Theorem dvfsumrlim3 25102

Description: Conjoin the statements of dvfsumrlim 25100 and dvfsumrlim2 25101. (This is useful as a target for lemmas, because the hypotheses to this theorem are complex, and we don't want to repeat ourselves.) (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsumrlim.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsumrlim.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
dvfsumrlim.k	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
dvfsumrlim3.1	⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
dvfsumrlim3	⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐺 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑋) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝑥,𝐸   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑥,𝑍   𝑘,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝐺(𝑥,𝑘)   𝐿(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumrlim3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		dvfsum.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
3		dvfsum.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		dvfsum.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
5		dvfsum.md	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
6		dvfsum.t	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
7		dvfsum.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
8		dvfsum.b1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
9		dvfsum.b2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
10		dvfsum.b3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
11		dvfsum.c	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
12		dvfsumrlim.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴))
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	dvfsumrlimf 25094	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑆⟶ℝ)
14		dvfsumrlim.l	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
15		dvfsumrlim.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 14, 12, 15	dvfsumrlim 25100	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 )
17	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ∈ ℤ)
18	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝐷 ∈ ℝ)
19	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
20	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑇 ∈ ℝ)
21	7	adantlr 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
22	8	adantlr 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
23	9	adantlr 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
24	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
25	14	3adant1r 1175	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
26	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 0)
27		simprr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
28		simprl 767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → 𝐷 ≤ 𝑋)
29	1, 2, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 11, 25, 12, 26, 27, 28	dvfsumrlim2 25101	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
30	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → 𝑋 ∈ 𝑆)
31		nfcvd 2907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → Ⅎ𝑥𝐸)
32		dvfsumrlim3.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = 𝐸)
33	31, 32	csbiegf 3862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐸)
34	30, 33	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐸)
35	29, 34	breqtrd 5096	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) ∧ 𝐺 ⇝𝑟 𝐿) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)
36	35	exp42 435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ≤ 𝑋 → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐺 ⇝𝑟 𝐿 → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))))
37	36	com24 95	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ⇝𝑟 𝐿 → (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐷 ≤ 𝑋 → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))))
38	37	3impd 1346	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑋) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸))
39	13, 16, 38	3jca 1126	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝑆⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐺 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ≤ 𝑋) → (abs‘((𝐺‘𝑋) − 𝐿)) ≤ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ⦋csb 3828   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  dom cdm 5580  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805  +∞cpnf 10937   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  (,)cioo 13008  ...cfz 13168  ⌊cfl 13438  abscabs 14873   ⇝_𝑟 crli 15122  Σcsu 15325   D cdv 24932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-cmp 22446  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936

This theorem is referenced by:  divsqrtsumlem  26034  logdivsum  26586