Theorem dicelval1stN 42061

Description: Membership in value of the partial isomorphism C for a lattice 𝐾. (Contributed by NM, 16-Feb-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
dicelval1st.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dicelval1st.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dicelval1st.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dicelval1st.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dicelval1st.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dicelval1stN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼‘𝑄)) → (1st ‘𝑌) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem dicelval1stN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dicelval1st.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		dicelval1st.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		dicelval1st.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		dicelval1st.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ((DIsoC‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	dicssdvh 42059	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
8		dicelval1st.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ((TEndo‘𝐾)‘𝑊) = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
10	3, 8, 9, 5, 6	dvhvbase 41960	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
12	7, 11	sseqtrd 3967	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝐼‘𝑄) ⊆ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
13	12	sseld 3930	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊)) → (𝑌 ∈ (𝐼‘𝑄) → 𝑌 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊))))
14	13	3impia 1135	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼‘𝑄)) → 𝑌 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)))
15		xp1st 8018	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑇 × ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)) → (1st ‘𝑌) ∈ 𝑇)
16	14, 15	syl 18	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (𝐼‘𝑄)) → (1st ‘𝑌) ∈ 𝑇)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   × cxp 5653  ‘cfv 6533  1^st c1st 7984  Basecbs 17301  lecple 17349  Atomscatm 40136  HLchlt 40223  LHypclh 40857  LTrncltrn 40974  TEndoctendo 41625  DVecHcdvh 41951  DIsoCcdic 42045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-riotaBAD 39826

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-undef 8271  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-proset 18382  df-poset 18401  df-plt 18416  df-lub 18432  df-glb 18433  df-join 18434  df-meet 18435  df-p0 18511  df-p1 18512  df-lat 18520  df-clat 18587  df-oposet 40049  df-ol 40051  df-oml 40052  df-covers 40139  df-ats 40140  df-atl 40171  df-cvlat 40195  df-hlat 40224  df-llines 40371  df-lplanes 40372  df-lvols 40373  df-lines 40374  df-psubsp 40376  df-pmap 40377  df-padd 40669  df-lhyp 40861  df-laut 40862  df-ldil 40977  df-ltrn 40978  df-trl 41032  df-tendo 41628  df-dvech 41952  df-dic 42046

This theorem is used by: (None)