MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efifo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efifo 24514
Description: The exponential function of an imaginary number maps the reals onto the unit circle. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
efifo.1 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
efifo.2 𝐶 = (abs “ {1})
Assertion
Ref Expression
efifo 𝐹:ℝ–onto𝐶
Distinct variable group:   𝑧,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑧)

Proof of Theorem efifo
StepHypRef Expression
1 efifo.1 . . . 4 𝐹 = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
2 ax-icn 10197 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
3 recn 10228 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
4 mulcl 10222 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
52, 3, 4sylancr 575 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ → (i · 𝑧) ∈ ℂ)
6 efcl 15019 . . . . . . 7 ((i · 𝑧) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ)
8 absefi 15132 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ → (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)
9 absf 14285 . . . . . . 7 abs:ℂ⟶ℝ
10 ffn 6185 . . . . . . 7 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
11 fniniseg 6481 . . . . . . 7 (abs Fn ℂ → ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1)))
129, 10, 11mp2b 10 . . . . . 6 ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ (abs “ {1}) ↔ ((exp‘(i · 𝑧)) ∈ ℂ ∧ (abs‘(exp‘(i · 𝑧))) = 1))
137, 8, 12sylanbrc 572 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ (abs “ {1}))
14 efifo.2 . . . . 5 𝐶 = (abs “ {1})
1513, 14syl6eleqr 2861 . . . 4 (𝑧 ∈ ℝ → (exp‘(i · 𝑧)) ∈ 𝐶)
161, 15fmpti 6525 . . 3 𝐹:ℝ⟶𝐶
17 ffn 6185 . . 3 (𝐹:ℝ⟶𝐶𝐹 Fn ℝ)
1816, 17ax-mp 5 . 2 𝐹 Fn ℝ
19 frn 6193 . . . 4 (𝐹:ℝ⟶𝐶 → ran 𝐹𝐶)
2016, 19ax-mp 5 . . 3 ran 𝐹𝐶
21 df-ima 5262 . . . . 5 (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π)))
221reseq1i 5530 . . . . . . . 8 (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π)))
23 0xr 10288 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
24 2re 11292 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
25 pire 24431 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
2624, 25remulcli 10256 . . . . . . . . . . . 12 (2 · π) ∈ ℝ
27 elioc2 12441 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ (2 · π) ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 ≤ (2 · π))))
2823, 26, 27mp2an 672 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧𝑧 ≤ (2 · π)))
2928simp1bi 1139 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) → 𝑧 ∈ ℝ)
3029ssriv 3756 . . . . . . . . 9 (0(,](2 · π)) ⊆ ℝ
31 resmpt 5590 . . . . . . . . 9 ((0(,](2 · π)) ⊆ ℝ → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))))
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (exp‘(i · 𝑧))) ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
3322, 32eqtri 2793 . . . . . . 7 (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
3433rneqi 5490 . . . . . 6 ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
35 0re 10242 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
36 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧)))
3726recni 10254 . . . . . . . . . . . 12 (2 · π) ∈ ℂ
3837addid2i 10426 . . . . . . . . . . 11 (0 + (2 · π)) = (2 · π)
3938oveq2i 6804 . . . . . . . . . 10 (0(,](0 + (2 · π))) = (0(,](2 · π))
4039eqcomi 2780 . . . . . . . . 9 (0(,](2 · π)) = (0(,](0 + (2 · π)))
4136, 14, 40efif1o 24513 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℝ → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto𝐶)
4235, 41ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto𝐶
43 f1ofo 6285 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–1-1-onto𝐶 → (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto𝐶)
44 forn 6259 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))):(0(,](2 · π))–onto𝐶 → ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶)
4542, 43, 44mp2b 10 . . . . . 6 ran (𝑧 ∈ (0(,](2 · π)) ↦ (exp‘(i · 𝑧))) = 𝐶
4634, 45eqtri 2793 . . . . 5 ran (𝐹 ↾ (0(,](2 · π))) = 𝐶
4721, 46eqtri 2793 . . . 4 (𝐹 “ (0(,](2 · π))) = 𝐶
48 imassrn 5618 . . . 4 (𝐹 “ (0(,](2 · π))) ⊆ ran 𝐹
4947, 48eqsstr3i 3785 . . 3 𝐶 ⊆ ran 𝐹
5020, 49eqssi 3768 . 2 ran 𝐹 = 𝐶
51 df-fo 6037 . 2 (𝐹:ℝ–onto𝐶 ↔ (𝐹 Fn ℝ ∧ ran 𝐹 = 𝐶))
5218, 50, 51mpbir2an 690 1 𝐹:ℝ–onto𝐶
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  {csn 4316   class class class wbr 4786  cmpt 4863  ccnv 5248  ran crn 5250  cres 5251  cima 5252   Fn wfn 6026  wf 6027  ontowfo 6029  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139  ici 10140   + caddc 10141   · cmul 10143  *cxr 10275   < clt 10276  cle 10277  2c2 11272  (,]cioc 12381  abscabs 14182  expce 14998  πcpi 15003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  circgrp  24519  circsubm  24520  circtopn  30244  circcn  30245
  Copyright terms: Public domain W3C validator