Theorem fprodeq0g 15996

Description: Any finite product containing a zero term is itself zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodeq0g.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodeq0g.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fprodeq0g.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodeq0g.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
fprodeq0g.b0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 0)

Assertion

Ref	Expression
fprodeq0g	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq0g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodeq0g.kph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		nfcvd 2893	. . 3 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘0)
3		fprodeq0g.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
4		fprodeq0g.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5		fprodeq0g.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
6		fprodeq0g.b0	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 0)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	fprodsplit1f 15992	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
8		diffi 9213	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
9	3, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
10		eldifi 4126	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}) → 𝑘 ∈ 𝐴)
11	10, 4	sylan2 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝐵 ∈ ℂ)
12	1, 9, 11	fprodclf 15994	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 ∈ ℂ)
13	12	mul02d 11462	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵) = 0)
14	7, 13	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534  Ⅎwnf 1778   ∈ wcel 2099   ∖ cdif 3944  {csn 4633  (class class class)co 7424  Fincfn 8974  ℂcc 11156  0cc0 11158   · cmul 11163  ∏cprod 15907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9485  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-clim 15490  df-prod 15908

This theorem is referenced by:  fprodle  15998  vonioo  46303  vonicc  46306