Theorem ppieq0 27157

Description: The prime-counting function π is zero iff its argument is less than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppieq0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))

Proof of Theorem ppieq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12246	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		lenlt 11215	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
3	1, 2	mpan 696	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
4		ppinncl 27155	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ∈ ℕ)
5	4	nnne0d 12218	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ≠ 0)
6	5	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 → (π‘𝐴) ≠ 0))
7	3, 6	sylbird 261	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 2 → (π‘𝐴) ≠ 0))
8	7	necon4bd 2954	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘𝐴) = 0 → 𝐴 < 2))
9		reflcl 13746	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11		1red 11136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → 1 ∈ ℝ)
12		2z 12550	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		fllt 13756	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
14	12, 13	mpan2 697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
15	14	biimpa 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < 2)
16		df-2 12235	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
17	15, 16	breqtrdi 5113	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < (1 + 1))
18		flcl 13745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
19	18	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
20		1z 12548	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
21		zleltp1 12569	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
22	19, 20, 21	sylancl 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
23	17, 22	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ≤ 1)
24		ppiwordi 27143	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 1) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
25	10, 11, 23, 24	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
26		ppifl 27141	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
27	26	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
28		ppi1 27145	. . . . . 6 ⊢ (π‘1) = 0
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘1) = 0)
30	25, 27, 29	3brtr3d 5103	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘𝐴) ≤ 0)
31		ppicl 27112	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
32	31	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
33		nn0le0eq0 12456	. . . . 5 ⊢ ((π‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((π‘𝐴) ≤ 0 ↔ (π‘𝐴) = 0))
34	32, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((π‘𝐴) ≤ 0 ↔ (π‘𝐴) = 0))
35	30, 34	mpbid 233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘𝐴) = 0)
36	35	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 → (π‘𝐴) = 0))
37	8, 36	impbid 213	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   < clt 11170   ≤ cle 11171  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ⌊cfl 13740  πcppi 27075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-prm 16632  df-ppi 27081

This theorem is referenced by:  ppiltx  27158