MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem faclbnd5 14262
Description: The factorial function grows faster than powers and exponentiations. If we consider ๐พ and ๐‘€ to be constants, the right-hand side of the inequality is a constant times ๐‘-factorial. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) < ((2 ยท ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)))) ยท (!โ€˜๐‘)))
Proof of Theorem faclbnd5
StepHypRef Expression
1 nn0re 12485 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2 reexpcl 14048 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘๐พ) โˆˆ โ„)
31, 2sylan 578 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘๐พ) โˆˆ โ„)
43ancoms 457 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘๐พ) โˆˆ โ„)
5 nnre 12223 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
6 reexpcl 14048 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
75, 6sylan 578 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
8 remulcl 11197 . . . . . . 7 (((๐‘โ†‘๐พ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
94, 7, 8syl2an 594 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
109anandirs 675 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
11 2nn 12289 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•
12 nn0sqcl 14059 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
13 nnexpcl 14044 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„•)
1411, 12, 13sylancr 585 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„•)
15 nnnn0 12483 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
16 nn0addcl 12511 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐พ) โˆˆ โ„•0)
1716ancoms 457 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐พ) โˆˆ โ„•0)
1815, 17sylan2 591 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ + ๐พ) โˆˆ โ„•0)
19 nnexpcl 14044 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ + ๐พ) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)) โˆˆ โ„•)
2018, 19sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)) โˆˆ โ„•)
2120anabss7 669 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)) โˆˆ โ„•)
22 nnmulcl 12240 . . . . . . . 8 (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)) โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โˆˆ โ„•)
2314, 21, 22syl2an2r 681 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โˆˆ โ„•)
2423nnred 12231 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โˆˆ โ„)
25 faccl 14247 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2625nnred 12231 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
27 remulcl 11197 . . . . . 6 ((((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
2824, 26, 27syl2an 594 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
29 2re 12290 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
30 remulcl 11197 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘))) โˆˆ โ„)
3129, 28, 30sylancr 585 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘))) โˆˆ โ„)
32 faclbnd4 14261 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))
3315, 32syl3an3 1163 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))
34333coml 1125 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))
35343expa 1116 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))
36 1lt2 12387 . . . . . 6 1 < 2
37 nnmulcl 12240 . . . . . . . . 9 ((((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โˆˆ โ„• โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•)
3823, 25, 37syl2an 594 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•)
3938nngt0d 12265 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 < (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))
40 ltmulgt12 12079 . . . . . . . 8 (((((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (1 < 2 โ†” (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) < (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))))
4129, 40mp3an2 1447 . . . . . . 7 (((((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (1 < 2 โ†” (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) < (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))))
4228, 39, 41syl2anc 582 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 < 2 โ†” (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) < (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))))
4336, 42mpbii 232 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) < (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘))))
4410, 28, 31, 35, 43lelttrd 11376 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) < (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘))))
45 2cn 12291 . . . . 5 2 โˆˆ โ„‚
4623nncnd 12232 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โˆˆ โ„‚)
4725nncnd 12232 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
48 mulass 11200 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โˆˆ โ„‚ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)))) ยท (!โ€˜๐‘)) = (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘))))
4945, 46, 47, 48mp3an3an 1465 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)))) ยท (!โ€˜๐‘)) = (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘))))
5044, 49breqtrrd 5175 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) < ((2 ยท ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)))) ยท (!โ€˜๐‘)))
51503impa 1108 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) < ((2 ยท ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)))) ยท (!โ€˜๐‘)))
52513comr 1123 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) < ((2 ยท ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)))) ยท (!โ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ†‘cexp 14031  !cfa 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator