MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  faclbnd5 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem faclbnd5 14258
Description: The factorial function grows faster than powers and exponentiations. If we consider ๐พ and ๐‘€ to be constants, the right-hand side of the inequality is a constant times ๐‘-factorial. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) < ((2 ยท ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)))) ยท (!โ€˜๐‘)))
Proof of Theorem faclbnd5
StepHypRef Expression
1 nn0re 12481 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
2 reexpcl 14044 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘๐พ) โˆˆ โ„)
31, 2sylan 581 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘๐พ) โˆˆ โ„)
43ancoms 460 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘๐พ) โˆˆ โ„)
5 nnre 12219 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
6 reexpcl 14044 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
75, 6sylan 581 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„)
8 remulcl 11195 . . . . . . 7 (((๐‘โ†‘๐พ) โˆˆ โ„ โˆง (๐‘€โ†‘๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
94, 7, 8syl2an 597 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
109anandirs 678 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โˆˆ โ„)
11 2nn 12285 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•
12 nn0sqcl 14055 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„•0)
13 nnexpcl 14040 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„• โˆง (๐พโ†‘2) โˆˆ โ„•0) โ†’ (2โ†‘(๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„•)
1411, 12, 13sylancr 588 . . . . . . . 8 (๐พ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2โ†‘(๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„•)
15 nnnn0 12479 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
16 nn0addcl 12507 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐พ) โˆˆ โ„•0)
1716ancoms 460 . . . . . . . . . . 11 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€ + ๐พ) โˆˆ โ„•0)
1815, 17sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ + ๐พ) โˆˆ โ„•0)
19 nnexpcl 14040 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ + ๐พ) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)) โˆˆ โ„•)
2018, 19sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง (๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•)) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)) โˆˆ โ„•)
2120anabss7 672 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)) โˆˆ โ„•)
22 nnmulcl 12236 . . . . . . . 8 (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)) โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โˆˆ โ„•)
2314, 21, 22syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โˆˆ โ„•)
2423nnred 12227 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โˆˆ โ„)
25 faccl 14243 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
2625nnred 12227 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
27 remulcl 11195 . . . . . 6 ((((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โˆˆ โ„ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
2824, 26, 27syl2an 597 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„)
29 2re 12286 . . . . . 6 2 โˆˆ โ„
30 remulcl 11195 . . . . . 6 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘))) โˆˆ โ„)
3129, 28, 30sylancr 588 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘))) โˆˆ โ„)
32 faclbnd4 14257 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))
3315, 32syl3an3 1166 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))
34333coml 1128 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))
35343expa 1119 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) โ‰ค (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))
36 1lt2 12383 . . . . . 6 1 < 2
37 nnmulcl 12236 . . . . . . . . 9 ((((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โˆˆ โ„• โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•)
3823, 25, 37syl2an 597 . . . . . . . 8 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„•)
3938nngt0d 12261 . . . . . . 7 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ 0 < (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))
40 ltmulgt12 12075 . . . . . . . 8 (((((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง 2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (1 < 2 โ†” (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) < (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))))
4129, 40mp3an2 1450 . . . . . . 7 (((((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘))) โ†’ (1 < 2 โ†” (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) < (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))))
4228, 39, 41syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (1 < 2 โ†” (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) < (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)))))
4336, 42mpbii 232 . . . . 5 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘)) < (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘))))
4410, 28, 31, 35, 43lelttrd 11372 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) < (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘))))
45 2cn 12287 . . . . 5 2 โˆˆ โ„‚
4623nncnd 12228 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โˆˆ โ„‚)
4725nncnd 12228 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
48 mulass 11198 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) โˆˆ โ„‚ โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)))) ยท (!โ€˜๐‘)) = (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘))))
4945, 46, 47, 48mp3an3an 1468 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((2 ยท ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)))) ยท (!โ€˜๐‘)) = (2 ยท (((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ))) ยท (!โ€˜๐‘))))
5044, 49breqtrrd 5177 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) < ((2 ยท ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)))) ยท (!โ€˜๐‘)))
51503impa 1111 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) < ((2 ยท ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)))) ยท (!โ€˜๐‘)))
52513comr 1126 1 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘๐พ) ยท (๐‘€โ†‘๐‘)) < ((2 ยท ((2โ†‘(๐พโ†‘2)) ยท (๐‘€โ†‘(๐‘€ + ๐พ)))) ยท (!โ€˜๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ†‘cexp 14027  !cfa 14233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator