Theorem fprodeq0g 15934

Description: Any finite product containing a zero term is itself zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodeq0g.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodeq0g.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodeq0g.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodeq0g.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
fprodeq0g.b0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodeq0g	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodeq0g.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcvd 2904	. . 3 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘0)
3		fprodeq0g.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		fprodeq0g.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		fprodeq0g.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
6		fprodeq0g.b0	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 0)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	fprodsplit1f 15930	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
8		diffi 9175	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
9	3, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
10		eldifi 4125	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}) → 𝑘 ∈ 𝐴)
11	10, 4	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	1, 9, 11	fprodclf 15932	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 ∈ ℂ)
13	12	mul02d 11408	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵) = 0)
14	7, 13	eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3944  {csn 4627  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  ℂcc 11104  0cc0 11106   · cmul 11111  ∏cprod 15845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-prod 15846

This theorem is referenced by:  fprodle  15936  vonioo  45384  vonicc  45387