Theorem faclbnd5 14198

Description: The factorial function grows faster than powers and exponentiations. If we consider 𝐾 and 𝑀 to be constants, the right-hand side of the inequality is a constant times 𝑁-factorial. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd5	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		reexpcl 13984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝐾) ∈ ℝ)
3	1, 2	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝐾) ∈ ℝ)
4	3	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝐾) ∈ ℝ)
5		nnre 12160	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
6		reexpcl 13984	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ)
8		remulcl 11136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁↑𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ∈ ℝ)
9	4, 7, 8	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ∈ ℝ)
10	9	anandirs 677	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ∈ ℝ)
11		2nn 12226	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		nn0sqcl 13995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾↑2) ∈ ℕ0)
13		nnexpcl 13980	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ)
14	11, 12, 13	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ)
15		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
16		nn0addcl 12448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
17	16	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
18	15, 17	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
19		nnexpcl 13980	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
20	18, 19	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
21	20	anabss7 671	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
22		nnmulcl 12177	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ ∧ (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ)
23	14, 21, 22	syl2an2r 683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ)
24	23	nnred 12168	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℝ)
25		faccl 14183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
26	25	nnred 12168	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
27		remulcl 11136	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
28	24, 26, 27	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
29		2re 12227	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		remulcl 11136	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ)
31	29, 28, 30	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ)
32		faclbnd4 14197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
33	15, 32	syl3an3 1165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
34	33	3coml 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
35	34	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
36		1lt2 12324	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
37		nnmulcl 12177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
38	23, 25, 37	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
39	38	nngt0d 12202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
40		ltmulgt12 12016	. . . . . . . 8 ⊢ (((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) → (1 < 2 ↔ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))))
41	29, 40	mp3an2 1449	. . . . . . 7 ⊢ (((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) → (1 < 2 ↔ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))))
42	28, 39, 41	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 < 2 ↔ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))))
43	36, 42	mpbii 232	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
44	10, 28, 31, 35, 43	lelttrd 11313	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
45		2cn 12228	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
46	23	nncnd 12169	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ)
47	25	nncnd 12169	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
48		mulass 11139	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℂ) → ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)) = (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
49	45, 46, 47, 48	mp3an3an 1467	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)) = (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
50	44, 49	breqtrrd 5133	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))
51	50	3impa 1110	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))
52	51	3comr 1125	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13967  !cfa 14173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174

This theorem is referenced by: (None)