Theorem ppieq0 27237

Description: The prime-counting function π is zero iff its argument is less than 2. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppieq0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))

Proof of Theorem ppieq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12292	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		lenlt 11261	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
3	1, 2	mpan 700	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 2))
4		ppinncl 27235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ∈ ℕ)
5	4	nnne0d 12263	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ≤ 𝐴) → (π‘𝐴) ≠ 0)
6	5	ex 416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (2 ≤ 𝐴 → (π‘𝐴) ≠ 0))
7	3, 6	sylbird 262	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 < 2 → (π‘𝐴) ≠ 0))
8	7	necon4bd 2977	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘𝐴) = 0 → 𝐴 < 2))
9		reflcl 13806	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
10	9	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℝ)
11		1red 11182	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → 1 ∈ ℝ)
12		2z 12603	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
13		fllt 13816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
14	12, 13	mpan2 701	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 ↔ (⌊‘𝐴) < 2))
15	14	biimpa 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < 2)
16		df-2 12280	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
17	15, 16	breqtrdi 5141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) < (1 + 1))
18		flcl 13805	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
19	18	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
20		1z 12601	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
21		zleltp1 12622	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
22	19, 20, 21	sylancl 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((⌊‘𝐴) ≤ 1 ↔ (⌊‘𝐴) < (1 + 1)))
23	17, 22	mpbird 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (⌊‘𝐴) ≤ 1)
24		ppiwordi 27223	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝐴) ≤ 1) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
25	10, 11, 23, 24	syl3anc 1390	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) ≤ (π‘1))
26		ppifl 27221	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
27	26	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘(⌊‘𝐴)) = (π‘𝐴))
28		ppi1 27225	. . . . . 6 ⊢ (π‘1) = 0
29	28	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘1) = 0)
30	25, 27, 29	3brtr3d 5131	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘𝐴) ≤ 0)
31		ppicl 27192	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
32	31	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘𝐴) ∈ ℕ0)
33		nn0le0eq0 12509	. . . . 5 ⊢ ((π‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((π‘𝐴) ≤ 0 ↔ (π‘𝐴) = 0))
34	32, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → ((π‘𝐴) ≤ 0 ↔ (π‘𝐴) = 0))
35	30, 34	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 2) → (π‘𝐴) = 0)
36	35	ex 416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 2 → (π‘𝐴) = 0))
37	8, 36	impbid 214	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((π‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 < 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   < clt 11216   ≤ cle 11217  2c2 12272  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ⌊cfl 13800  πcppi 27155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-rp 12994  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fl 13802  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-dvds 16287  df-prm 16706  df-ppi 27161

This theorem is referenced by:  ppiltx  27238