Theorem ppieq0 25315

Description: The prime-counting function π is zero iff its argument is less than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppieq0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))

Proof of Theorem ppieq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 11425	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		lenlt 10435	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
3	1, 2	mpan 681	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
4		ppinncl 25313	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ∈ ℕ)
5	4	nnne0d 11401	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ≠ 0)
6	5	ex 403	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 → (π‘𝐴) ≠ 0))
7	3, 6	sylbird 252	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 2 → (π‘𝐴) ≠ 0))
8	7	necon4bd 3019	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘𝐴) = 0 → 𝐴 < 2))
9		reflcl 12892	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11		1red 10357	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → 1 ∈ ℝ)
12		2z 11737	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		fllt 12902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
14	12, 13	mpan2 682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
15	14	biimpa 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < 2)
16		df-2 11414	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
17	15, 16	syl6breq 4914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < (1 + 1))
18		flcl 12891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
19	18	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
20		1z 11735	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
21		zleltp1 11756	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
22	19, 20, 21	sylancl 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
23	17, 22	mpbird 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ≤ 1)
24		ppiwordi 25301	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 1) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
25	10, 11, 23, 24	syl3anc 1494	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
26		ppifl 25299	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
27	26	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
28		ppi1 25303	. . . . . 6 ⊢ (π‘1) = 0
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘1) = 0)
30	25, 27, 29	3brtr3d 4904	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘𝐴) ≤ 0)
31		ppicl 25270	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
32	31	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
33		nn0le0eq0 11648	. . . . 5 ⊢ ((π‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((π‘𝐴) ≤ 0 ↔ (π‘𝐴) = 0))
34	32, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((π‘𝐴) ≤ 0 ↔ (π‘𝐴) = 0))
35	30, 34	mpbid 224	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘𝐴) = 0)
36	35	ex 403	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 → (π‘𝐴) = 0))
37	8, 36	impbid 204	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  ℝcr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   < clt 10391   ≤ cle 10392  2c2 11406  ℕ₀cn0 11618  ℤcz 11704  ⌊cfl 12886  πcppi 25233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-pre-sup 10330

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-div 11010  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-uz 11969  df-rp 12113  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fl 12888  df-seq 13096  df-exp 13155  df-hash 13411  df-cj 14216  df-re 14217  df-im 14218  df-sqrt 14352  df-abs 14353  df-dvds 15358  df-prm 15758  df-ppi 25239

This theorem is referenced by:  ppiltx  25316