Theorem fsumrecl 15785

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11157	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11183	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11211	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15783	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3911  (class class class)co 7411  Fincfn 8943  ℂcc 11098  ℝcr 11099   + caddc 11103  Σcsu 15737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9610  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-clim 15539  df-sum 15738

This theorem is referenced by:  fsumless  15848  fsumle  15851  fsumlt  15852  fsumabs  15853  o1fsum  15865  isumltss  15902  climcndslem1  15903  climcndslem2  15904  mertenslem1  15938  rpnnen2lem10  16279  prmreclem4  16979  prmreclem5  16980  lebnumlem1  25089  csbren  25527  trirn  25528  rrxmet  25536  rrxdstprj1  25537  ovolfiniun  25629  ovoliunlem1  25630  ovolscalem1  25641  ovolicc2lem4  25648  volfiniun  25675  uniioombllem3a  25712  uniioombllem4  25714  i1fd  25809  itg1cl  25813  i1fadd  25823  i1fmul  25824  dvfsumge  26150  dvfsumabs  26151  dvfsumrlimf  26153  dvfsumlem2  26155  dvfsumlem3  26156  dvfsumlem4  26157  dvfsum2  26162  aaliou3lem5  26477  mtest  26533  mtestbdd  26534  abelthlem7  26567  abelthlem8  26568  log2ublem2  27078  log2ub  27080  birthdaylem3  27084  emcllem1  27126  emcllem2  27127  emcllem3  27128  harmoniclbnd  27139  harmonicubnd  27140  harmonicbnd4  27141  fsumharmonic  27142  ftalem1  27203  ftalem4  27206  ftalem5  27207  chtf  27238  chpf  27253  chpub  27350  logfaclbnd  27352  logexprlim  27355  chtppilimlem1  27603  vmadivsum  27612  vmadivsumb  27613  rplogsumlem1  27614  rplogsumlem2  27615  rpvmasumlem  27617  dchrisumlem2  27620  dchrmusum2  27624  dchrvmasumlem2  27628  dchrvmasumlem3  27629  dchrvmasumiflem1  27631  dchrisum0ff  27637  dchrisum0flblem1  27638  dchrisum0fno1  27641  dchrisum0re  27643  dchrisum0lem1  27646  dchrisum0lem2a  27647  rplogsum  27657  dirith2  27658  mudivsum  27660  mulogsumlem  27661  mulog2sumlem1  27664  mulog2sumlem2  27665  vmalogdivsum2  27668  vmalogdivsum  27669  2vmadivsumlem  27670  logsqvma2  27673  log2sumbnd  27674  selberglem2  27676  selberg  27678  selbergb  27679  selberg2b  27682  chpdifbndlem1  27683  logdivbnd  27686  selberg3lem1  27687  selberg3lem2  27688  selberg3  27689  selberg4lem1  27690  selberg4  27691  pntrsumo1  27695  pntrsumbnd  27696  pntrsumbnd2  27697  selberg3r  27699  selberg4r  27700  selberg34r  27701  pntsf  27703  pntsval2  27706  pntrlog2bndlem1  27707  pntrlog2bndlem2  27708  pntrlog2bndlem3  27709  pntrlog2bndlem4  27710  pntrlog2bndlem5  27711  pntrlog2bndlem6  27713  pntrlog2bnd  27714  pntpbnd1  27716  pntpbnd2  27717  pntlemj  27733  pntlemf  27735  pntlemk  27736  pntlemo  27737  axsegconlem2  29209  ax5seglem3  29222  ax5seg  29229  esumpcvgval  34413  esumcvg  34421  sibfof  34675  reprlt  34951  reprgt  34953  reprinfz1  34954  hgt750lemd  34980  hgt750lemb  34988  hgt750lema  34989  hgt750leme  34990  tgoldbachgtde  34992  knoppndvlem5  37028  knoppndvlem11  37034  knoppndvlem14  37037  mettrifi  38331  geomcau  38333  rrnmet  38403  rrndstprj1  38404  rrndstprj2  38405  aks4d1p1p2  42762  sticksstones6  42843  unitscyglem4  42890  sumcubes  42999  fltnltalem  43321  refsumcn  45677  fsumge0cl  46216  fsumreclf  46219  stoweidlem11  46652  stoweidlem17  46658  stoweidlem20  46661  stoweidlem26  46667  stoweidlem30  46671  stoweidlem32  46673  stoweidlem38  46679  stoweidlem44  46685  stirlinglem12  46726  dirkeritg  46743  fourierdlem73  46820  fourierdlem83  46830  fourierdlem112  46859  etransclem23  46898  etransclem35  46910  etransclem48  46923  sge0rnre  47005  sge0cl  47022  sge0fsum  47028  sge0ltfirp  47041  sge0le  47048  sge0split  47050  sge0iunmptlemfi  47054  sge0iunmptlemre  47056  sge0xaddlem1  47074  sge0xaddlem2  47075  sge0seq  47087  omeiunltfirp  47160  carageniuncllem2  47163  hoidmvlelem2  47237  hoidmvlelem3  47238  hoiqssbllem2  47264  fsummsndifre  48041  fsummmodsndifre  48043