MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efifo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efifo 26422
Description: The exponential function of an imaginary number maps the reals onto the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efifo.1 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
efifo.2 𝐢 = (β—‘abs β€œ {1})
Assertion
Ref Expression
efifo 𝐹:ℝ–onto→𝐢
Distinct variable group:   𝑧,𝐢
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem efifo
StepHypRef Expression
1 efifo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
2 ax-icn 11166 . . . . . . . 8 i ∈ β„‚
3 recn 11197 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ β†’ 𝑧 ∈ β„‚)
4 mulcl 11191 . . . . . . . 8 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝑧) ∈ β„‚)
52, 3, 4sylancr 586 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (i Β· 𝑧) ∈ β„‚)
6 efcl 16028 . . . . . . 7 ((i Β· 𝑧) ∈ β„‚ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑧)) ∈ β„‚)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑧)) ∈ β„‚)
8 absefi 16142 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· 𝑧))) = 1)
9 absf 15286 . . . . . . 7 abs:β„‚βŸΆβ„
10 ffn 6708 . . . . . . 7 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
11 fniniseg 7052 . . . . . . 7 (abs Fn β„‚ β†’ ((expβ€˜(i Β· 𝑧)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ ((expβ€˜(i Β· 𝑧)) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· 𝑧))) = 1)))
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . 6 ((expβ€˜(i Β· 𝑧)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}) ↔ ((expβ€˜(i Β· 𝑧)) ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜(expβ€˜(i Β· 𝑧))) = 1))
137, 8, 12sylanbrc 582 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑧)) ∈ (β—‘abs β€œ {1}))
14 efifo.2 . . . . 5 𝐢 = (β—‘abs β€œ {1})
1513, 14eleqtrrdi 2836 . . . 4 (𝑧 ∈ ℝ β†’ (expβ€˜(i Β· 𝑧)) ∈ 𝐢)
161, 15fmpti 7104 . . 3 𝐹:β„βŸΆπΆ
17 ffn 6708 . . 3 (𝐹:β„βŸΆπΆ β†’ 𝐹 Fn ℝ)
1816, 17ax-mp 5 . 2 𝐹 Fn ℝ
19 frn 6715 . . . 4 (𝐹:β„βŸΆπΆ β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐢)
2016, 19ax-mp 5 . . 3 ran 𝐹 βŠ† 𝐢
21 df-ima 5680 . . . . 5 (𝐹 β€œ (0(,](2 Β· Ο€))) = ran (𝐹 β†Ύ (0(,](2 Β· Ο€)))
221reseq1i 5968 . . . . . . . 8 (𝐹 β†Ύ (0(,](2 Β· Ο€))) = ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))) β†Ύ (0(,](2 Β· Ο€)))
23 0xr 11260 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
24 2re 12285 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
25 pire 26334 . . . . . . . . . . . . 13 Ο€ ∈ ℝ
2624, 25remulcli 11229 . . . . . . . . . . . 12 (2 Β· Ο€) ∈ ℝ
27 elioc2 13388 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ) β†’ (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (2 Β· Ο€))))
2823, 26, 27mp2an 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ (2 Β· Ο€)))
2928simp1bi 1142 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
3029ssriv 3979 . . . . . . . . 9 (0(,](2 Β· Ο€)) βŠ† ℝ
31 resmpt 6028 . . . . . . . . 9 ((0(,](2 Β· Ο€)) βŠ† ℝ β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))) β†Ύ (0(,](2 Β· Ο€))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))) β†Ύ (0(,](2 Β· Ο€))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
3322, 32eqtri 2752 . . . . . . 7 (𝐹 β†Ύ (0(,](2 Β· Ο€))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
3433rneqi 5927 . . . . . 6 ran (𝐹 β†Ύ (0(,](2 Β· Ο€))) = ran (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
35 0re 11215 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
36 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧)))
3726recni 11227 . . . . . . . . . . . 12 (2 Β· Ο€) ∈ β„‚
3837addlidi 11401 . . . . . . . . . . 11 (0 + (2 Β· Ο€)) = (2 Β· Ο€)
3938oveq2i 7413 . . . . . . . . . 10 (0(,](0 + (2 Β· Ο€))) = (0(,](2 Β· Ο€))
4039eqcomi 2733 . . . . . . . . 9 (0(,](2 Β· Ο€)) = (0(,](0 + (2 Β· Ο€)))
4136, 14, 40efif1o 26421 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℝ β†’ (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))):(0(,](2 Β· Ο€))–1-1-onto→𝐢)
4235, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))):(0(,](2 Β· Ο€))–1-1-onto→𝐢
43 f1ofo 6831 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))):(0(,](2 Β· Ο€))–1-1-onto→𝐢 β†’ (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))):(0(,](2 Β· Ο€))–onto→𝐢)
44 forn 6799 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))):(0(,](2 Β· Ο€))–onto→𝐢 β†’ ran (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))) = 𝐢)
4542, 43, 44mp2b 10 . . . . . 6 ran (𝑧 ∈ (0(,](2 Β· Ο€)) ↦ (expβ€˜(i Β· 𝑧))) = 𝐢
4634, 45eqtri 2752 . . . . 5 ran (𝐹 β†Ύ (0(,](2 Β· Ο€))) = 𝐢
4721, 46eqtri 2752 . . . 4 (𝐹 β€œ (0(,](2 Β· Ο€))) = 𝐢
48 imassrn 6061 . . . 4 (𝐹 β€œ (0(,](2 Β· Ο€))) βŠ† ran 𝐹
4947, 48eqsstrri 4010 . . 3 𝐢 βŠ† ran 𝐹
5020, 49eqssi 3991 . 2 ran 𝐹 = 𝐢
51 df-fo 6540 . 2 (𝐹:ℝ–onto→𝐢 ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ran 𝐹 = 𝐢))
5218, 50, 51mpbir2an 708 1 𝐹:ℝ–onto→𝐢
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3941  {csn 4621   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  β—‘ccnv 5666  ran crn 5668   β†Ύ cres 5669   β€œ cima 5670   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€“ontoβ†’wfo 6532  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6533  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108  ici 11109   + caddc 11110   Β· cmul 11112  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  2c2 12266  (,]cioc 13326  abscabs 15183  expce 16007  Ο€cpi 16012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ioc 13330  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-mod 13836  df-seq 13968  df-exp 14029  df-fac 14235  df-bc 14264  df-hash 14292  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cld 22867  df-ntr 22868  df-cls 22869  df-nei 22946  df-lp 22984  df-perf 22985  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-haus 23163  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-fil 23694  df-fm 23786  df-flim 23787  df-flf 23788  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cncf 24742  df-limc 25739  df-dv 25740
This theorem is referenced by:  circgrp  26427  circsubm  26428  circtopn  33337  circcn  33338
  Copyright terms: Public domain W3C validator