Theorem eclclwwlkn1 30577

Description: An equivalence class according to ∼. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Apr-2018.) (Revised by AV, 30-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
erclwwlkn.w	⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
erclwwlkn.r	⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}

Assertion

Ref	Expression
eclclwwlkn1	⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → (𝐵 ∈ (𝑊 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑊 𝐵 = {𝑦 ∈ 𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)}))

Distinct variable groups:   𝑡,𝑊,𝑢   𝑛,𝑁,𝑢,𝑡,𝑥,𝑦   𝑛,𝑊   𝑥, ∼ ,𝑦   𝑥,𝑊   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝑁   𝑦,𝑊   𝑦,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑢, 𝑡, 𝑛)   ∼ (𝑢, 𝑡, 𝑛)   𝐺(𝑦, 𝑢, 𝑡, 𝑛)   𝑋(𝑢, 𝑡, 𝑛)

Proof of Theorem eclclwwlkn1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elqsecl 8773	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → (𝐵 ∈ (𝑊 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑊 𝐵 = {𝑦 ∣ 𝑥 ∼ 𝑦}))
2		erclwwlkn.w	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (𝑁 ClWWalksN 𝐺)
3		erclwwlkn.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ∼ = {⟨𝑡, 𝑢⟩ ∣ (𝑡 ∈ 𝑊 ∧ 𝑢 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑡 = (𝑢 cyclShift 𝑛))}
4	2, 3	erclwwlknsym 30572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∼ 𝑦 → 𝑦 ∼ 𝑥)
5	2, 3	erclwwlknsym 30572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∼ 𝑥 → 𝑥 ∼ 𝑦)
6	4, 5	impbii 212	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∼ 𝑦 ↔ 𝑦 ∼ 𝑥)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∼ 𝑦 ↔ 𝑦 ∼ 𝑥))
8	7	abbidv 2826	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → {𝑦 ∣ 𝑥 ∼ 𝑦} = {𝑦 ∣ 𝑦 ∼ 𝑥})
9	2, 3	erclwwlkneq 30569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝑦 ∼ 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
10	9	el2v 3457	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∼ 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → (𝑦 ∼ 𝑥 ↔ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
12	11	abbidv 2826	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → {𝑦 ∣ 𝑦 ∼ 𝑥} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))})
13		3anan12 1112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
14		ibar 538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 → ((𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)))))
15	14	bicomd 226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 → ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))) ↔ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
16	15	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → ((𝑥 ∈ 𝑊 ∧ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))) ↔ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
17	13, 16	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → ((𝑦 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)) ↔ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))))
18	17	abbidv 2826	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))})
19		df-rab 3413	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ 𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))}
20	18, 19	eqtr4di 2813	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ 𝑊 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊 ∧ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛))} = {𝑦 ∈ 𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)})
21	8, 12, 20	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → {𝑦 ∣ 𝑥 ∼ 𝑦} = {𝑦 ∈ 𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)})
22	21	eqeq2d 2771	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑊) → (𝐵 = {𝑦 ∣ 𝑥 ∼ 𝑦} ↔ 𝐵 = {𝑦 ∈ 𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)}))
23	22	rexbidva 3184	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → (∃𝑥 ∈ 𝑊 𝐵 = {𝑦 ∣ 𝑥 ∼ 𝑦} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑊 𝐵 = {𝑦 ∈ 𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)}))
24	1, 23	bitrd 282	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑋 → (𝐵 ∈ (𝑊 / ∼ ) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑊 𝐵 = {𝑦 ∈ 𝑊 ∣ ∃𝑛 ∈ (0...𝑁)𝑦 = (𝑥 cyclShift 𝑛)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2738  ∃wrex 3086  {crab 3412  Vcvv 3450   class class class wbr 5103  {copab 5167  (class class class)co 7416   / cqs 8702  0cc0 11149  ...cfz 13586   cyclShift ccsh 14884   ClWWalksN cclwwlkn 30526

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8835  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9419  df-inf 9420  df-card 9969  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-n0 12554  df-z 12641  df-uz 12913  df-rp 13068  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-fl 13878  df-mod 13956  df-hash 14420  df-word 14604  df-concat 14661  df-substr 14734  df-pfx 14766  df-csh 14885  df-clwwlk 30484  df-clwwlkn 30527

This theorem is used by:  eleclclwwlkn  30578  hashecclwwlkn1  30579  umgrhashecclwwlk  30580