Theorem faclbnd5 14205

Description: The factorial function grows faster than powers and exponentiations. If we consider 𝐾 and 𝑀 to be constants, the right-hand side of the inequality is a constant times 𝑁-factorial. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd5	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))

Proof of Theorem faclbnd5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 12393	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		reexpcl 13985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝐾) ∈ ℝ)
3	1, 2	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝐾) ∈ ℝ)
4	3	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝐾) ∈ ℝ)
5		nnre 12135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
6		reexpcl 13985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ)
7	5, 6	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ)
8		remulcl 11094	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁↑𝐾) ∈ ℝ ∧ (𝑀↑𝑁) ∈ ℝ) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ∈ ℝ)
9	4, 7, 8	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ∈ ℝ)
10	9	anandirs 679	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ∈ ℝ)
11		2nn 12201	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		nn0sqcl 13996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾↑2) ∈ ℕ0)
13		nnexpcl 13981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐾↑2) ∈ ℕ0) → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ)
14	11, 12, 13	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ)
15		nnnn0 12391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
16		nn0addcl 12419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
17	16	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
18	15, 17	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0)
19		nnexpcl 13981	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
20	18, 19	sylan2 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
21	20	anabss7 673	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ)
22		nnmulcl 12152	. . . . . . . 8 ⊢ (((2↑(𝐾↑2)) ∈ ℕ ∧ (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)) ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ)
23	14, 21, 22	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ)
24	23	nnred 12143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℝ)
25		faccl 14190	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
26	25	nnred 12143	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℝ)
27		remulcl 11094	. . . . . 6 ⊢ ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℝ) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
28	24, 26, 27	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ)
29		2re 12202	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		remulcl 11094	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ) → (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ)
31	29, 28, 30	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) ∈ ℝ)
32		faclbnd4 14204	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
33	15, 32	syl3an3 1165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
34	33	3coml 1127	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
35	34	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) ≤ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
36		1lt2 12294	. . . . . 6 ⊢ 1 < 2
37		nnmulcl 12152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℕ) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
38	23, 25, 37	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℕ)
39	38	nngt0d 12177	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))
40		ltmulgt12 11985	. . . . . . . 8 ⊢ (((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) → (1 < 2 ↔ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))))
41	29, 40	mp3an2 1451	. . . . . . 7 ⊢ (((((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 < (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))) → (1 < 2 ↔ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))))
42	28, 39, 41	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 < 2 ↔ (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)))))
43	36, 42	mpbii 233	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
44	10, 28, 31, 35, 43	lelttrd 11274	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) < (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
45		2cn 12203	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
46	23	nncnd 12144	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ)
47	25	nncnd 12144	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
48		mulass 11097	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) ∈ ℂ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℂ) → ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)) = (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
49	45, 46, 47, 48	mp3an3an 1469	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)) = (2 · (((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾))) · (!‘𝑁))))
50	44, 49	breqtrrd 5120	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))
51	50	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))
52	51	3comr 1125	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝐾) · (𝑀↑𝑁)) < ((2 · ((2↑(𝐾↑2)) · (𝑀↑(𝑀 + 𝐾)))) · (!‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   < clt 11149   ≤ cle 11150  ℕcn 12128  2c2 12183  ℕ₀cn0 12384  ↑cexp 13968  !cfa 14180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181

This theorem is referenced by: (None)