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-clim 14442  df-sum 14640
This theorem is referenced by:  fsumless  14750  fsumle  14753  fsumlt  14754  fsumabs  14755  o1fsum  14767  isumltss  14802  climcndslem1  14803  climcndslem2  14804  mertenslem1  14837  rpnnen2lem10  15172  prmreclem4  15840  prmreclem5  15841  lebnumlem1  22973  csbren  23394  trirn  23395  rrxmet  23403  rrxdstprj1  23404  ovolfiniun  23482  ovoliunlem1  23483  ovolscalem1  23494  ovolicc2lem4  23501  volfiniun  23528  uniioombllem3a  23565  uniioombllem4  23567  i1fd  23662  itg1cl  23666  i1fadd  23676  i1fmul  23677  dvfsumge  23999  dvfsumabs  24000  dvfsumrlimf  24002  dvfsumlem2  24004  dvfsumlem3  24005  dvfsumlem4  24006  dvfsum2  24011  aaliou3lem5  24316  mtest  24372  mtestbdd  24373  abelthlem7  24406  abelthlem8  24407  log2ublem2  24888  log2ub  24890  birthdaylem3  24894  emcllem1  24936  emcllem2  24937  emcllem3  24938  harmoniclbnd  24949  harmonicubnd  24950  harmonicbnd4  24951  fsumharmonic  24952  ftalem1  25013  ftalem4  25016  ftalem5  25017  chtf  25048  chpf  25063  chpub  25159  logfaclbnd  25161  logexprlim  25164  chtppilimlem1  25376  vmadivsum  25385  vmadivsumb  25386  rplogsumlem1  25387  rplogsumlem2  25388  rpvmasumlem  25390  dchrisumlem2  25393  dchrmusum2  25397  dchrvmasumlem2  25401  dchrvmasumlem3  25402  dchrvmasumiflem1  25404  dchrisum0ff  25410  dchrisum0flblem1  25411  dchrisum0fno1  25414  dchrisum0re  25416  dchrisum0lem1  25419  dchrisum0lem2a  25420  rplogsum  25430  dirith2  25431  mudivsum  25433  mulogsumlem  25434  mulog2sumlem1  25437  mulog2sumlem2  25438  vmalogdivsum2  25441  vmalogdivsum  25442  2vmadivsumlem  25443  logsqvma2  25446  log2sumbnd  25447  selberglem2  25449  selberg  25451  selbergb  25452  selberg2b  25455  chpdifbndlem1  25456  logdivbnd  25459  selberg3lem1  25460  selberg3lem2  25461  selberg3  25462  selberg4lem1  25463  selberg4  25464  pntrsumo1  25468  pntrsumbnd  25469  pntrsumbnd2  25470  selberg3r  25472  selberg4r  25473  selberg34r  25474  pntsf  25476  pntsval2  25479  pntrlog2bndlem1  25480  pntrlog2bndlem2  25481  pntrlog2bndlem3  25482  pntrlog2bndlem4  25483  pntrlog2bndlem5  25484  pntrlog2bndlem6  25486  pntrlog2bnd  25487  pntpbnd1  25489  pntpbnd2  25490  pntlemj  25506  pntlemf  25508  pntlemk  25509  pntlemo  25510  axsegconlem2  26012  ax5seglem3  26025  ax5seg  26032  esumpcvgval  30465  esumcvg  30473  sibfof  30727  reprlt  31022  reprgt  31024  reprinfz1  31025  hgt750lemd  31051  hgt750lemb  31059  hgt750lema  31060  hgt750leme  31061  tgoldbachgtde  31063  knoppndvlem5  32824  knoppndvlem11  32830  knoppndvlem14  32833  mettrifi  33864  geomcau  33866  rrnmet  33939  rrndstprj1  33940  rrndstprj2  33941  refsumcn  39683  fsumge0cl  40285  fsumreclf  40288  stoweidlem11  40707  stoweidlem17  40713  stoweidlem20  40716  stoweidlem26  40722  stoweidlem30  40726  stoweidlem32  40728  stoweidlem38  40734  stoweidlem44  40740  stirlinglem12  40781  dirkeritg  40798  fourierdlem73  40875  fourierdlem83  40885  fourierdlem112  40914  etransclem23  40953  etransclem35  40965  etransclem48  40978  sge0rnre  41060  sge0cl  41077  sge0fsum  41083  sge0ltfirp  41096  sge0le  41103  sge0split  41105  sge0iunmptlemfi  41109  sge0iunmptlemre  41111  sge0xaddlem1  41129  sge0xaddlem2  41130  sge0seq  41142  omeiunltfirp  41215  carageniuncllem2  41218  hoidmvlelem2  41292  hoidmvlelem3  41293  hoiqssbllem2  41319  fsummsndifre  41917  fsummmodsndifre  41919
  Copyright terms: Public domain W3C validator