Theorem efifo 26478

Description: The exponential function of an imaginary number maps the reals onto the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efifo.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
efifo.2	⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})

Assertion

Ref	Expression
efifo	⊢ 𝐹:ℝ–onto→𝐶

Distinct variable group:   𝑧,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem efifo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efifo.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
2		ax-icn 11060	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 11091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
4		mulcl 11085	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
6		efcl 15984	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝑧) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
8		absefi 16100	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)
9		absf 15240	. . . . . . 7 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
10		ffn 6646	. . . . . . 7 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
11		fniniseg 6988	. . . . . . 7 ⊢ (abs Fn ℂ → ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (◡abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (◡abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1))
13	7, 8, 12	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ (◡abs “ {1}))
14		efifo.2	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
15	13, 14	eleqtrrdi 2842	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ 𝐶)
16	1, 15	fmpti 7040	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ⟶𝐶
17		ffn 6646	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶𝐶 → 𝐹 Fn ℝ)
18	16, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐹 Fn ℝ
19		frn 6653	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶𝐶 → ran 𝐹 ⊆ 𝐶)
20	16, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran 𝐹 ⊆ 𝐶
21		df-ima 5624	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π)))
22	1	reseq1i 5919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π)))
23		0xr 11154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24		2re 12194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
25		pire 26388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
26	24, 25	remulcli 11123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
27		elioc2 13304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (2 · π))))
28	23, 26, 27	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (2 · π)))
29	28	simp1bi 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) → 𝑧 ∈ ℝ)
30	29	ssriv 3933	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,](2 · π)) ⊆ ℝ
31		resmpt 5981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0(,](2 · π)) ⊆ ℝ → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
33	22, 32	eqtri 2754	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
34	33	rneqi 5872	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
35		0re 11109	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
37	26	recni 11121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
38	37	addlidi 11296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + (2 · π)) = (2 · π)
39	38	oveq2i 7352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,](0 + (2 · π))) = (0(,](2 · π))
40	39	eqcomi 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,](2 · π)) = (0(,](0 + (2 · π)))
41	36, 14, 40	efif1o 26477	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto→𝐶)
42	35, 41	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto→𝐶
43		f1ofo 6765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto→𝐶 → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto→𝐶)
44		forn 6733	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto→𝐶 → ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶)
45	42, 43, 44	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶
46	34, 45	eqtri 2754	. . . . 5 ⊢ ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = 𝐶
47	21, 46	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = 𝐶
48		imassrn 6015	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ (0(,](2 · π))) ⊆ ran 𝐹
49	47, 48	eqsstrri 3977	. . 3 ⊢ 𝐶 ⊆ ran 𝐹
50	20, 49	eqssi 3946	. 2 ⊢ ran 𝐹 = 𝐶
51		df-fo 6482	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ–onto→𝐶 ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ran 𝐹 = 𝐶))
52	18, 50, 51	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝐹:ℝ–onto→𝐶

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  {csn 4571   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5610  ran crn 5612   ↾ cres 5613   “ cima 5614   Fn wfn 6471  ⟶wf 6472  –onto→wfo 6474  –1-1-onto→wf1o 6475  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002  ici 11003   + caddc 11004   · cmul 11006  ℝ^*cxr 11140   < clt 11141   ≤ cle 11142  2c2 12175  (,]cioc 13241  abscabs 15136  expce 15963  πcpi 15968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-ioo 13244  df-ioc 13245  df-ico 13246  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-fac 14176  df-bc 14205  df-hash 14233  df-shft 14969  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-limsup 15373  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-ef 15969  df-sin 15971  df-cos 15972  df-pi 15974  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-rest 17321  df-topn 17322  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-topgen 17342  df-pt 17343  df-prds 17346  df-xrs 17401  df-qtop 17406  df-imas 17407  df-xps 17409  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-bases 22856  df-cld 22929  df-ntr 22930  df-cls 22931  df-nei 23008  df-lp 23046  df-perf 23047  df-cn 23137  df-cnp 23138  df-haus 23225  df-tx 23472  df-hmeo 23665  df-fil 23756  df-fm 23848  df-flim 23849  df-flf 23850  df-xms 24230  df-ms 24231  df-tms 24232  df-cncf 24793  df-limc 25789  df-dv 25790

This theorem is referenced by:  circgrp  26483  circsubm  26484  circtopn  33842  circcn  33843