MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumrlim3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumrlim3 24136
Description: Conjoin the statements of dvfsumrlim 24134 and dvfsumrlim2 24135. (This is useful as a target for lemmas, because the hypotheses to this theorem are complex, and we don't want to repeat ourselves.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
dvfsumrlim.g 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
dvfsumrlim.k (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
dvfsumrlim3.1 (𝑥 = 𝑋𝐵 = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
dvfsumrlim3 (𝜑 → (𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐺𝑟 𝐿𝑋𝑆𝐷𝑋) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim3
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . 3 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 dvfsum.z . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 dvfsum.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
4 dvfsum.d . . 3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
5 dvfsum.md . . 3 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
6 dvfsum.t . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
7 dvfsum.a . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
8 dvfsum.b1 . . 3 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
9 dvfsum.b2 . . 3 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
10 dvfsum.b3 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
11 dvfsum.c . . 3 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
12 dvfsumrlim.g . . 3 𝐺 = (𝑥𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴))
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12dvfsumrlimf 24128 . 2 (𝜑𝐺:𝑆⟶ℝ)
14 dvfsumrlim.l . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
15 dvfsumrlim.k . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 12, 15dvfsumrlim 24134 . 2 (𝜑𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )
173adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝑀 ∈ ℤ)
184adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝐷 ∈ ℝ)
195adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
206adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝑇 ∈ ℝ)
217adantlr 707 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
228adantlr 707 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
239adantlr 707 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
2410adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
25143adant1r 1224 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘)) → 𝐶𝐵)
2615adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → (𝑥𝑆𝐵) ⇝𝑟 0)
27 simprr 790 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝑋𝑆)
28 simprl 788 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) → 𝐷𝑋)
291, 2, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 11, 25, 12, 26, 27, 28dvfsumrlim2 24135 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝐺𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐵)
3027adantr 473 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝐺𝑟 𝐿) → 𝑋𝑆)
31 nfcvd 2943 . . . . . . . 8 (𝑋𝑆𝑥𝐸)
32 dvfsumrlim3.1 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋𝐵 = 𝐸)
3331, 32csbiegf 3753 . . . . . . 7 (𝑋𝑆𝑋 / 𝑥𝐵 = 𝐸)
3430, 33syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝐺𝑟 𝐿) → 𝑋 / 𝑥𝐵 = 𝐸)
3529, 34breqtrd 4870 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑆)) ∧ 𝐺𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)
3635exp42 427 . . . 4 (𝜑 → (𝐷𝑋 → (𝑋𝑆 → (𝐺𝑟 𝐿 → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))))
3736com24 95 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑟 𝐿 → (𝑋𝑆 → (𝐷𝑋 → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))))
38373impd 1458 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑟 𝐿𝑋𝑆𝐷𝑋) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))
3913, 16, 383jca 1159 1 (𝜑 → (𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐺𝑟 𝐿𝑋𝑆𝐷𝑋) → (abs‘((𝐺𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  csb 3729   class class class wbr 4844  cmpt 4923  dom cdm 5313  wf 6098  cfv 6102  (class class class)co 6879  cr 10224  0cc0 10225  1c1 10226   + caddc 10228  +∞cpnf 10361  cle 10365  cmin 10557  cz 11665  cuz 11929  (,)cioo 12423  ...cfz 12579  cfl 12845  abscabs 14314  𝑟 crli 14556  Σcsu 14756   D cdv 23967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-inf2 8789  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302  ax-pre-sup 10303  ax-addf 10304  ax-mulf 10305
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-iin 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-se 5273  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-isom 6111  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-of 7132  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-supp 7534  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-2o 7801  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-ixp 8150  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-fsupp 8519  df-fi 8560  df-sup 8591  df-inf 8592  df-oi 8658  df-card 9052  df-cda 9279  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-div 10978  df-nn 11314  df-2 11375  df-3 11376  df-4 11377  df-5 11378  df-6 11379  df-7 11380  df-8 11381  df-9 11382  df-n0 11580  df-z 11666  df-dec 11783  df-uz 11930  df-q 12033  df-rp 12074  df-xneg 12192  df-xadd 12193  df-xmul 12194  df-ioo 12427  df-ico 12429  df-icc 12430  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-fl 12847  df-seq 13055  df-exp 13114  df-hash 13370  df-cj 14179  df-re 14180  df-im 14181  df-sqrt 14315  df-abs 14316  df-limsup 14542  df-clim 14559  df-rlim 14560  df-sum 14757  df-struct 16185  df-ndx 16186  df-slot 16187  df-base 16189  df-sets 16190  df-ress 16191  df-plusg 16279  df-mulr 16280  df-starv 16281  df-sca 16282  df-vsca 16283  df-ip 16284  df-tset 16285  df-ple 16286  df-ds 16288  df-unif 16289  df-hom 16290  df-cco 16291  df-rest 16397  df-topn 16398  df-0g 16416  df-gsum 16417  df-topgen 16418  df-pt 16419  df-prds 16422  df-xrs 16476  df-qtop 16481  df-imas 16482  df-xps 16484  df-mre 16560  df-mrc 16561  df-acs 16563  df-mgm 17556  df-sgrp 17598  df-mnd 17609  df-submnd 17650  df-mulg 17856  df-cntz 18061  df-cmn 18509  df-psmet 20059  df-xmet 20060  df-met 20061  df-bl 20062  df-mopn 20063  df-fbas 20064  df-fg 20065  df-cnfld 20068  df-top 21026  df-topon 21043  df-topsp 21065  df-bases 21078  df-cld 21151  df-ntr 21152  df-cls 21153  df-nei 21230  df-lp 21268  df-perf 21269  df-cn 21359  df-cnp 21360  df-haus 21447  df-cmp 21518  df-tx 21693  df-hmeo 21886  df-fil 21977  df-fm 22069  df-flim 22070  df-flf 22071  df-xms 22452  df-ms 22453  df-tms 22454  df-cncf 23008  df-limc 23970  df-dv 23971
This theorem is referenced by:  divsqrtsumlem  25057  logdivsum  25573
  Copyright terms: Public domain W3C validator