Theorem efifo 25436

Description: The exponential function of an imaginary number maps the reals onto the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efifo.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
efifo.2	⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})

Assertion

Ref	Expression
efifo	⊢ 𝐹:ℝ–onto→𝐶

Distinct variable group:   𝑧,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem efifo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efifo.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
2		ax-icn 10788	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 10819	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
4		mulcl 10813	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
6		efcl 15644	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝑧) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
8		absefi 15757	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)
9		absf 14901	. . . . . . 7 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
10		ffn 6545	. . . . . . 7 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
11		fniniseg 6880	. . . . . . 7 ⊢ (abs Fn ℂ → ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (◡abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (◡abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1))
13	7, 8, 12	sylanbrc 586	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ (◡abs “ {1}))
14		efifo.2	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
15	13, 14	eleqtrrdi 2849	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ 𝐶)
16	1, 15	fmpti 6929	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ⟶𝐶
17		ffn 6545	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶𝐶 → 𝐹 Fn ℝ)
18	16, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐹 Fn ℝ
19		frn 6552	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶𝐶 → ran 𝐹 ⊆ 𝐶)
20	16, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran 𝐹 ⊆ 𝐶
21		df-ima 5564	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π)))
22	1	reseq1i 5847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π)))
23		0xr 10880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24		2re 11904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
25		pire 25348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
26	24, 25	remulcli 10849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
27		elioc2 12998	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (2 · π))))
28	23, 26, 27	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (2 · π)))
29	28	simp1bi 1147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) → 𝑧 ∈ ℝ)
30	29	ssriv 3905	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,](2 · π)) ⊆ ℝ
31		resmpt 5905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0(,](2 · π)) ⊆ ℝ → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
33	22, 32	eqtri 2765	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
34	33	rneqi 5806	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
35		0re 10835	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
37	26	recni 10847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
38	37	addid2i 11020	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + (2 · π)) = (2 · π)
39	38	oveq2i 7224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,](0 + (2 · π))) = (0(,](2 · π))
40	39	eqcomi 2746	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,](2 · π)) = (0(,](0 + (2 · π)))
41	36, 14, 40	efif1o 25435	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto→𝐶)
42	35, 41	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto→𝐶
43		f1ofo 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto→𝐶 → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto→𝐶)
44		forn 6636	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto→𝐶 → ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶)
45	42, 43, 44	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶
46	34, 45	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = 𝐶
47	21, 46	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = 𝐶
48		imassrn 5940	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ (0(,](2 · π))) ⊆ ran 𝐹
49	47, 48	eqsstrri 3936	. . 3 ⊢ 𝐶 ⊆ ran 𝐹
50	20, 49	eqssi 3917	. 2 ⊢ ran 𝐹 = 𝐶
51		df-fo 6386	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ–onto→𝐶 ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ran 𝐹 = 𝐶))
52	18, 50, 51	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝐹:ℝ–onto→𝐶

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3866  {csn 4541   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135  ^◡ccnv 5550  ran crn 5552   ↾ cres 5553   “ cima 5554   Fn wfn 6375  ⟶wf 6376  –onto→wfo 6378  –1-1-onto→wf1o 6379  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730  ici 10731   + caddc 10732   · cmul 10734  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868  2c2 11885  (,]cioc 12936  abscabs 14797  expce 15623  πcpi 15628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764

This theorem is referenced by:  circgrp  25441  circsubm  25442  circtopn  31501  circcn  31502