Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dicelval2nd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dicelval2nd 38801
 Description: Membership in value of the partial isomorphism C for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 16-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dicelval2nd.l = (le‘𝐾)
dicelval2nd.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dicelval2nd.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dicelval2nd.e 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dicelval2nd.i 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dicelval2nd (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼𝑄)) → (2nd𝑌) ∈ 𝐸)

Proof of Theorem dicelval2nd
StepHypRef Expression
1 dicelval2nd.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
2 dicelval2nd.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 dicelval2nd.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 dicelval2nd.i . . . . . 6 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2759 . . . . . 6 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2759 . . . . . 6 (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
71, 2, 3, 4, 5, 6dicssdvh 38798 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
8 eqid 2759 . . . . . . 7 ((LTrn‘𝐾)‘𝑊) = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9 dicelval2nd.e . . . . . . 7 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
103, 8, 9, 5, 6dvhvbase 38699 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
1110adantr 484 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
127, 11sseqtrd 3935 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐼𝑄) ⊆ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
1312sseld 3894 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝑌 ∈ (𝐼𝑄) → 𝑌 ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸)))
14133impia 1115 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼𝑄)) → 𝑌 ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸))
15 xp2nd 7733 . 2 (𝑌 ∈ (((LTrn‘𝐾)‘𝑊) × 𝐸) → (2nd𝑌) ∈ 𝐸)
1614, 15syl 17 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼𝑄)) → (2nd𝑌) ∈ 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   class class class wbr 5037   × cxp 5527  ‘cfv 6341  2nd c2nd 7699  Basecbs 16556  lecple 16645  Atomscatm 36875  HLchlt 36962  LHypclh 37596  LTrncltrn 37713  TEndoctendo 38364  DVecHcdvh 38690  DIsoCcdic 38784 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-riotaBAD 36565 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-iin 4890  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-undef 7956  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-map 8425  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-fz 12954  df-struct 16558  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-plusg 16651  df-sca 16654  df-vsca 16655  df-proset 17619  df-poset 17637  df-plt 17649  df-lub 17665  df-glb 17666  df-join 17667  df-meet 17668  df-p0 17730  df-p1 17731  df-lat 17737  df-clat 17799  df-oposet 36788  df-ol 36790  df-oml 36791  df-covers 36878  df-ats 36879  df-atl 36910  df-cvlat 36934  df-hlat 36963  df-llines 37110  df-lplanes 37111  df-lvols 37112  df-lines 37113  df-psubsp 37115  df-pmap 37116  df-padd 37408  df-lhyp 37600  df-laut 37601  df-ldil 37716  df-ltrn 37717  df-trl 37771  df-tendo 38367  df-dvech 38691  df-dic 38785 This theorem is referenced by:  dicvaddcl  38802  dicvscacl  38803
 Copyright terms: Public domain W3C validator