MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eclclwwlkn1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eclclwwlkn1 29859
Description: An equivalence class according to . (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Apr-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
erclwwlkn.w 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡𝑊𝑢𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
Assertion
Ref Expression
eclclwwlkn1 (𝐵𝑋 → (𝐵 ∈ (𝑊 / ) ↔ ∃𝑥𝑊 𝐵 = {𝑦𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)}))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡,𝑥,𝑦   𝑛,𝑊   𝑥, ,𝑦   𝑥,𝑊   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑁   𝑦,𝑊   𝑦,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑢,𝑡,𝑛)   (𝑢,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑦,𝑢,𝑡,𝑛)   𝑋(𝑢,𝑡,𝑛)

Proof of Theorem eclclwwlkn1
StepHypRef Expression
1 elqsecl 8779 . 2 (𝐵𝑋 → (𝐵 ∈ (𝑊 / ) ↔ ∃𝑥𝑊 𝐵 = {𝑦𝑥 𝑦}))
2 erclwwlkn.w . . . . . . . . 9 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
3 erclwwlkn.r . . . . . . . . 9 = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡𝑊𝑢𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
42, 3erclwwlknsym 29854 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑦𝑦 𝑥)
52, 3erclwwlknsym 29854 . . . . . . . 8 (𝑦 𝑥𝑥 𝑦)
64, 5impbii 208 . . . . . . 7 (𝑥 𝑦𝑦 𝑥)
76a1i 11 . . . . . 6 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → (𝑥 𝑦𝑦 𝑥))
87abbidv 2796 . . . . 5 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → {𝑦𝑥 𝑦} = {𝑦𝑦 𝑥})
92, 3erclwwlkneq 29851 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝑦𝑊𝑥𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
109el2v 3477 . . . . . . 7 (𝑦 𝑥 ↔ (𝑦𝑊𝑥𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
1110a1i 11 . . . . . 6 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → (𝑦 𝑥 ↔ (𝑦𝑊𝑥𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
1211abbidv 2796 . . . . 5 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → {𝑦𝑦 𝑥} = {𝑦 ∣ (𝑦𝑊𝑥𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))})
13 3anan12 1094 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑊𝑥𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
14 ibar 528 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑊 → ((𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥𝑊 ∧ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))))
1514bicomd 222 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑊 → ((𝑥𝑊 ∧ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))) ↔ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
1615adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → ((𝑥𝑊 ∧ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))) ↔ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
1713, 16bitrid 283 . . . . . . 7 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → ((𝑦𝑊𝑥𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
1817abbidv 2796 . . . . . 6 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → {𝑦 ∣ (𝑦𝑊𝑥𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))} = {𝑦 ∣ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))})
19 df-rab 3428 . . . . . 6 {𝑦𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)} = {𝑦 ∣ (𝑦𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))}
2018, 19eqtr4di 2785 . . . . 5 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → {𝑦 ∣ (𝑦𝑊𝑥𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))} = {𝑦𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)})
218, 12, 203eqtrd 2771 . . . 4 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → {𝑦𝑥 𝑦} = {𝑦𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)})
2221eqeq2d 2738 . . 3 ((𝐵𝑋𝑥𝑊) → (𝐵 = {𝑦𝑥 𝑦} ↔ 𝐵 = {𝑦𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)}))
2322rexbidva 3171 . 2 (𝐵𝑋 → (∃𝑥𝑊 𝐵 = {𝑦𝑥 𝑦} ↔ ∃𝑥𝑊 𝐵 = {𝑦𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)}))
241, 23bitrd 279 1 (𝐵𝑋 → (𝐵 ∈ (𝑊 / ) ↔ ∃𝑥𝑊 𝐵 = {𝑦𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  {cab 2704  wrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469   class class class wbr 5142  {copab 5204  (class class class)co 7414   / cqs 8715  0cc0 11124  ...cfz 13502   cyclShift ccsh 14756   ClWWalksN cclwwlkn 29808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-ec 8718  df-qs 8722  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-hash 14308  df-word 14483  df-concat 14539  df-substr 14609  df-pfx 14639  df-csh 14757  df-clwwlk 29766  df-clwwlkn 29809
This theorem is referenced by:  eleclclwwlkn  29860  hashecclwwlkn1  29861  umgrhashecclwwlk  29862
  Copyright terms: Public domain W3C validator