Theorem efifo 26456

Description: The exponential function of an imaginary number maps the reals onto the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efifo.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
efifo.2	⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})

Assertion

Ref	Expression
efifo	⊢ 𝐹:ℝ–onto→𝐶

Distinct variable group:   𝑧,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem efifo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efifo.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
2		ax-icn 11127	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 11158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
4		mulcl 11152	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
6		efcl 16048	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝑧) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
8		absefi 16164	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)
9		absf 15304	. . . . . . 7 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
10		ffn 6688	. . . . . . 7 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
11		fniniseg 7032	. . . . . . 7 ⊢ (abs Fn ℂ → ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (◡abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (◡abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1))
13	7, 8, 12	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ (◡abs “ {1}))
14		efifo.2	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
15	13, 14	eleqtrrdi 2839	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ 𝐶)
16	1, 15	fmpti 7084	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ⟶𝐶
17		ffn 6688	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶𝐶 → 𝐹 Fn ℝ)
18	16, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐹 Fn ℝ
19		frn 6695	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶𝐶 → ran 𝐹 ⊆ 𝐶)
20	16, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran 𝐹 ⊆ 𝐶
21		df-ima 5651	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π)))
22	1	reseq1i 5946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π)))
23		0xr 11221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24		2re 12260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
25		pire 26366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
26	24, 25	remulcli 11190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
27		elioc2 13370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (2 · π))))
28	23, 26, 27	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (2 · π)))
29	28	simp1bi 1145	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) → 𝑧 ∈ ℝ)
30	29	ssriv 3950	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,](2 · π)) ⊆ ℝ
31		resmpt 6008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0(,](2 · π)) ⊆ ℝ → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
33	22, 32	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
34	33	rneqi 5901	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
35		0re 11176	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
37	26	recni 11188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
38	37	addlidi 11362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + (2 · π)) = (2 · π)
39	38	oveq2i 7398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,](0 + (2 · π))) = (0(,](2 · π))
40	39	eqcomi 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,](2 · π)) = (0(,](0 + (2 · π)))
41	36, 14, 40	efif1o 26455	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto→𝐶)
42	35, 41	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto→𝐶
43		f1ofo 6807	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto→𝐶 → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto→𝐶)
44		forn 6775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto→𝐶 → ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶)
45	42, 43, 44	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶
46	34, 45	eqtri 2752	. . . . 5 ⊢ ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = 𝐶
47	21, 46	eqtri 2752	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = 𝐶
48		imassrn 6042	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ (0(,](2 · π))) ⊆ ran 𝐹
49	47, 48	eqsstrri 3994	. . 3 ⊢ 𝐶 ⊆ ran 𝐹
50	20, 49	eqssi 3963	. 2 ⊢ ran 𝐹 = 𝐶
51		df-fo 6517	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ–onto→𝐶 ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ran 𝐹 = 𝐶))
52	18, 50, 51	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝐹:ℝ–onto→𝐶

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  {csn 4589   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ^◡ccnv 5637  ran crn 5639   ↾ cres 5640   “ cima 5641   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  –onto→wfo 6509  –1-1-onto→wf1o 6510  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069  ici 11070   + caddc 11071   · cmul 11073  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  2c2 12241  (,]cioc 13307  abscabs 15200  expce 16027  πcpi 16032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15033  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-limsup 15437  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-ef 16033  df-sin 16035  df-cos 16036  df-pi 16038  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-fbas 21261  df-fg 21262  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cld 22906  df-ntr 22907  df-cls 22908  df-nei 22985  df-lp 23023  df-perf 23024  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-fil 23733  df-fm 23825  df-flim 23826  df-flf 23827  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cncf 24771  df-limc 25767  df-dv 25768

This theorem is referenced by:  circgrp  26461  circsubm  26462  circtopn  33827  circcn  33828