MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppieq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppieq0 27233
Description: The prime-counting function π is zero iff its argument is less than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppieq0 (𝐴 ∈ ℝ → ((π𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))

Proof of Theorem ppieq0
StepHypRef Expression
1 2re 12337 . . . . 5 2 ∈ ℝ
2 lenlt 11336 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
31, 2mpan 690 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
4 ppinncl 27231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π𝐴) ∈ ℕ)
54nnne0d 12313 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π𝐴) ≠ 0)
65ex 412 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 → (π𝐴) ≠ 0))
73, 6sylbird 260 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 2 → (π𝐴) ≠ 0))
87necon4bd 2957 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((π𝐴) = 0 → 𝐴 < 2))
9 reflcl 13832 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11 1red 11259 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → 1 ∈ ℝ)
12 2z 12646 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
13 fllt 13842 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
1412, 13mpan2 691 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
1514biimpa 476 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < 2)
16 df-2 12326 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
1715, 16breqtrdi 5188 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < (1 + 1))
18 flcl 13831 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
1918adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
20 1z 12644 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
21 zleltp1 12665 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
2219, 20, 21sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
2317, 22mpbird 257 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ≤ 1)
24 ppiwordi 27219 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 1) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
2510, 11, 23, 24syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
26 ppifl 27217 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
2726adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
28 ppi1 27221 . . . . . 6 (π‘1) = 0
2928a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘1) = 0)
3025, 27, 293brtr3d 5178 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π𝐴) ≤ 0)
31 ppicl 27188 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (π𝐴) ∈ ℕ0)
3231adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π𝐴) ∈ ℕ0)
33 nn0le0eq0 12551 . . . . 5 ((π𝐴) ∈ ℕ0 → ((π𝐴) ≤ 0 ↔ (π𝐴) = 0))
3432, 33syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((π𝐴) ≤ 0 ↔ (π𝐴) = 0))
3530, 34mpbid 232 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π𝐴) = 0)
3635ex 412 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 → (π𝐴) = 0))
378, 36impbid 212 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((π𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  cfl 13826  πcppi 27151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-prm 16705  df-ppi 27157
This theorem is referenced by:  ppiltx  27234
  Copyright terms: Public domain W3C validator