MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efifo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efifo 24585
Description: The exponential function of an imaginary number maps the reals onto the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efifo.1 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
efifo.2 𝐶 = (abs “ {1})
Assertion
Ref Expression
efifo 𝐹:ℝ–onto𝐶
Distinct variable group:   𝑧,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem efifo
StepHypRef Expression
1 efifo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
2 ax-icn 10248 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
3 recn 10279 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
4 mulcl 10273 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 581 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
6 efcl 15097 . . . . . . 7 ((i · 𝑧) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
8 absefi 15210 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)
9 absf 14364 . . . . . . 7 abs:ℂ⟶ℝ
10 ffn 6223 . . . . . . 7 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
11 fniniseg 6528 . . . . . . 7 (abs Fn ℂ → ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)))
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . 6 ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1))
137, 8, 12sylanbrc 578 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ (abs “ {1}))
14 efifo.2 . . . . 5 𝐶 = (abs “ {1})
1513, 14syl6eleqr 2855 . . . 4 (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ 𝐶)
161, 15fmpti 6572 . . 3 𝐹:ℝ⟶𝐶
17 ffn 6223 . . 3 (𝐹:ℝ⟶𝐶𝐹 Fn ℝ)
1816, 17ax-mp 5 . 2 𝐹 Fn ℝ
19 frn 6229 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶𝐶 → ran 𝐹𝐶)
2016, 19ax-mp 5 . . 3 ran 𝐹𝐶
21 df-ima 5290 . . . . 5 (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π)))
221reseq1i 5561 . . . . . . . 8 (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π)))
23 0xr 10340 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
24 2re 11346 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
25 pire 24502 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
2624, 25remulcli 10310 . . . . . . . . . . . 12 (2 · π) ∈ ℝ
27 elioc2 12438 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 ≤ (2 · π))))
2823, 26, 27mp2an 683 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 ≤ (2 · π)))
2928simp1bi 1175 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) → 𝑧 ∈ ℝ)
3029ssriv 3765 . . . . . . . . 9 (0(,](2 · π)) ⊆ ℝ
31 resmpt 5626 . . . . . . . . 9 ((0(,](2 · π)) ⊆ ℝ → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
3322, 32eqtri 2787 . . . . . . 7 (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
3433rneqi 5520 . . . . . 6 ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
35 0re 10295 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
36 eqid 2765 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
3726recni 10308 . . . . . . . . . . . 12 (2 · π) ∈ ℂ
3837addid2i 10478 . . . . . . . . . . 11 (0 + (2 · π)) = (2 · π)
3938oveq2i 6853 . . . . . . . . . 10 (0(,](0 + (2 · π))) = (0(,](2 · π))
4039eqcomi 2774 . . . . . . . . 9 (0(,](2 · π)) = (0(,](0 + (2 · π)))
4136, 14, 40efif1o 24584 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto𝐶)
4235, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto𝐶
43 f1ofo 6327 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto𝐶 → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto𝐶)
44 forn 6301 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto𝐶 → ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶)
4542, 43, 44mp2b 10 . . . . . 6 ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶
4634, 45eqtri 2787 . . . . 5 ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = 𝐶
4721, 46eqtri 2787 . . . 4 (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = 𝐶
48 imassrn 5659 . . . 4 (𝐹 “ (0(,](2 · π))) ⊆ ran 𝐹
4947, 48eqsstr3i 3796 . . 3 𝐶 ⊆ ran 𝐹
5020, 49eqssi 3777 . 2 ran 𝐹 = 𝐶
51 df-fo 6074 . 2 (𝐹:ℝ–onto𝐶 ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ran 𝐹 = 𝐶))
5218, 50, 51mpbir2an 702 1 𝐹:ℝ–onto𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wss 3732  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888  ccnv 5276  ran crn 5278  cres 5279  cima 5280   Fn wfn 6063  wf 6064  ontowfo 6066  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190  ici 10191   + caddc 10192   · cmul 10194  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  2c2 11327  (,]cioc 12378  abscabs 14261  expce 15076  πcpi 15081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-sin 15084  df-cos 15085  df-pi 15087  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-submnd 17604  df-mulg 17810  df-cntz 18015  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  circgrp  24590  circsubm  24591  circtopn  30286  circcn  30287
  Copyright terms: Public domain W3C validator