Theorem fsumrecl 15677

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11103	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11129	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11155	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15675	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  (class class class)co 7369  Fincfn 8895  ℂcc 11044  ℝcr 11045   + caddc 11049  Σcsu 15629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9572  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123  ax-pre-sup 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-oi 9439  df-card 9870  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-div 11814  df-nn 12165  df-2 12227  df-3 12228  df-n0 12421  df-z 12508  df-uz 12772  df-rp 12930  df-fz 13447  df-fzo 13594  df-seq 13945  df-exp 14005  df-hash 14274  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15431  df-sum 15630

This theorem is referenced by:  fsumless  15739  fsumle  15742  fsumlt  15743  fsumabs  15744  o1fsum  15756  isumltss  15791  climcndslem1  15792  climcndslem2  15793  mertenslem1  15827  rpnnen2lem10  16168  prmreclem4  16867  prmreclem5  16868  lebnumlem1  24894  csbren  25333  trirn  25334  rrxmet  25342  rrxdstprj1  25343  ovolfiniun  25436  ovoliunlem1  25437  ovolscalem1  25448  ovolicc2lem4  25455  volfiniun  25482  uniioombllem3a  25519  uniioombllem4  25521  i1fd  25616  itg1cl  25620  i1fadd  25630  i1fmul  25631  dvfsumge  25962  dvfsumabs  25963  dvfsumrlimf  25965  dvfsumlem2  25967  dvfsumlem2OLD  25968  dvfsumlem3  25969  dvfsumlem4  25970  dvfsum2  25975  aaliou3lem5  26289  mtest  26347  mtestbdd  26348  abelthlem7  26382  abelthlem8  26383  log2ublem2  26891  log2ub  26893  birthdaylem3  26897  emcllem1  26940  emcllem2  26941  emcllem3  26942  harmoniclbnd  26953  harmonicubnd  26954  harmonicbnd4  26955  fsumharmonic  26956  ftalem1  27017  ftalem4  27020  ftalem5  27021  chtf  27052  chpf  27067  chpub  27165  logfaclbnd  27167  logexprlim  27170  chtppilimlem1  27418  vmadivsum  27427  vmadivsumb  27428  rplogsumlem1  27429  rplogsumlem2  27430  rpvmasumlem  27432  dchrisumlem2  27435  dchrmusum2  27439  dchrvmasumlem2  27443  dchrvmasumlem3  27444  dchrvmasumiflem1  27446  dchrisum0ff  27452  dchrisum0flblem1  27453  dchrisum0fno1  27456  dchrisum0re  27458  dchrisum0lem1  27461  dchrisum0lem2a  27462  rplogsum  27472  dirith2  27473  mudivsum  27475  mulogsumlem  27476  mulog2sumlem1  27479  mulog2sumlem2  27480  vmalogdivsum2  27483  vmalogdivsum  27484  2vmadivsumlem  27485  logsqvma2  27488  log2sumbnd  27489  selberglem2  27491  selberg  27493  selbergb  27494  selberg2b  27497  chpdifbndlem1  27498  logdivbnd  27501  selberg3lem1  27502  selberg3lem2  27503  selberg3  27504  selberg4lem1  27505  selberg4  27506  pntrsumo1  27510  pntrsumbnd  27511  pntrsumbnd2  27512  selberg3r  27514  selberg4r  27515  selberg34r  27516  pntsf  27518  pntsval2  27521  pntrlog2bndlem1  27522  pntrlog2bndlem2  27523  pntrlog2bndlem3  27524  pntrlog2bndlem4  27525  pntrlog2bndlem5  27526  pntrlog2bndlem6  27528  pntrlog2bnd  27529  pntpbnd1  27531  pntpbnd2  27532  pntlemj  27548  pntlemf  27550  pntlemk  27551  pntlemo  27552  axsegconlem2  28899  ax5seglem3  28912  ax5seg  28919  esumpcvgval  34062  esumcvg  34070  sibfof  34325  reprlt  34604  reprgt  34606  reprinfz1  34607  hgt750lemd  34633  hgt750lemb  34641  hgt750lema  34642  hgt750leme  34643  tgoldbachgtde  34645  knoppndvlem5  36498  knoppndvlem11  36504  knoppndvlem14  36507  mettrifi  37745  geomcau  37747  rrnmet  37817  rrndstprj1  37818  rrndstprj2  37819  aks4d1p1p2  42052  sticksstones6  42133  unitscyglem4  42180  sumcubes  42295  fltnltalem  42644  refsumcn  45018  fsumge0cl  45565  fsumreclf  45568  stoweidlem11  46003  stoweidlem17  46009  stoweidlem20  46012  stoweidlem26  46018  stoweidlem30  46022  stoweidlem32  46024  stoweidlem38  46030  stoweidlem44  46036  stirlinglem12  46077  dirkeritg  46094  fourierdlem73  46171  fourierdlem83  46181  fourierdlem112  46210  etransclem23  46249  etransclem35  46261  etransclem48  46274  sge0rnre  46356  sge0cl  46373  sge0fsum  46379  sge0ltfirp  46392  sge0le  46399  sge0split  46401  sge0iunmptlemfi  46405  sge0iunmptlemre  46407  sge0xaddlem1  46425  sge0xaddlem2  46426  sge0seq  46438  omeiunltfirp  46511  carageniuncllem2  46514  hoidmvlelem2  46588  hoidmvlelem3  46589  hoiqssbllem2  46615  fsummsndifre  47367  fsummmodsndifre  47369