Theorem fsumrecl 15926

Description: Closure of a finite sum of reals. (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrecl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
fsumrecl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrecl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-resscn 11281	. . 3 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
3		readdcl 11307	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
4	3	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumrecl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		0red 11335	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 15924	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  (class class class)co 7440  Fincfn 8998  ℂcc 11222  ℝcr 11223   + caddc 11227  Σcsu 15879

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880

This theorem is used by:  fsumless  15989  fsumle  15992  fsumlt  15993  fsumabs  15994  o1fsum  16006  isumltss  16043  climcndslem1  16044  climcndslem2  16045  mertenslem1  16079  rpnnen2lem10  16417  prmreclem4  17123  prmreclem5  17124  lebnumlem1  25309  csbren  25747  trirn  25748  rrxmet  25756  rrxdstprj1  25757  ovolfiniun  25849  ovoliunlem1  25850  ovolscalem1  25861  ovolicc2lem4  25868  volfiniun  25895  uniioombllem3a  25932  uniioombllem4  25934  i1fd  26029  itg1cl  26033  i1fadd  26043  i1fmul  26044  dvfsumge  26369  dvfsumabs  26370  dvfsumrlimf  26372  dvfsumlem2  26374  dvfsumlem3  26375  dvfsumlem4  26376  dvfsum2  26381  aaliou3lem5  26701  mtest  26758  mtestbdd  26759  abelthlem7  26792  abelthlem8  26793  log2ublem2  27302  log2ub  27304  birthdaylem3  27308  emcllem1  27350  emcllem2  27351  emcllem3  27352  harmoniclbnd  27363  harmonicubnd  27364  harmonicbnd4  27365  fsumharmonic  27366  ftalem1  27427  ftalem4  27430  ftalem5  27431  chtf  27462  chpf  27477  chpub  27574  logfaclbnd  27576  logexprlim  27579  chtppilimlem1  27827  vmadivsum  27836  vmadivsumb  27837  rplogsumlem1  27838  rplogsumlem2  27839  rpvmasumlem  27841  dchrisumlem2  27844  dchrmusum2  27848  dchrvmasumlem2  27852  dchrvmasumlem3  27853  dchrvmasumiflem1  27855  dchrisum0ff  27861  dchrisum0flblem1  27862  dchrisum0fno1  27865  dchrisum0re  27867  dchrisum0lem1  27870  dchrisum0lem2a  27871  rplogsum  27881  dirith2  27882  mudivsum  27884  mulogsumlem  27885  mulog2sumlem1  27888  mulog2sumlem2  27889  vmalogdivsum2  27892  vmalogdivsum  27893  2vmadivsumlem  27894  logsqvma2  27897  log2sumbnd  27898  selberglem2  27900  selberg  27902  selbergb  27903  selberg2b  27906  chpdifbndlem1  27907  logdivbnd  27910  selberg3lem1  27911  selberg3lem2  27912  selberg3  27913  selberg4lem1  27914  selberg4  27915  pntrsumo1  27919  pntrsumbnd  27920  pntrsumbnd2  27921  selberg3r  27923  selberg4r  27924  selberg34r  27925  pntsf  27927  pntsval2  27930  pntrlog2bndlem1  27931  pntrlog2bndlem2  27932  pntrlog2bndlem3  27933  pntrlog2bndlem4  27934  pntrlog2bndlem5  27935  pntrlog2bndlem6  27937  pntrlog2bnd  27938  pntpbnd1  27940  pntpbnd2  27941  pntlemj  27957  pntlemf  27959  pntlemk  27960  pntlemo  27961  axsegconlem2  29523  ax5seglem3  29536  ax5seg  29543  esumpcvgval  34777  esumcvg  34785  sibfof  35039  reprlt  35315  reprgt  35317  reprinfz1  35318  hgt750lemd  35344  hgt750lemb  35352  hgt750lema  35353  hgt750leme  35354  tgoldbachgtde  35356  knoppndvlem5  37559  knoppndvlem11  37565  knoppndvlem14  37568  mettrifi  38882  geomcau  38884  rrnmet  38954  rrndstprj1  38955  rrndstprj2  38956  aks4d1p1p2  43311  sticksstones6  43392  unitscyglem4  43439  sumcubes  43561  fltnltalem  43864  refsumcn  46250  fsumge0cl  46788  fsumreclf  46791  stoweidlem11  47224  stoweidlem17  47230  stoweidlem20  47233  stoweidlem26  47239  stoweidlem30  47243  stoweidlem32  47245  stoweidlem38  47251  stoweidlem44  47257  stirlinglem12  47298  dirkeritg  47315  fourierdlem73  47392  fourierdlem83  47402  fourierdlem112  47431  etransclem23  47470  etransclem35  47482  etransclem48  47495  sge0rnre  47577  sge0cl  47594  sge0fsum  47600  sge0ltfirp  47613  sge0le  47620  sge0split  47622  sge0iunmptlemfi  47626  sge0iunmptlemre  47628  sge0xaddlem1  47646  sge0xaddlem2  47647  sge0seq  47659  omeiunltfirp  47732  carageniuncllem2  47735  hoidmvlelem2  47809  hoidmvlelem3  47810  hoiqssbllem2  47836  fsummsndifre  48653  fsummmodsndifre  48655