Theorem faclbnd5 14270

Description: The factorial function grows faster than powers and exponentiations. If we consider 𝐾 and 𝑀 to be constants, the right-hand side of the inequality is a constant times 𝑁-factorial. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd5	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		reexpcl 14050	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝐾) ∈ ℝ)
3	1, 2	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝐾) ∈ ℝ)
4	3	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝐾) ∈ ℝ)
5		nnre 12200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
6		reexpcl 14050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ)
8		remulcl 11160	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁↑𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ∈ ℝ)
9	4, 7, 8	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ∈ ℝ)
10	9	anandirs 679	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ∈ ℝ)
11		2nn 12266	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		nn0sqcl 14061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾↑2) ∈ ℕ0)
13		nnexpcl 14046	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ)
14	11, 12, 13	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ)
15		nnnn0 12456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
16		nn0addcl 12484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
17	16	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
18	15, 17	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
19		nnexpcl 14046	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
20	18, 19	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
21	20	anabss7 673	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
22		nnmulcl 12217	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ ∧ (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ)
23	14, 21, 22	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ)
24	23	nnred 12208	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℝ)
25		faccl 14255	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
26	25	nnred 12208	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
27		remulcl 11160	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
28	24, 26, 27	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
29		2re 12267	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		remulcl 11160	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ)
31	29, 28, 30	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ)
32		faclbnd4 14269	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
33	15, 32	syl3an3 1165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
34	33	3coml 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
35	34	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
36		1lt2 12359	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
37		nnmulcl 12217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
38	23, 25, 37	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
39	38	nngt0d 12242	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
40		ltmulgt12 12050	. . . . . . . 8 ⊢ (((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) → (1 < 2 ↔ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))))
41	29, 40	mp3an2 1451	. . . . . . 7 ⊢ (((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) → (1 < 2 ↔ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))))
42	28, 39, 41	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 < 2 ↔ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))))
43	36, 42	mpbii 233	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
44	10, 28, 31, 35, 43	lelttrd 11339	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
45		2cn 12268	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
46	23	nncnd 12209	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ)
47	25	nncnd 12209	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
48		mulass 11163	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℂ) → ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)) = (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
49	45, 46, 47, 48	mp3an3an 1469	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)) = (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
50	44, 49	breqtrrd 5138	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))
51	50	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))
52	51	3comr 1125	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ↑cexp 14033  !cfa 14245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246

This theorem is referenced by: (None)