Theorem fsumrecl 15755

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11191	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11217	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11243	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15753	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  ℂcc 11132  ℝcr 11133   + caddc 11137  Σcsu 15707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708

This theorem is referenced by:  fsumless  15817  fsumle  15820  fsumlt  15821  fsumabs  15822  o1fsum  15834  isumltss  15869  climcndslem1  15870  climcndslem2  15871  mertenslem1  15905  rpnnen2lem10  16246  prmreclem4  16944  prmreclem5  16945  lebnumlem1  24916  csbren  25356  trirn  25357  rrxmet  25365  rrxdstprj1  25366  ovolfiniun  25459  ovoliunlem1  25460  ovolscalem1  25471  ovolicc2lem4  25478  volfiniun  25505  uniioombllem3a  25542  uniioombllem4  25544  i1fd  25639  itg1cl  25643  i1fadd  25653  i1fmul  25654  dvfsumge  25985  dvfsumabs  25986  dvfsumrlimf  25988  dvfsumlem2  25990  dvfsumlem2OLD  25991  dvfsumlem3  25992  dvfsumlem4  25993  dvfsum2  25998  aaliou3lem5  26312  mtest  26370  mtestbdd  26371  abelthlem7  26405  abelthlem8  26406  log2ublem2  26914  log2ub  26916  birthdaylem3  26920  emcllem1  26963  emcllem2  26964  emcllem3  26965  harmoniclbnd  26976  harmonicubnd  26977  harmonicbnd4  26978  fsumharmonic  26979  ftalem1  27040  ftalem4  27043  ftalem5  27044  chtf  27075  chpf  27090  chpub  27188  logfaclbnd  27190  logexprlim  27193  chtppilimlem1  27441  vmadivsum  27450  vmadivsumb  27451  rplogsumlem1  27452  rplogsumlem2  27453  rpvmasumlem  27455  dchrisumlem2  27458  dchrmusum2  27462  dchrvmasumlem2  27466  dchrvmasumlem3  27467  dchrvmasumiflem1  27469  dchrisum0ff  27475  dchrisum0flblem1  27476  dchrisum0fno1  27479  dchrisum0re  27481  dchrisum0lem1  27484  dchrisum0lem2a  27485  rplogsum  27495  dirith2  27496  mudivsum  27498  mulogsumlem  27499  mulog2sumlem1  27502  mulog2sumlem2  27503  vmalogdivsum2  27506  vmalogdivsum  27507  2vmadivsumlem  27508  logsqvma2  27511  log2sumbnd  27512  selberglem2  27514  selberg  27516  selbergb  27517  selberg2b  27520  chpdifbndlem1  27521  logdivbnd  27524  selberg3lem1  27525  selberg3lem2  27526  selberg3  27527  selberg4lem1  27528  selberg4  27529  pntrsumo1  27533  pntrsumbnd  27534  pntrsumbnd2  27535  selberg3r  27537  selberg4r  27538  selberg34r  27539  pntsf  27541  pntsval2  27544  pntrlog2bndlem1  27545  pntrlog2bndlem2  27546  pntrlog2bndlem3  27547  pntrlog2bndlem4  27548  pntrlog2bndlem5  27549  pntrlog2bndlem6  27551  pntrlog2bnd  27552  pntpbnd1  27554  pntpbnd2  27555  pntlemj  27571  pntlemf  27573  pntlemk  27574  pntlemo  27575  axsegconlem2  28902  ax5seglem3  28915  ax5seg  28922  esumpcvgval  34114  esumcvg  34122  sibfof  34377  reprlt  34656  reprgt  34658  reprinfz1  34659  hgt750lemd  34685  hgt750lemb  34693  hgt750lema  34694  hgt750leme  34695  tgoldbachgtde  34697  knoppndvlem5  36539  knoppndvlem11  36545  knoppndvlem14  36548  mettrifi  37786  geomcau  37788  rrnmet  37858  rrndstprj1  37859  rrndstprj2  37860  aks4d1p1p2  42088  sticksstones6  42169  unitscyglem4  42216  sumcubes  42329  fltnltalem  42652  refsumcn  45021  fsumge0cl  45569  fsumreclf  45572  stoweidlem11  46007  stoweidlem17  46013  stoweidlem20  46016  stoweidlem26  46022  stoweidlem30  46026  stoweidlem32  46028  stoweidlem38  46034  stoweidlem44  46040  stirlinglem12  46081  dirkeritg  46098  fourierdlem73  46175  fourierdlem83  46185  fourierdlem112  46214  etransclem23  46253  etransclem35  46265  etransclem48  46278  sge0rnre  46360  sge0cl  46377  sge0fsum  46383  sge0ltfirp  46396  sge0le  46403  sge0split  46405  sge0iunmptlemfi  46409  sge0iunmptlemre  46411  sge0xaddlem1  46429  sge0xaddlem2  46430  sge0seq  46442  omeiunltfirp  46515  carageniuncllem2  46518  hoidmvlelem2  46592  hoidmvlelem3  46593  hoiqssbllem2  46619  fsummsndifre  47353  fsummmodsndifre  47355