Theorem dicelval2nd 38801

Description: Membership in value of the partial isomorphism C for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 16-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dicelval2nd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dicelval2nd.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dicelval2nd.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dicelval2nd.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dicelval2nd.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dicelval2nd	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼‘𝑄)) → (2nd ‘𝑌) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem dicelval2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dicelval2nd.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		dicelval2nd.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		dicelval2nd.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dicelval2nd.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2759	. . . . . 6 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2759	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dicssdvh 38798	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
8		eqid 2759	. . . . . . 7 ⊢ ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		dicelval2nd.e	. . . . . . 7 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
10	3, 8, 9, 5, 6	dvhvbase 38699	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
11	10	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
12	7, 11	sseqtrd 3935	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
13	12	sseld 3894	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝑌 ∈ (𝐼‘𝑄) → 𝑌 ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸)))
14	13	3impia 1115	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼‘𝑄)) → 𝑌 ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
15		xp2nd 7733	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸) → (2nd ‘𝑌) ∈ 𝐸)
16	14, 15	syl 17	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼‘𝑄)) → (2nd ‘𝑌) ∈ 𝐸)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5037   × cxp 5527  ‘cfv 6341  2^nd c2nd 7699  Basecbs 16556  lecple 16645  Atomscatm 36875  HLchlt 36962  LHypclh 37596  LTrncltrn 37713  TEndoctendo 38364  DVecHcdvh 38690  DIsoCcdic 38784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-riotaBAD 36565

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-iin 4890  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-undef 7956  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-map 8425  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-fz 12954  df-struct 16558  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-plusg 16651  df-sca 16654  df-vsca 16655  df-proset 17619  df-poset 17637  df-plt 17649  df-lub 17665  df-glb 17666  df-join 17667  df-meet 17668  df-p0 17730  df-p1 17731  df-lat 17737  df-clat 17799  df-oposet 36788  df-ol 36790  df-oml 36791  df-covers 36878  df-ats 36879  df-atl 36910  df-cvlat 36934  df-hlat 36963  df-llines 37110  df-lplanes 37111  df-lvols 37112  df-lines 37113  df-psubsp 37115  df-pmap 37116  df-padd 37408  df-lhyp 37600  df-laut 37601  df-ldil 37716  df-ltrn 37717  df-trl 37771  df-tendo 38367  df-dvech 38691  df-dic 38785

This theorem is referenced by:  dicvaddcl  38802  dicvscacl  38803