Theorem sincos1sgn 16001

Description: The signs of the sine and cosine of 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sincos1sgn	⊢ (0 < (sin‘1) ∧ 0 < (cos‘1))

Proof of Theorem sincos1sgn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11080	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		0lt1 11602	. . 3 ⊢ 0 < 1
3		1le1 11708	. . 3 ⊢ 1 ≤ 1
4		0xr 11127	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ*
5		elioc2 13247	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1)))
6	4, 1, 5	mp2an 690	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0(,]1) ↔ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1 ∧ 1 ≤ 1))
7	1, 2, 3, 6	mpbir3an 1341	. 2 ⊢ 1 ∈ (0(,]1)
8		sin01gt0 15998	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0(,]1) → 0 < (sin‘1))
9		cos01gt0 15999	. . 3 ⊢ (1 ∈ (0(,]1) → 0 < (cos‘1))
10	8, 9	jca 513	. 2 ⊢ (1 ∈ (0(,]1) → (0 < (sin‘1) ∧ 0 < (cos‘1)))
11	7, 10	ax-mp 5	1 ⊢ (0 < (sin‘1) ∧ 0 < (cos‘1))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5096  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341  ℝcr 10975  0cc0 10976  1c1 10977  ℝ^*cxr 11113   < clt 11114   ≤ cle 11115  (,]cioc 13185  sincsin 15872  cosccos 15873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-inf2 9502  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-pre-sup 11054

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-isom 6492  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-pm 8693  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-sup 9303  df-inf 9304  df-oi 9371  df-card 9800  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-div 11738  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-rp 12836  df-ioc 13189  df-ico 13190  df-fz 13345  df-fzo 13488  df-fl 13617  df-seq 13827  df-exp 13888  df-fac 14093  df-hash 14150  df-shft 14877  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-limsup 15279  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-ef 15876  df-sin 15878  df-cos 15879

This theorem is referenced by: (None)