Theorem efifo 26743

Description: The exponential function of an imaginary number maps the reals onto the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
efifo.1	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
efifo.2	⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})

Assertion

Ref	Expression
efifo	⊢ 𝐹:ℝ–onto→𝐶

Distinct variable group:   𝑧,𝐶

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem efifo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efifo.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
2		ax-icn 11170	. . . . . . . 8 ⊢ i ∈ ℂ
3		recn 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
4		mulcl 11195	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
5	2, 3, 4	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
6		efcl 16154	. . . . . . 7 ⊢ ((i · 𝑧) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
7	5, 6	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
8		absefi 16270	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)
9		absf 15409	. . . . . . 7 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
10		ffn 6709	. . . . . . 7 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
11		fniniseg 7059	. . . . . . 7 ⊢ (abs Fn ℂ → ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (◡abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)))
12	9, 10, 11	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (◡abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1))
13	7, 8, 12	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ (◡abs “ {1}))
14		efifo.2	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (◡abs “ {1})
15	13, 14	eleqtrrdi 2876	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ 𝐶)
16	1, 15	fmpti 7111	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ⟶𝐶
17		ffn 6709	. . 3 ⊢ (𝐹:ℝ⟶𝐶 → 𝐹 Fn ℝ)
18	16, 17	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝐹 Fn ℝ
19		frn 6717	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ⟶𝐶 → ran 𝐹 ⊆ 𝐶)
20	16, 19	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ran 𝐹 ⊆ 𝐶
21		df-ima 5676	. . . . 5 ⊢ (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π)))
22	1	reseq1i 5976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π)))
23		0xr 11267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
24		2re 12326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
25		pire 26650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ π ∈ ℝ
26	24, 25	remulcli 11236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
27		elioc2 13448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (2 · π))))
28	23, 26, 27	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ (2 · π)))
29	28	simp1bi 1163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) → 𝑧 ∈ ℝ)
30	29	ssriv 3942	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,](2 · π)) ⊆ ℝ
31		resmpt 6041	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0(,](2 · π)) ⊆ ℝ → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))))
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
33	22, 32	eqtri 2788	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
34	33	rneqi 5929	. . . . . 6 ⊢ ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
35		0re 11221	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
37	26	recni 11234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
38	37	addlidi 11409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + (2 · π)) = (2 · π)
39	38	oveq2i 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0(,](0 + (2 · π))) = (0(,](2 · π))
40	39	eqcomi 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (0(,](2 · π)) = (0(,](0 + (2 · π)))
41	36, 14, 40	efif1o 26742	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto→𝐶)
42	35, 41	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto→𝐶
43		f1ofo 6832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto→𝐶 → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto→𝐶)
44		forn 6799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto→𝐶 → ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶)
45	42, 43, 44	mp2b 10	. . . . . 6 ⊢ ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶
46	34, 45	eqtri 2788	. . . . 5 ⊢ ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = 𝐶
47	21, 46	eqtri 2788	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = 𝐶
48		imassrn 6075	. . . 4 ⊢ (𝐹 “ (0(,](2 · π))) ⊆ ran 𝐹
49	47, 48	eqsstrri 3985	. . 3 ⊢ 𝐶 ⊆ ran 𝐹
50	20, 49	eqssi 3954	. 2 ⊢ ran 𝐹 = 𝐶
51		df-fo 6546	. 2 ⊢ (𝐹:ℝ–onto→𝐶 ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ran 𝐹 = 𝐶))
52	18, 50, 51	mpbir2an 724	1 ⊢ 𝐹:ℝ–onto→𝐶

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  {csn 4591   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ^◡ccnv 5662  ran crn 5664   ↾ cres 5665   “ cima 5666   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  –onto→wfo 6538  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112  ici 11113   + caddc 11114   · cmul 11116  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   ≤ cle 11255  2c2 12306  (,]cioc 13385  abscabs 15305  expce 16133  πcpi 16138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13149  df-xadd 13150  df-xmul 13151  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-mod 13917  df-seq 14052  df-exp 14112  df-fac 14324  df-bc 14353  df-hash 14381  df-shft 15124  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-limsup 15542  df-clim 15559  df-rlim 15560  df-sum 15758  df-ef 16139  df-sin 16141  df-cos 16142  df-pi 16144  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-starv 17343  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-unif 17351  df-hom 17352  df-cco 17353  df-rest 17493  df-topn 17494  df-0g 17512  df-gsum 17513  df-topgen 17514  df-pt 17515  df-prds 17518  df-xrs 17574  df-qtop 17579  df-imas 17580  df-xps 17582  df-mre 17656  df-mrc 17657  df-acs 17659  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-submnd 18866  df-mulg 19158  df-cntz 19411  df-cmn 19876  df-psmet 21544  df-xmet 21545  df-met 21546  df-bl 21547  df-mopn 21548  df-fbas 21549  df-fg 21550  df-cnfld 21553  df-top 23081  df-topon 23098  df-topsp 23120  df-bases 23133  df-cld 23206  df-ntr 23207  df-cls 23208  df-nei 23285  df-lp 23323  df-perf 23324  df-cn 23414  df-cnp 23415  df-haus 23502  df-tx 23750  df-hmeo 23943  df-fil 24034  df-fm 24126  df-flim 24127  df-flf 24128  df-xms 24508  df-ms 24509  df-tms 24510  df-cncf 25068  df-limc 26056  df-dv 26057

This theorem is used by:  circgrp  26748  circsubm  26749  circtopn  34267  circcn  34268