Theorem dihssxp 41196

Description: An isomorphism H value is included in the vector space (expressed as 𝑇 × 𝐸). (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihssxp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihssxp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihssxp.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihssxp.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihssxp.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihssxp.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihssxp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dihssxp	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ⊆ (𝑇 × 𝐸))

Proof of Theorem dihssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihssxp.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dihssxp.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		dihssxp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		dihssxp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dihssxp.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
8	3, 4, 5, 6, 7	dihss 41195	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
9	1, 2, 8	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
10		dihssxp.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11		dihssxp.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
12	4, 10, 11, 6, 7	dvhvbase 41031	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑇 × 𝐸))
13	1, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑇 × 𝐸))
14	9, 13	sseqtrd 4036	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ⊆ (𝑇 × 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1535   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3963   × cxp 5681  ‘cfv 6558  Basecbs 17234  HLchlt 39293  LHypclh 39928  LTrncltrn 40045  TEndoctendo 40696  DVecHcdvh 41022  DIsoHcdih 41172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-riotaBAD 38896

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4915  df-int 4954  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-tpos 8244  df-undef 8291  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8499  df-er 8738  df-map 8861  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-n0 12518  df-z 12605  df-uz 12870  df-fz 13538  df-struct 17170  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-ress 17264  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-0g 17477  df-proset 18341  df-poset 18359  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18795  df-grp 18952  df-minusg 18953  df-sbg 18954  df-subg 19139  df-cntz 19333  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20156  df-ur 20185  df-ring 20238  df-oppr 20336  df-dvdsr 20359  df-unit 20360  df-invr 20390  df-dvr 20403  df-drng 20729  df-lmod 20858  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-lvec 21101  df-oposet 39119  df-ol 39121  df-oml 39122  df-covers 39209  df-ats 39210  df-atl 39241  df-cvlat 39265  df-hlat 39294  df-llines 39442  df-lplanes 39443  df-lvols 39444  df-lines 39445  df-psubsp 39447  df-pmap 39448  df-padd 39740  df-lhyp 39932  df-laut 39933  df-ldil 40048  df-ltrn 40049  df-trl 40103  df-tendo 40699  df-edring 40701  df-disoa 40973  df-dvech 41023  df-dib 41083  df-dic 41117  df-dih 41173

This theorem is referenced by:  dihopcl  41197