Theorem dvfsumrlim3 26386

Description: Conjoin the statements of dvfsumrlim 26384 and dvfsumrlim2 26385. (This is useful as a target for lemmas, because the hypotheses to this theorem are complex, and we don't want to repeat ourselves.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsumrlim.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
dvfsumrlim.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
dvfsumrlim3.1	⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
dvfsumrlim3	⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐺 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑋) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑥, 𝑘)   𝐿(𝑥, 𝑘)   𝑉(𝑥, 𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		dvfsum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		dvfsum.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		dvfsum.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
5		dvfsum.md	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
6		dvfsum.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
7		dvfsum.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		dvfsum.b1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
9		dvfsum.b2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		dvfsum.b3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
11		dvfsum.c	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
12		dvfsumrlim.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	dvfsumrlimf 26378	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
14		dvfsumrlim.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
15		dvfsumrlim.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 12, 15	dvfsumrlim 26384	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )
17	3	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ ℤ)
18	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝐷 ∈ ℝ)
19	5	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
20	6	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑇 ∈ ℝ)
21	7	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	8	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
23	9	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
24	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
25	14	3adant1r 1196	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
26	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
27		simprr 785	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
28		simprl 783	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝐷 ≤ 𝑋)
29	1, 2, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 11, 25, 12, 26, 27, 28	dvfsumrlim2 26385	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
30	27	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝑋 ∈ 𝑆)
31		nfcvd 2927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → Ⅎ𝑥𝐸)
32		dvfsumrlim3.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = 𝐸)
33	31, 32	csbiegf 3884	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐸)
34	30, 33	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐸)
35	29, 34	breqtrd 5135	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)
36	35	exp42 441	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐺 ⇝𝑟 𝐿 → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))))
37	36	com24 96	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝𝑟 𝐿 → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐷 ≤ 𝑋 → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))))
38	37	3impd 1367	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑋) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))
39	13, 16, 38	3jca 1146	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐺 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑋) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⦋csb 3851   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5656  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233  +∞cpnf 11370   ≤ cle 11374   − cmin 11571  ℤcz 12723  ℤ_≥cuz 12995  (,)cioo 13506  ...cfz 13669  ⌊cfl 13960  abscabs 15433   ⇝_𝑟 crli 15684  Σcsu 15885   D cdv 26216

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-limsup 15670  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-fbas 21708  df-fg 21709  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-nei 23449  df-lp 23487  df-perf 23488  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-haus 23666  df-cmp 23738  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-fil 24198  df-fm 24290  df-flim 24291  df-flf 24292  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-cncf 25232  df-limc 26219  df-dv 26220

This theorem is used by:  divsqrtsumlem  27340  logdivsum  27893