Theorem fsumrecl 15684

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11169	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11195	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11221	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15682	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3947  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  ℂcc 11110  ℝcr 11111   + caddc 11115  Σcsu 15636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637

This theorem is referenced by:  fsumless  15746  fsumle  15749  fsumlt  15750  fsumabs  15751  o1fsum  15763  isumltss  15798  climcndslem1  15799  climcndslem2  15800  mertenslem1  15834  rpnnen2lem10  16170  prmreclem4  16856  prmreclem5  16857  lebnumlem1  24707  csbren  25147  trirn  25148  rrxmet  25156  rrxdstprj1  25157  ovolfiniun  25250  ovoliunlem1  25251  ovolscalem1  25262  ovolicc2lem4  25269  volfiniun  25296  uniioombllem3a  25333  uniioombllem4  25335  i1fd  25430  itg1cl  25434  i1fadd  25444  i1fmul  25445  dvfsumge  25774  dvfsumabs  25775  dvfsumrlimf  25777  dvfsumlem2  25779  dvfsumlem3  25780  dvfsumlem4  25781  dvfsum2  25786  aaliou3lem5  26096  mtest  26152  mtestbdd  26153  abelthlem7  26186  abelthlem8  26187  log2ublem2  26688  log2ub  26690  birthdaylem3  26694  emcllem1  26736  emcllem2  26737  emcllem3  26738  harmoniclbnd  26749  harmonicubnd  26750  harmonicbnd4  26751  fsumharmonic  26752  ftalem1  26813  ftalem4  26816  ftalem5  26817  chtf  26848  chpf  26863  chpub  26959  logfaclbnd  26961  logexprlim  26964  chtppilimlem1  27212  vmadivsum  27221  vmadivsumb  27222  rplogsumlem1  27223  rplogsumlem2  27224  rpvmasumlem  27226  dchrisumlem2  27229  dchrmusum2  27233  dchrvmasumlem2  27237  dchrvmasumlem3  27238  dchrvmasumiflem1  27240  dchrisum0ff  27246  dchrisum0flblem1  27247  dchrisum0fno1  27250  dchrisum0re  27252  dchrisum0lem1  27255  dchrisum0lem2a  27256  rplogsum  27266  dirith2  27267  mudivsum  27269  mulogsumlem  27270  mulog2sumlem1  27273  mulog2sumlem2  27274  vmalogdivsum2  27277  vmalogdivsum  27278  2vmadivsumlem  27279  logsqvma2  27282  log2sumbnd  27283  selberglem2  27285  selberg  27287  selbergb  27288  selberg2b  27291  chpdifbndlem1  27292  logdivbnd  27295  selberg3lem1  27296  selberg3lem2  27297  selberg3  27298  selberg4lem1  27299  selberg4  27300  pntrsumo1  27304  pntrsumbnd  27305  pntrsumbnd2  27306  selberg3r  27308  selberg4r  27309  selberg34r  27310  pntsf  27312  pntsval2  27315  pntrlog2bndlem1  27316  pntrlog2bndlem2  27317  pntrlog2bndlem3  27318  pntrlog2bndlem4  27319  pntrlog2bndlem5  27320  pntrlog2bndlem6  27322  pntrlog2bnd  27323  pntpbnd1  27325  pntpbnd2  27326  pntlemj  27342  pntlemf  27344  pntlemk  27345  pntlemo  27346  axsegconlem2  28443  ax5seglem3  28456  ax5seg  28463  esumpcvgval  33374  esumcvg  33382  sibfof  33637  reprlt  33929  reprgt  33931  reprinfz1  33932  hgt750lemd  33958  hgt750lemb  33966  hgt750lema  33967  hgt750leme  33968  tgoldbachgtde  33970  gg-dvfsumlem2  35469  knoppndvlem5  35695  knoppndvlem11  35701  knoppndvlem14  35704  mettrifi  36928  geomcau  36930  rrnmet  37000  rrndstprj1  37001  rrndstprj2  37002  aks4d1p1p2  41241  sticksstones6  41273  sumcubes  41513  fltnltalem  41706  refsumcn  44016  fsumge0cl  44587  fsumreclf  44590  stoweidlem11  45025  stoweidlem17  45031  stoweidlem20  45034  stoweidlem26  45040  stoweidlem30  45044  stoweidlem32  45046  stoweidlem38  45052  stoweidlem44  45058  stirlinglem12  45099  dirkeritg  45116  fourierdlem73  45193  fourierdlem83  45203  fourierdlem112  45232  etransclem23  45271  etransclem35  45283  etransclem48  45296  sge0rnre  45378  sge0cl  45395  sge0fsum  45401  sge0ltfirp  45414  sge0le  45421  sge0split  45423  sge0iunmptlemfi  45427  sge0iunmptlemre  45429  sge0xaddlem1  45447  sge0xaddlem2  45448  sge0seq  45460  omeiunltfirp  45533  carageniuncllem2  45536  hoidmvlelem2  45610  hoidmvlelem3  45611  hoiqssbllem2  45637  fsummsndifre  46338  fsummmodsndifre  46340