Theorem fsumrecl 15700

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11125	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11151	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11177	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15698	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  ℂcc 11066  ℝcr 11067   + caddc 11071  Σcsu 15652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653

This theorem is referenced by:  fsumless  15762  fsumle  15765  fsumlt  15766  fsumabs  15767  o1fsum  15779  isumltss  15814  climcndslem1  15815  climcndslem2  15816  mertenslem1  15850  rpnnen2lem10  16191  prmreclem4  16890  prmreclem5  16891  lebnumlem1  24860  csbren  25299  trirn  25300  rrxmet  25308  rrxdstprj1  25309  ovolfiniun  25402  ovoliunlem1  25403  ovolscalem1  25414  ovolicc2lem4  25421  volfiniun  25448  uniioombllem3a  25485  uniioombllem4  25487  i1fd  25582  itg1cl  25586  i1fadd  25596  i1fmul  25597  dvfsumge  25928  dvfsumabs  25929  dvfsumrlimf  25931  dvfsumlem2  25933  dvfsumlem2OLD  25934  dvfsumlem3  25935  dvfsumlem4  25936  dvfsum2  25941  aaliou3lem5  26255  mtest  26313  mtestbdd  26314  abelthlem7  26348  abelthlem8  26349  log2ublem2  26857  log2ub  26859  birthdaylem3  26863  emcllem1  26906  emcllem2  26907  emcllem3  26908  harmoniclbnd  26919  harmonicubnd  26920  harmonicbnd4  26921  fsumharmonic  26922  ftalem1  26983  ftalem4  26986  ftalem5  26987  chtf  27018  chpf  27033  chpub  27131  logfaclbnd  27133  logexprlim  27136  chtppilimlem1  27384  vmadivsum  27393  vmadivsumb  27394  rplogsumlem1  27395  rplogsumlem2  27396  rpvmasumlem  27398  dchrisumlem2  27401  dchrmusum2  27405  dchrvmasumlem2  27409  dchrvmasumlem3  27410  dchrvmasumiflem1  27412  dchrisum0ff  27418  dchrisum0flblem1  27419  dchrisum0fno1  27422  dchrisum0re  27424  dchrisum0lem1  27427  dchrisum0lem2a  27428  rplogsum  27438  dirith2  27439  mudivsum  27441  mulogsumlem  27442  mulog2sumlem1  27445  mulog2sumlem2  27446  vmalogdivsum2  27449  vmalogdivsum  27450  2vmadivsumlem  27451  logsqvma2  27454  log2sumbnd  27455  selberglem2  27457  selberg  27459  selbergb  27460  selberg2b  27463  chpdifbndlem1  27464  logdivbnd  27467  selberg3lem1  27468  selberg3lem2  27469  selberg3  27470  selberg4lem1  27471  selberg4  27472  pntrsumo1  27476  pntrsumbnd  27477  pntrsumbnd2  27478  selberg3r  27480  selberg4r  27481  selberg34r  27482  pntsf  27484  pntsval2  27487  pntrlog2bndlem1  27488  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem3  27490  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  pntrlog2bndlem6  27494  pntrlog2bnd  27495  pntpbnd1  27497  pntpbnd2  27498  pntlemj  27514  pntlemf  27516  pntlemk  27517  pntlemo  27518  axsegconlem2  28845  ax5seglem3  28858  ax5seg  28865  esumpcvgval  34068  esumcvg  34076  sibfof  34331  reprlt  34610  reprgt  34612  reprinfz1  34613  hgt750lemd  34639  hgt750lemb  34647  hgt750lema  34648  hgt750leme  34649  tgoldbachgtde  34651  knoppndvlem5  36504  knoppndvlem11  36510  knoppndvlem14  36513  mettrifi  37751  geomcau  37753  rrnmet  37823  rrndstprj1  37824  rrndstprj2  37825  aks4d1p1p2  42058  sticksstones6  42139  unitscyglem4  42186  sumcubes  42301  fltnltalem  42650  refsumcn  45024  fsumge0cl  45571  fsumreclf  45574  stoweidlem11  46009  stoweidlem17  46015  stoweidlem20  46018  stoweidlem26  46024  stoweidlem30  46028  stoweidlem32  46030  stoweidlem38  46036  stoweidlem44  46042  stirlinglem12  46083  dirkeritg  46100  fourierdlem73  46177  fourierdlem83  46187  fourierdlem112  46216  etransclem23  46255  etransclem35  46267  etransclem48  46280  sge0rnre  46362  sge0cl  46379  sge0fsum  46385  sge0ltfirp  46398  sge0le  46405  sge0split  46407  sge0iunmptlemfi  46411  sge0iunmptlemre  46413  sge0xaddlem1  46431  sge0xaddlem2  46432  sge0seq  46444  omeiunltfirp  46517  carageniuncllem2  46520  hoidmvlelem2  46594  hoidmvlelem3  46595  hoiqssbllem2  46621  fsummsndifre  47370  fsummmodsndifre  47372