Theorem fsumrecl 15766

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11209	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11235	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11261	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15764	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3962  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  ℂcc 11150  ℝcr 11151   + caddc 11155  Σcsu 15718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719

This theorem is referenced by:  fsumless  15828  fsumle  15831  fsumlt  15832  fsumabs  15833  o1fsum  15845  isumltss  15880  climcndslem1  15881  climcndslem2  15882  mertenslem1  15916  rpnnen2lem10  16255  prmreclem4  16952  prmreclem5  16953  lebnumlem1  25006  csbren  25446  trirn  25447  rrxmet  25455  rrxdstprj1  25456  ovolfiniun  25549  ovoliunlem1  25550  ovolscalem1  25561  ovolicc2lem4  25568  volfiniun  25595  uniioombllem3a  25632  uniioombllem4  25634  i1fd  25729  itg1cl  25733  i1fadd  25743  i1fmul  25744  dvfsumge  26076  dvfsumabs  26077  dvfsumrlimf  26079  dvfsumlem2  26081  dvfsumlem2OLD  26082  dvfsumlem3  26083  dvfsumlem4  26084  dvfsum2  26089  aaliou3lem5  26403  mtest  26461  mtestbdd  26462  abelthlem7  26496  abelthlem8  26497  log2ublem2  27004  log2ub  27006  birthdaylem3  27010  emcllem1  27053  emcllem2  27054  emcllem3  27055  harmoniclbnd  27066  harmonicubnd  27067  harmonicbnd4  27068  fsumharmonic  27069  ftalem1  27130  ftalem4  27133  ftalem5  27134  chtf  27165  chpf  27180  chpub  27278  logfaclbnd  27280  logexprlim  27283  chtppilimlem1  27531  vmadivsum  27540  vmadivsumb  27541  rplogsumlem1  27542  rplogsumlem2  27543  rpvmasumlem  27545  dchrisumlem2  27548  dchrmusum2  27552  dchrvmasumlem2  27556  dchrvmasumlem3  27557  dchrvmasumiflem1  27559  dchrisum0ff  27565  dchrisum0flblem1  27566  dchrisum0fno1  27569  dchrisum0re  27571  dchrisum0lem1  27574  dchrisum0lem2a  27575  rplogsum  27585  dirith2  27586  mudivsum  27588  mulogsumlem  27589  mulog2sumlem1  27592  mulog2sumlem2  27593  vmalogdivsum2  27596  vmalogdivsum  27597  2vmadivsumlem  27598  logsqvma2  27601  log2sumbnd  27602  selberglem2  27604  selberg  27606  selbergb  27607  selberg2b  27610  chpdifbndlem1  27611  logdivbnd  27614  selberg3lem1  27615  selberg3lem2  27616  selberg3  27617  selberg4lem1  27618  selberg4  27619  pntrsumo1  27623  pntrsumbnd  27624  pntrsumbnd2  27625  selberg3r  27627  selberg4r  27628  selberg34r  27629  pntsf  27631  pntsval2  27634  pntrlog2bndlem1  27635  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem3  27637  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem5  27639  pntrlog2bndlem6  27641  pntrlog2bnd  27642  pntpbnd1  27644  pntpbnd2  27645  pntlemj  27661  pntlemf  27663  pntlemk  27664  pntlemo  27665  axsegconlem2  28947  ax5seglem3  28960  ax5seg  28967  esumpcvgval  34058  esumcvg  34066  sibfof  34321  reprlt  34612  reprgt  34614  reprinfz1  34615  hgt750lemd  34641  hgt750lemb  34649  hgt750lema  34650  hgt750leme  34651  tgoldbachgtde  34653  knoppndvlem5  36498  knoppndvlem11  36504  knoppndvlem14  36507  mettrifi  37743  geomcau  37745  rrnmet  37815  rrndstprj1  37816  rrndstprj2  37817  aks4d1p1p2  42051  sticksstones6  42132  unitscyglem4  42179  sumcubes  42325  fltnltalem  42648  refsumcn  44967  fsumge0cl  45528  fsumreclf  45531  stoweidlem11  45966  stoweidlem17  45972  stoweidlem20  45975  stoweidlem26  45981  stoweidlem30  45985  stoweidlem32  45987  stoweidlem38  45993  stoweidlem44  45999  stirlinglem12  46040  dirkeritg  46057  fourierdlem73  46134  fourierdlem83  46144  fourierdlem112  46173  etransclem23  46212  etransclem35  46224  etransclem48  46237  sge0rnre  46319  sge0cl  46336  sge0fsum  46342  sge0ltfirp  46355  sge0le  46362  sge0split  46364  sge0iunmptlemfi  46368  sge0iunmptlemre  46370  sge0xaddlem1  46388  sge0xaddlem2  46389  sge0seq  46401  omeiunltfirp  46474  carageniuncllem2  46477  hoidmvlelem2  46551  hoidmvlelem3  46552  hoiqssbllem2  46578  fsummsndifre  47296  fsummmodsndifre  47298