Theorem ppieq0 27219

Description: The prime-counting function π is zero iff its argument is less than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppieq0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))

Proof of Theorem ppieq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12340	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		lenlt 11339	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
3	1, 2	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
4		ppinncl 27217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ∈ ℕ)
5	4	nnne0d 12316	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ≠ 0)
6	5	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 → (π‘𝐴) ≠ 0))
7	3, 6	sylbird 260	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 2 → (π‘𝐴) ≠ 0))
8	7	necon4bd 2960	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘𝐴) = 0 → 𝐴 < 2))
9		reflcl 13836	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11		1red 11262	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → 1 ∈ ℝ)
12		2z 12649	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		fllt 13846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
14	12, 13	mpan2 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
15	14	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < 2)
16		df-2 12329	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
17	15, 16	breqtrdi 5184	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < (1 + 1))
18		flcl 13835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
20		1z 12647	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
21		zleltp1 12668	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
22	19, 20, 21	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
23	17, 22	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ≤ 1)
24		ppiwordi 27205	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 1) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
25	10, 11, 23, 24	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
26		ppifl 27203	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
27	26	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
28		ppi1 27207	. . . . . 6 ⊢ (π‘1) = 0
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘1) = 0)
30	25, 27, 29	3brtr3d 5174	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘𝐴) ≤ 0)
31		ppicl 27174	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
33		nn0le0eq0 12554	. . . . 5 ⊢ ((π‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((π‘𝐴) ≤ 0 ↔ (π‘𝐴) = 0))
34	32, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((π‘𝐴) ≤ 0 ↔ (π‘𝐴) = 0))
35	30, 34	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘𝐴) = 0)
36	35	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 → (π‘𝐴) = 0))
37	8, 36	impbid 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295   ≤ cle 11296  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ⌊cfl 13830  πcppi 27137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709  df-ppi 27143

This theorem is referenced by:  ppiltx  27220