Theorem dicelval2nd 42226

Description: Membership in value of the partial isomorphism C for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 16-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dicelval2nd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dicelval2nd.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dicelval2nd.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dicelval2nd.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dicelval2nd.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dicelval2nd	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼‘𝑄)) → (2nd ‘𝑌) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem dicelval2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dicelval2nd.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		dicelval2nd.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		dicelval2nd.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dicelval2nd.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dicssdvh 42223	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
8		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		dicelval2nd.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
10	3, 8, 9, 5, 6	dvhvbase 42124	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
12	7, 11	sseqtrd 3967	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
13	12	sseld 3930	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝑌 ∈ (𝐼‘𝑄) → 𝑌 ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸)))
14	13	3impia 1135	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼‘𝑄)) → 𝑌 ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
15		xp2nd 8032	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸) → (2nd ‘𝑌) ∈ 𝐸)
16	14, 15	syl 18	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼‘𝑄)) → (2nd ‘𝑌) ∈ 𝐸)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   × cxp 5649  ‘cfv 6537  2^nd c2nd 7998  Basecbs 17380  lecple 17428  Atomscatm 40300  HLchlt 40387  LHypclh 41021  LTrncltrn 41138  TEndoctendo 41789  DVecHcdvh 42115  DIsoCcdic 42209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-riotaBAD 39990

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-undef 8283  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-proset 18461  df-poset 18480  df-plt 18495  df-lub 18511  df-glb 18512  df-join 18513  df-meet 18514  df-p0 18590  df-p1 18591  df-lat 18599  df-clat 18666  df-oposet 40213  df-ol 40215  df-oml 40216  df-covers 40303  df-ats 40304  df-atl 40335  df-cvlat 40359  df-hlat 40388  df-llines 40535  df-lplanes 40536  df-lvols 40537  df-lines 40538  df-psubsp 40540  df-pmap 40541  df-padd 40833  df-lhyp 41025  df-laut 41026  df-ldil 41141  df-ltrn 41142  df-trl 41196  df-tendo 41792  df-dvech 42116  df-dic 42210

This theorem is used by:  dicvaddcl  42227  dicvscacl  42228