Theorem fsumrecl 15455

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 10937	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 10963	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 10987	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15453	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3888  (class class class)co 7284  Fincfn 8742  ℂcc 10878  ℝcr 10879   + caddc 10883  Σcsu 15406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-sup 9210  df-oi 9278  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-rp 12740  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-seq 13731  df-exp 13792  df-hash 14054  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-clim 15206  df-sum 15407

This theorem is referenced by:  fsumless  15517  fsumle  15520  fsumlt  15521  fsumabs  15522  o1fsum  15534  isumltss  15569  climcndslem1  15570  climcndslem2  15571  mertenslem1  15605  rpnnen2lem10  15941  prmreclem4  16629  prmreclem5  16630  lebnumlem1  24133  csbren  24572  trirn  24573  rrxmet  24581  rrxdstprj1  24582  ovolfiniun  24674  ovoliunlem1  24675  ovolscalem1  24686  ovolicc2lem4  24693  volfiniun  24720  uniioombllem3a  24757  uniioombllem4  24759  i1fd  24854  itg1cl  24858  i1fadd  24868  i1fmul  24869  dvfsumge  25195  dvfsumabs  25196  dvfsumrlimf  25198  dvfsumlem2  25200  dvfsumlem3  25201  dvfsumlem4  25202  dvfsum2  25207  aaliou3lem5  25516  mtest  25572  mtestbdd  25573  abelthlem7  25606  abelthlem8  25607  log2ublem2  26106  log2ub  26108  birthdaylem3  26112  emcllem1  26154  emcllem2  26155  emcllem3  26156  harmoniclbnd  26167  harmonicubnd  26168  harmonicbnd4  26169  fsumharmonic  26170  ftalem1  26231  ftalem4  26234  ftalem5  26235  chtf  26266  chpf  26281  chpub  26377  logfaclbnd  26379  logexprlim  26382  chtppilimlem1  26630  vmadivsum  26639  vmadivsumb  26640  rplogsumlem1  26641  rplogsumlem2  26642  rpvmasumlem  26644  dchrisumlem2  26647  dchrmusum2  26651  dchrvmasumlem2  26655  dchrvmasumlem3  26656  dchrvmasumiflem1  26658  dchrisum0ff  26664  dchrisum0flblem1  26665  dchrisum0fno1  26668  dchrisum0re  26670  dchrisum0lem1  26673  dchrisum0lem2a  26674  rplogsum  26684  dirith2  26685  mudivsum  26687  mulogsumlem  26688  mulog2sumlem1  26691  mulog2sumlem2  26692  vmalogdivsum2  26695  vmalogdivsum  26696  2vmadivsumlem  26697  logsqvma2  26700  log2sumbnd  26701  selberglem2  26703  selberg  26705  selbergb  26706  selberg2b  26709  chpdifbndlem1  26710  logdivbnd  26713  selberg3lem1  26714  selberg3lem2  26715  selberg3  26716  selberg4lem1  26717  selberg4  26718  pntrsumo1  26722  pntrsumbnd  26723  pntrsumbnd2  26724  selberg3r  26726  selberg4r  26727  selberg34r  26728  pntsf  26730  pntsval2  26733  pntrlog2bndlem1  26734  pntrlog2bndlem2  26735  pntrlog2bndlem3  26736  pntrlog2bndlem4  26737  pntrlog2bndlem5  26738  pntrlog2bndlem6  26740  pntrlog2bnd  26741  pntpbnd1  26743  pntpbnd2  26744  pntlemj  26760  pntlemf  26762  pntlemk  26763  pntlemo  26764  axsegconlem2  27295  ax5seglem3  27308  ax5seg  27315  esumpcvgval  32055  esumcvg  32063  sibfof  32316  reprlt  32608  reprgt  32610  reprinfz1  32611  hgt750lemd  32637  hgt750lemb  32645  hgt750lema  32646  hgt750leme  32647  tgoldbachgtde  32649  knoppndvlem5  34705  knoppndvlem11  34711  knoppndvlem14  34714  mettrifi  35924  geomcau  35926  rrnmet  35996  rrndstprj1  35997  rrndstprj2  35998  aks4d1p1p2  40085  sticksstones6  40114  fltnltalem  40506  refsumcn  42580  fsumge0cl  43121  fsumreclf  43124  stoweidlem11  43559  stoweidlem17  43565  stoweidlem20  43568  stoweidlem26  43574  stoweidlem30  43578  stoweidlem32  43580  stoweidlem38  43586  stoweidlem44  43592  stirlinglem12  43633  dirkeritg  43650  fourierdlem73  43727  fourierdlem83  43737  fourierdlem112  43766  etransclem23  43805  etransclem35  43817  etransclem48  43830  sge0rnre  43909  sge0cl  43926  sge0fsum  43932  sge0ltfirp  43945  sge0le  43952  sge0split  43954  sge0iunmptlemfi  43958  sge0iunmptlemre  43960  sge0xaddlem1  43978  sge0xaddlem2  43979  sge0seq  43991  omeiunltfirp  44064  carageniuncllem2  44067  hoidmvlelem2  44141  hoidmvlelem3  44142  hoiqssbllem2  44168  fsummsndifre  44835  fsummmodsndifre  44837