Theorem fsumrecl 15545

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11029	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11055	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11079	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15543	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3898  (class class class)co 7337  Fincfn 8804  ℂcc 10970  ℝcr 10971   + caddc 10975  Σcsu 15496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-sum 15497

This theorem is referenced by:  fsumless  15607  fsumle  15610  fsumlt  15611  fsumabs  15612  o1fsum  15624  isumltss  15659  climcndslem1  15660  climcndslem2  15661  mertenslem1  15695  rpnnen2lem10  16031  prmreclem4  16717  prmreclem5  16718  lebnumlem1  24230  csbren  24669  trirn  24670  rrxmet  24678  rrxdstprj1  24679  ovolfiniun  24771  ovoliunlem1  24772  ovolscalem1  24783  ovolicc2lem4  24790  volfiniun  24817  uniioombllem3a  24854  uniioombllem4  24856  i1fd  24951  itg1cl  24955  i1fadd  24965  i1fmul  24966  dvfsumge  25292  dvfsumabs  25293  dvfsumrlimf  25295  dvfsumlem2  25297  dvfsumlem3  25298  dvfsumlem4  25299  dvfsum2  25304  aaliou3lem5  25613  mtest  25669  mtestbdd  25670  abelthlem7  25703  abelthlem8  25704  log2ublem2  26203  log2ub  26205  birthdaylem3  26209  emcllem1  26251  emcllem2  26252  emcllem3  26253  harmoniclbnd  26264  harmonicubnd  26265  harmonicbnd4  26266  fsumharmonic  26267  ftalem1  26328  ftalem4  26331  ftalem5  26332  chtf  26363  chpf  26378  chpub  26474  logfaclbnd  26476  logexprlim  26479  chtppilimlem1  26727  vmadivsum  26736  vmadivsumb  26737  rplogsumlem1  26738  rplogsumlem2  26739  rpvmasumlem  26741  dchrisumlem2  26744  dchrmusum2  26748  dchrvmasumlem2  26752  dchrvmasumlem3  26753  dchrvmasumiflem1  26755  dchrisum0ff  26761  dchrisum0flblem1  26762  dchrisum0fno1  26765  dchrisum0re  26767  dchrisum0lem1  26770  dchrisum0lem2a  26771  rplogsum  26781  dirith2  26782  mudivsum  26784  mulogsumlem  26785  mulog2sumlem1  26788  mulog2sumlem2  26789  vmalogdivsum2  26792  vmalogdivsum  26793  2vmadivsumlem  26794  logsqvma2  26797  log2sumbnd  26798  selberglem2  26800  selberg  26802  selbergb  26803  selberg2b  26806  chpdifbndlem1  26807  logdivbnd  26810  selberg3lem1  26811  selberg3lem2  26812  selberg3  26813  selberg4lem1  26814  selberg4  26815  pntrsumo1  26819  pntrsumbnd  26820  pntrsumbnd2  26821  selberg3r  26823  selberg4r  26824  selberg34r  26825  pntsf  26827  pntsval2  26830  pntrlog2bndlem1  26831  pntrlog2bndlem2  26832  pntrlog2bndlem3  26833  pntrlog2bndlem4  26834  pntrlog2bndlem5  26835  pntrlog2bndlem6  26837  pntrlog2bnd  26838  pntpbnd1  26840  pntpbnd2  26841  pntlemj  26857  pntlemf  26859  pntlemk  26860  pntlemo  26861  axsegconlem2  27575  ax5seglem3  27588  ax5seg  27595  esumpcvgval  32344  esumcvg  32352  sibfof  32607  reprlt  32899  reprgt  32901  reprinfz1  32902  hgt750lemd  32928  hgt750lemb  32936  hgt750lema  32937  hgt750leme  32938  tgoldbachgtde  32940  knoppndvlem5  34792  knoppndvlem11  34798  knoppndvlem14  34801  mettrifi  36020  geomcau  36022  rrnmet  36092  rrndstprj1  36093  rrndstprj2  36094  aks4d1p1p2  40332  sticksstones6  40364  fltnltalem  40761  refsumcn  42894  fsumge0cl  43450  fsumreclf  43453  stoweidlem11  43888  stoweidlem17  43894  stoweidlem20  43897  stoweidlem26  43903  stoweidlem30  43907  stoweidlem32  43909  stoweidlem38  43915  stoweidlem44  43921  stirlinglem12  43962  dirkeritg  43979  fourierdlem73  44056  fourierdlem83  44066  fourierdlem112  44095  etransclem23  44134  etransclem35  44146  etransclem48  44159  sge0rnre  44239  sge0cl  44256  sge0fsum  44262  sge0ltfirp  44275  sge0le  44282  sge0split  44284  sge0iunmptlemfi  44288  sge0iunmptlemre  44290  sge0xaddlem1  44308  sge0xaddlem2  44309  sge0seq  44321  omeiunltfirp  44394  carageniuncllem2  44397  hoidmvlelem2  44471  hoidmvlelem3  44472  hoiqssbllem2  44498  fsummsndifre  45175  fsummmodsndifre  45177