Theorem dvfsumrlim3 26089

Description: Conjoin the statements of dvfsumrlim 26087 and dvfsumrlim2 26088. (This is useful as a target for lemmas, because the hypotheses to this theorem are complex, and we don't want to repeat ourselves.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsumrlim.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
dvfsumrlim.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
dvfsumrlim3.1	⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
dvfsumrlim3	⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐺 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑋) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		dvfsum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		dvfsum.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		dvfsum.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
5		dvfsum.md	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
6		dvfsum.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
7		dvfsum.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		dvfsum.b1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
9		dvfsum.b2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		dvfsum.b3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
11		dvfsum.c	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
12		dvfsumrlim.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	dvfsumrlimf 26080	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
14		dvfsumrlim.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
15		dvfsumrlim.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 12, 15	dvfsumrlim 26087	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )
17	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ ℤ)
18	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝐷 ∈ ℝ)
19	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
20	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑇 ∈ ℝ)
21	7	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	8	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
23	9	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
24	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
25	14	3adant1r 1176	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
26	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
27		simprr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
28		simprl 771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝐷 ≤ 𝑋)
29	1, 2, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 11, 25, 12, 26, 27, 28	dvfsumrlim2 26088	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
30	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝑋 ∈ 𝑆)
31		nfcvd 2904	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → Ⅎ𝑥𝐸)
32		dvfsumrlim3.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = 𝐸)
33	31, 32	csbiegf 3942	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐸)
34	30, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐸)
35	29, 34	breqtrd 5174	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)
36	35	exp42 435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐺 ⇝𝑟 𝐿 → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))))
37	36	com24 95	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝𝑟 𝐿 → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐷 ≤ 𝑋 → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))))
38	37	3impd 1347	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑋) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))
39	13, 16, 38	3jca 1127	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐺 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑋) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ⦋csb 3908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5689  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  +∞cpnf 11290   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  (,)cioo 13384  ...cfz 13544  ⌊cfl 13827  abscabs 15270   ⇝_𝑟 crli 15518  Σcsu 15719   D cdv 25913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-cmp 23411  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917

This theorem is referenced by:  divsqrtsumlem  27038  logdivsum  27592