Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eclclwwlkn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eclclwwlkn1 27858
 Description: An equivalence class according to ∼. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Apr-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
erclwwlkn.w 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡𝑊𝑢𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
Assertion
Ref Expression
eclclwwlkn1 (𝐵𝑋 → (𝐵 ∈ (𝑊 / ) ↔ ∃𝑥𝑊 𝐵 = {𝑦𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)}))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡,𝑥,𝑦   𝑛,𝑊   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝑊   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑁   𝑦,𝑊   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑢,𝑡,𝑛)   (𝑢,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑢,𝑡,𝑛)   𝑋(𝑢,𝑡,𝑛)

Proof of Theorem eclclwwlkn1
StepHypRef Expression
1 elqsecl 8338 . 2 (𝐵𝑋 → (𝐵 ∈ (𝑊 / ) ↔ ∃𝑥𝑊 𝐵 = {𝑦𝑥 𝑦}))
2 erclwwlkn.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
3 erclwwlkn.r . . . . . . . . 9 = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡𝑊𝑢𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
42, 3erclwwlknsym 27853 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑦𝑦 𝑥)
52, 3erclwwlknsym 27853 . . . . . . . 8 (𝑦 𝑥𝑥 𝑦)
64, 5impbii 212 . . . . . . 7 (𝑥 𝑦𝑦 𝑥)
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → (𝑥 𝑦𝑦 𝑥))
87abbidv 2886 . . . . 5 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → {𝑦𝑥 𝑦} = {𝑦𝑦 𝑥})
92, 3erclwwlkneq 27850 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝑦𝑊𝑥𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
109el2v 3476 . . . . . . 7 (𝑦 𝑥 ↔ (𝑦𝑊𝑥𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝑦𝑊𝑥𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
1211abbidv 2886 . . . . 5 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → {𝑦𝑦 𝑥} = {𝑦 ∣ (𝑦𝑊𝑥𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))})
13 3anan12 1093 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑊𝑥𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
14 ibar 532 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑊 → ((𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))))
1514bicomd 226 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑊 → ((𝑥𝑊 ∧ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))) ↔ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
1615adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → ((𝑥𝑊 ∧ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))) ↔ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
1713, 16syl5bb 286 . . . . . . 7 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → ((𝑦𝑊𝑥𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
1817abbidv 2886 . . . . . 6 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → {𝑦 ∣ (𝑦𝑊𝑥𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))} = {𝑦 ∣ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))})
19 df-rab 3139 . . . . . 6 {𝑦𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)} = {𝑦 ∣ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))}
2018, 19eqtr4di 2875 . . . . 5 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → {𝑦 ∣ (𝑦𝑊𝑥𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))} = {𝑦𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)})
218, 12, 203eqtrd 2861 . . . 4 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → {𝑦𝑥 𝑦} = {𝑦𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)})
2221eqeq2d 2833 . . 3 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → (𝐵 = {𝑦𝑥 𝑦} ↔ 𝐵 = {𝑦𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)}))
2322rexbidva 3282 . 2 (𝐵𝑋 → (∃𝑥𝑊 𝐵 = {𝑦𝑥 𝑦} ↔ ∃𝑥𝑊 𝐵 = {𝑦𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)}))
241, 23bitrd 282 1 (𝐵𝑋 → (𝐵 ∈ (𝑊 / ) ↔ ∃𝑥𝑊 𝐵 = {𝑦𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  {cab 2800  ∃wrex 3131  {crab 3134  Vcvv 3469   class class class wbr 5042  {copab 5104  (class class class)co 7140   / cqs 8275  0cc0 10526  ...cfz 12885   cyclShift ccsh 14141   ClWWalksN cclwwlkn 27807 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-card 9356  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-hash 13687  df-word 13858  df-concat 13914  df-substr 13994  df-pfx 14024  df-csh 14142  df-clwwlk 27765  df-clwwlkn 27808 This theorem is referenced by:  eleclclwwlkn  27859  hashecclwwlkn1  27860  umgrhashecclwwlk  27861
 Copyright terms: Public domain W3C validator