MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efifo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efifo 25919
Description: The exponential function of an imaginary number maps the reals onto the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efifo.1 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
efifo.2 𝐢 = (β—‘abs β€œ {1})
Assertion
Ref Expression
efifo 𝐹:ℝ–onto→𝐢
Distinct variable group:   𝑧,𝐢
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem efifo
StepHypRef Expression
1 efifo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
2 ax-icn 11115 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
3 recn 11146 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
4 mulcl 11140 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝑧) ∈ β„‚)
52, 3, 4sylancr 588 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (i Β· 𝑧) ∈ β„‚)
6 efcl 15970 . . . . . . 7 ((i Β· 𝑧) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑧)) ∈ β„‚)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑧)) ∈ β„‚)
8 absefi 16083 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· 𝑧))) = 1)
9 absf 15228 . . . . . . 7 abs:β„‚βŸΆβ„
10 ffn 6669 . . . . . . 7 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
11 fniniseg 7011 . . . . . . 7 (abs Fn β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝑧)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ ((expβ€˜(i Β· 𝑧)) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· 𝑧))) = 1)))
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . 6 ((expβ€˜(i Β· 𝑧)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ ((expβ€˜(i Β· 𝑧)) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· 𝑧))) = 1))
137, 8, 12sylanbrc 584 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑧)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}))
14 efifo.2 . . . . 5 𝐢 = (β—‘abs β€œ {1})
1513, 14eleqtrrdi 2845 . . . 4 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑧)) ∈ 𝐢)
161, 15fmpti 7061 . . 3 𝐹:β„βŸΆπΆ
17 ffn 6669 . . 3 (𝐹:β„βŸΆπΆ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
1816, 17ax-mp 5 . 2 𝐹 Fn ℝ
19 frn 6676 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆπΆ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐢)
2016, 19ax-mp 5 . . 3 ran 𝐹 βŠ† 𝐢
21 df-ima 5647 . . . . 5 (𝐹 β€œ (0(,](2 Β· Ο€))) = ran (𝐹 β†Ύ (0(,](2 Β· Ο€)))
221reseq1i 5934 . . . . . . . 8 (𝐹 β†Ύ (0(,](2 Β· Ο€))) = ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))) β†Ύ (0(,](2 Β· Ο€)))
23 0xr 11207 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
24 2re 12232 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
25 pire 25831 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ ℝ
2624, 25remulcli 11176 . . . . . . . . . . . 12 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
27 elioc2 13333 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ) β†’ (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (2 Β· Ο€))))
2823, 26, 27mp2an 691 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (2 Β· Ο€)))
2928simp1bi 1146 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
3029ssriv 3949 . . . . . . . . 9 (0(,](2 Β· Ο€)) βŠ† ℝ
31 resmpt 5992 . . . . . . . . 9 ((0(,](2 Β· Ο€)) βŠ† ℝ β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))) β†Ύ (0(,](2 Β· Ο€))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))) β†Ύ (0(,](2 Β· Ο€))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
3322, 32eqtri 2761 . . . . . . 7 (𝐹 β†Ύ (0(,](2 Β· Ο€))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
3433rneqi 5893 . . . . . 6 ran (𝐹 β†Ύ (0(,](2 Β· Ο€))) = ran (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
35 0re 11162 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
36 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
3726recni 11174 . . . . . . . . . . . 12 (2 Β· Ο€) ∈ β„‚
3837addid2i 11348 . . . . . . . . . . 11 (0 + (2 Β· Ο€)) = (2 Β· Ο€)
3938oveq2i 7369 . . . . . . . . . 10 (0(,](0 + (2 Β· Ο€))) = (0(,](2 Β· Ο€))
4039eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 (0(,](2 Β· Ο€)) = (0(,](0 + (2 Β· Ο€)))
4136, 14, 40efif1o 25918 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℝ β†’ (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))):(0(,](2 Β· Ο€))–1-1-onto→𝐢)
4235, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))):(0(,](2 Β· Ο€))–1-1-onto→𝐢
43 f1ofo 6792 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))):(0(,](2 Β· Ο€))–1-1-onto→𝐢 β†’ (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))):(0(,](2 Β· Ο€))–onto→𝐢)
44 forn 6760 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))):(0(,](2 Β· Ο€))–onto→𝐢 β†’ ran (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))) = 𝐢)
4542, 43, 44mp2b 10 . . . . . 6 ran (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))) = 𝐢
4634, 45eqtri 2761 . . . . 5 ran (𝐹 β†Ύ (0(,](2 Β· Ο€))) = 𝐢
4721, 46eqtri 2761 . . . 4 (𝐹 β€œ (0(,](2 Β· Ο€))) = 𝐢
48 imassrn 6025 . . . 4 (𝐹 β€œ (0(,](2 Β· Ο€))) βŠ† ran 𝐹
4947, 48eqsstrri 3980 . . 3 𝐢 βŠ† ran 𝐹
5020, 49eqssi 3961 . 2 ran 𝐹 = 𝐢
51 df-fo 6503 . 2 (𝐹:ℝ–onto→𝐢 ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ran 𝐹 = 𝐢))
5218, 50, 51mpbir2an 710 1 𝐹:ℝ–onto→𝐢
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  {csn 4587   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β—‘ccnv 5633  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€“ontoβ†’wfo 6495  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6496  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057  ici 11058   + caddc 11059   Β· cmul 11061  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195  2c2 12213  (,]cioc 13271  abscabs 15125  expce 15949  Ο€cpi 15954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  circgrp  25924  circsubm  25925  circtopn  32475  circcn  32476
  Copyright terms: Public domain W3C validator