Theorem fsumrecl 15782

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11241	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11267	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11293	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15780	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  (class class class)co 7448  Fincfn 9003  ℂcc 11182  ℝcr 11183   + caddc 11187  Σcsu 15734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-clim 15534  df-sum 15735

This theorem is referenced by:  fsumless  15844  fsumle  15847  fsumlt  15848  fsumabs  15849  o1fsum  15861  isumltss  15896  climcndslem1  15897  climcndslem2  15898  mertenslem1  15932  rpnnen2lem10  16271  prmreclem4  16966  prmreclem5  16967  lebnumlem1  25012  csbren  25452  trirn  25453  rrxmet  25461  rrxdstprj1  25462  ovolfiniun  25555  ovoliunlem1  25556  ovolscalem1  25567  ovolicc2lem4  25574  volfiniun  25601  uniioombllem3a  25638  uniioombllem4  25640  i1fd  25735  itg1cl  25739  i1fadd  25749  i1fmul  25750  dvfsumge  26082  dvfsumabs  26083  dvfsumrlimf  26085  dvfsumlem2  26087  dvfsumlem2OLD  26088  dvfsumlem3  26089  dvfsumlem4  26090  dvfsum2  26095  aaliou3lem5  26407  mtest  26465  mtestbdd  26466  abelthlem7  26500  abelthlem8  26501  log2ublem2  27008  log2ub  27010  birthdaylem3  27014  emcllem1  27057  emcllem2  27058  emcllem3  27059  harmoniclbnd  27070  harmonicubnd  27071  harmonicbnd4  27072  fsumharmonic  27073  ftalem1  27134  ftalem4  27137  ftalem5  27138  chtf  27169  chpf  27184  chpub  27282  logfaclbnd  27284  logexprlim  27287  chtppilimlem1  27535  vmadivsum  27544  vmadivsumb  27545  rplogsumlem1  27546  rplogsumlem2  27547  rpvmasumlem  27549  dchrisumlem2  27552  dchrmusum2  27556  dchrvmasumlem2  27560  dchrvmasumlem3  27561  dchrvmasumiflem1  27563  dchrisum0ff  27569  dchrisum0flblem1  27570  dchrisum0fno1  27573  dchrisum0re  27575  dchrisum0lem1  27578  dchrisum0lem2a  27579  rplogsum  27589  dirith2  27590  mudivsum  27592  mulogsumlem  27593  mulog2sumlem1  27596  mulog2sumlem2  27597  vmalogdivsum2  27600  vmalogdivsum  27601  2vmadivsumlem  27602  logsqvma2  27605  log2sumbnd  27606  selberglem2  27608  selberg  27610  selbergb  27611  selberg2b  27614  chpdifbndlem1  27615  logdivbnd  27618  selberg3lem1  27619  selberg3lem2  27620  selberg3  27621  selberg4lem1  27622  selberg4  27623  pntrsumo1  27627  pntrsumbnd  27628  pntrsumbnd2  27629  selberg3r  27631  selberg4r  27632  selberg34r  27633  pntsf  27635  pntsval2  27638  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bndlem6  27645  pntrlog2bnd  27646  pntpbnd1  27648  pntpbnd2  27649  pntlemj  27665  pntlemf  27667  pntlemk  27668  pntlemo  27669  axsegconlem2  28951  ax5seglem3  28964  ax5seg  28971  esumpcvgval  34042  esumcvg  34050  sibfof  34305  reprlt  34596  reprgt  34598  reprinfz1  34599  hgt750lemd  34625  hgt750lemb  34633  hgt750lema  34634  hgt750leme  34635  tgoldbachgtde  34637  knoppndvlem5  36482  knoppndvlem11  36488  knoppndvlem14  36491  mettrifi  37717  geomcau  37719  rrnmet  37789  rrndstprj1  37790  rrndstprj2  37791  aks4d1p1p2  42027  sticksstones6  42108  unitscyglem4  42155  sumcubes  42301  fltnltalem  42617  refsumcn  44930  fsumge0cl  45494  fsumreclf  45497  stoweidlem11  45932  stoweidlem17  45938  stoweidlem20  45941  stoweidlem26  45947  stoweidlem30  45951  stoweidlem32  45953  stoweidlem38  45959  stoweidlem44  45965  stirlinglem12  46006  dirkeritg  46023  fourierdlem73  46100  fourierdlem83  46110  fourierdlem112  46139  etransclem23  46178  etransclem35  46190  etransclem48  46203  sge0rnre  46285  sge0cl  46302  sge0fsum  46308  sge0ltfirp  46321  sge0le  46328  sge0split  46330  sge0iunmptlemfi  46334  sge0iunmptlemre  46336  sge0xaddlem1  46354  sge0xaddlem2  46355  sge0seq  46367  omeiunltfirp  46440  carageniuncllem2  46443  hoidmvlelem2  46517  hoidmvlelem3  46518  hoiqssbllem2  46544  fsummsndifre  47246  fsummmodsndifre  47248