Theorem dihssxp 40719

Description: An isomorphism H value is included in the vector space (expressed as 𝑇 × 𝐸). (Contributed by NM, 26-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihssxp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihssxp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihssxp.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
dihssxp.e	⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
dihssxp.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihssxp.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dihssxp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
dihssxp	⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ⊆ (𝑇 × 𝐸))

Proof of Theorem dihssxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dihssxp.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		dihssxp.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		dihssxp.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
4		dihssxp.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dihssxp.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
8	3, 4, 5, 6, 7	dihss 40718	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼‘𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
9	1, 2, 8	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
10		dihssxp.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11		dihssxp.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = ((TEndo‘𝐾)‘𝑊)
12	4, 10, 11, 6, 7	dvhvbase 40554	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑇 × 𝐸))
13	1, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (𝑇 × 𝐸))
14	9, 13	sseqtrd 4018	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘𝑋) ⊆ (𝑇 × 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3945   × cxp 5670  ‘cfv 6542  Basecbs 17173  HLchlt 38816  LHypclh 39451  LTrncltrn 39568  TEndoctendo 40219  DVecHcdvh 40545  DIsoHcdih 40695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-riotaBAD 38419

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17416  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-p1 18411  df-lat 18417  df-clat 18484  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-cntz 19261  df-lsm 19584  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-dvr 20333  df-drng 20619  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-lvec 20981  df-oposet 38642  df-ol 38644  df-oml 38645  df-covers 38732  df-ats 38733  df-atl 38764  df-cvlat 38788  df-hlat 38817  df-llines 38965  df-lplanes 38966  df-lvols 38967  df-lines 38968  df-psubsp 38970  df-pmap 38971  df-padd 39263  df-lhyp 39455  df-laut 39456  df-ldil 39571  df-ltrn 39572  df-trl 39626  df-tendo 40222  df-edring 40224  df-disoa 40496  df-dvech 40546  df-dib 40606  df-dic 40640  df-dih 40696

This theorem is referenced by:  dihopcl  40720