Theorem ppieq0 25761

Description: The prime-counting function π is zero iff its argument is less than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppieq0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))

Proof of Theorem ppieq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11699	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		lenlt 10708	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
3	1, 2	mpan 689	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
4		ppinncl 25759	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ∈ ℕ)
5	4	nnne0d 11675	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ≠ 0)
6	5	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 → (π‘𝐴) ≠ 0))
7	3, 6	sylbird 263	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 2 → (π‘𝐴) ≠ 0))
8	7	necon4bd 3007	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘𝐴) = 0 → 𝐴 < 2))
9		reflcl 13161	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11		1red 10631	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → 1 ∈ ℝ)
12		2z 12002	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		fllt 13171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
14	12, 13	mpan2 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
15	14	biimpa 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < 2)
16		df-2 11688	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
17	15, 16	breqtrdi 5071	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < (1 + 1))
18		flcl 13160	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
19	18	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
20		1z 12000	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
21		zleltp1 12021	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
22	19, 20, 21	sylancl 589	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
23	17, 22	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ≤ 1)
24		ppiwordi 25747	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 1) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
25	10, 11, 23, 24	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
26		ppifl 25745	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
27	26	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
28		ppi1 25749	. . . . . 6 ⊢ (π‘1) = 0
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘1) = 0)
30	25, 27, 29	3brtr3d 5061	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘𝐴) ≤ 0)
31		ppicl 25716	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
32	31	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
33		nn0le0eq0 11913	. . . . 5 ⊢ ((π‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((π‘𝐴) ≤ 0 ↔ (π‘𝐴) = 0))
34	32, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((π‘𝐴) ≤ 0 ↔ (π‘𝐴) = 0))
35	30, 34	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘𝐴) = 0)
36	35	ex 416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 → (π‘𝐴) = 0))
37	8, 36	impbid 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664   ≤ cle 10665  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ⌊cfl 13155  πcppi 25679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-prm 16006  df-ppi 25685

This theorem is referenced by:  ppiltx  25762