MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ppieq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ppieq0 26082
Description: The prime-counting function π is zero iff its argument is less than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppieq0 (𝐴 ∈ ℝ → ((π𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))

Proof of Theorem ppieq0
StepHypRef Expression
1 2re 11929 . . . . 5 2 ∈ ℝ
2 lenlt 10936 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
31, 2mpan 690 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
4 ppinncl 26080 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π𝐴) ∈ ℕ)
54nnne0d 11905 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π𝐴) ≠ 0)
65ex 416 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 → (π𝐴) ≠ 0))
73, 6sylbird 263 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 2 → (π𝐴) ≠ 0))
87necon4bd 2961 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((π𝐴) = 0 → 𝐴 < 2))
9 reflcl 13396 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
109adantr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11 1red 10859 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → 1 ∈ ℝ)
12 2z 12234 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
13 fllt 13406 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
1412, 13mpan2 691 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
1514biimpa 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < 2)
16 df-2 11918 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
1715, 16breqtrdi 5109 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < (1 + 1))
18 flcl 13395 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
1918adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
20 1z 12232 . . . . . . . 8 1 ∈ ℤ
21 zleltp1 12253 . . . . . . . 8 (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
2219, 20, 21sylancl 589 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
2317, 22mpbird 260 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ≤ 1)
24 ppiwordi 26068 . . . . . 6 (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 1) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
2510, 11, 23, 24syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
26 ppifl 26066 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
2726adantr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π𝐴))
28 ppi1 26070 . . . . . 6 (π‘1) = 0
2928a1i 11 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘1) = 0)
3025, 27, 293brtr3d 5099 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π𝐴) ≤ 0)
31 ppicl 26037 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (π𝐴) ∈ ℕ0)
3231adantr 484 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π𝐴) ∈ ℕ0)
33 nn0le0eq0 12143 . . . . 5 ((π𝐴) ∈ ℕ0 → ((π𝐴) ≤ 0 ↔ (π𝐴) = 0))
3432, 33syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((π𝐴) ≤ 0 ↔ (π𝐴) = 0))
3530, 34mpbid 235 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π𝐴) = 0)
3635ex 416 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 → (π𝐴) = 0))
378, 36impbid 215 1 (𝐴 ∈ ℝ → ((π𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  wne 2941   class class class wbr 5068  cfv 6398  (class class class)co 7232  cr 10753  0cc0 10754  1c1 10755   + caddc 10757   < clt 10892  cle 10893  2c2 11910  0cn0 12115  cz 12201  cfl 13390  πcppi 26000
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831  ax-pre-sup 10832
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-int 4875  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-om 7664  df-1st 7780  df-2nd 7781  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-1o 8223  df-2o 8224  df-oadd 8227  df-er 8412  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-fin 8651  df-sup 9083  df-inf 9084  df-dju 9542  df-card 9580  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-div 11515  df-nn 11856  df-2 11918  df-3 11919  df-n0 12116  df-xnn0 12188  df-z 12202  df-uz 12464  df-rp 12612  df-icc 12967  df-fz 13121  df-fl 13392  df-seq 13600  df-exp 13661  df-hash 13922  df-cj 14687  df-re 14688  df-im 14689  df-sqrt 14823  df-abs 14824  df-dvds 15841  df-prm 16254  df-ppi 26006
This theorem is referenced by:  ppiltx  26083
  Copyright terms: Public domain W3C validator