Theorem efifo 26494

Description: The exponential function of an imaginary number maps the reals onto the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efifo.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
efifo.2	⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})

Assertion

Ref	Expression
efifo	⊢ 𝐹:ℝ–onto→𝐶

Distinct variable group:   𝑧,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem efifo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efifo.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
2		ax-icn 11198	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
4		mulcl 11223	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
6		efcl 16059	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝑧) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
8		absefi 16173	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)
9		absf 15317	. . . . . . 7 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
10		ffn 6722	. . . . . . 7 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
11		fniniseg 7069	. . . . . . 7 ⊢ (abs Fn ℂ → ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (◡abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (◡abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1))
13	7, 8, 12	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ (◡abs “ {1}))
14		efifo.2	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
15	13, 14	eleqtrrdi 2840	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ 𝐶)
16	1, 15	fmpti 7122	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ⟶𝐶
17		ffn 6722	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶𝐶 → 𝐹 Fn ℝ)
18	16, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐹 Fn ℝ
19		frn 6729	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶𝐶 → ran 𝐹 ⊆ 𝐶)
20	16, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran 𝐹 ⊆ 𝐶
21		df-ima 5691	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π)))
22	1	reseq1i 5981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π)))
23		0xr 11292	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24		2re 12317	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
25		pire 26406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
26	24, 25	remulcli 11261	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
27		elioc2 13420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (2 · π))))
28	23, 26, 27	mp2an 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (2 · π)))
29	28	simp1bi 1143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) → 𝑧 ∈ ℝ)
30	29	ssriv 3984	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,](2 · π)) ⊆ ℝ
31		resmpt 6041	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0(,](2 · π)) ⊆ ℝ → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
33	22, 32	eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
34	33	rneqi 5939	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
35		0re 11247	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
37	26	recni 11259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
38	37	addlidi 11433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + (2 · π)) = (2 · π)
39	38	oveq2i 7431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,](0 + (2 · π))) = (0(,](2 · π))
40	39	eqcomi 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,](2 · π)) = (0(,](0 + (2 · π)))
41	36, 14, 40	efif1o 26493	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto→𝐶)
42	35, 41	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto→𝐶
43		f1ofo 6846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto→𝐶 → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto→𝐶)
44		forn 6814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto→𝐶 → ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶)
45	42, 43, 44	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶
46	34, 45	eqtri 2756	. . . . 5 ⊢ ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = 𝐶
47	21, 46	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = 𝐶
48		imassrn 6074	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ (0(,](2 · π))) ⊆ ran 𝐹
49	47, 48	eqsstrri 4015	. . 3 ⊢ 𝐶 ⊆ ran 𝐹
50	20, 49	eqssi 3996	. 2 ⊢ ran 𝐹 = 𝐶
51		df-fo 6554	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ–onto→𝐶 ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ran 𝐹 = 𝐶))
52	18, 50, 51	mpbir2an 710	1 ⊢ 𝐹:ℝ–onto→𝐶

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947  {csn 4629   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5677  ran crn 5679   ↾ cres 5680   “ cima 5681   Fn wfn 6543  ⟶wf 6544  –onto→wfo 6546  –1-1-onto→wf1o 6547  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  ℂcc 11137  ℝcr 11138  0cc0 11139  1c1 11140  ici 11141   + caddc 11142   · cmul 11144  ℝ^*cxr 11278   < clt 11279   ≤ cle 11280  2c2 12298  (,]cioc 13358  abscabs 15214  expce 16038  πcpi 16043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047  df-pi 16049  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809

This theorem is referenced by:  circgrp  26499  circsubm  26500  circtopn  33438  circcn  33439