MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsplitsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsplitsn 15090
Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplitsn.ph 𝑘𝜑
fsumsplitsn.kd 𝑘𝐷
fsumsplitsn.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumsplitsn.b (𝜑𝐵𝑉)
fsumsplitsn.ba (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
fsumsplitsn.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fsumsplitsn.d (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
fsumsplitsn.dcn (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsn (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsn
StepHypRef Expression
1 fsumsplitsn.ph . . 3 𝑘𝜑
2 fsumsplitsn.ba . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
3 disjsn 4646 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
42, 3sylibr 235 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
5 eqidd 2827 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵}))
6 fsumsplitsn.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 snfi 8583 . . . 4 {𝐵} ∈ Fin
8 unfi 8774 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
96, 7, 8sylancl 586 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
10 fsumsplitsn.c . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1110adantlr 711 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 simpll 763 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝜑)
13 elunnel1 4130 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ {𝐵})
14 elsni 4581 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
1615adantll 710 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
17 fsumsplitsn.d . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
1817adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
19 fsumsplitsn.dcn . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2019adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
2118, 20eqeltrd 2918 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
2212, 16, 21syl2anc 584 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2311, 22pm2.61dan 809 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐶 ∈ ℂ)
241, 4, 5, 9, 23fsumsplitf 15088 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
25 fsumsplitsn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
26 fsumsplitsn.kd . . . . 5 𝑘𝐷
2726, 17sumsnf 15089 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐷 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
2825, 19, 27syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
2928oveq2d 7164 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + 𝐷))
3024, 29eqtrd 2861 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wnf 1777  wcel 2107  wnfc 2966  cun 3938  cin 3939  c0 4295  {csn 4564  (class class class)co 7148  Fincfn 8498  cc 10524   + caddc 10529  Σcsu 15032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-oi 8963  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-rp 12380  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-sum 15033
This theorem is referenced by:  reprsuc  31772  hgt750lemd  31805  fsumnncl  41717  fsumsplit1  41718  mccllem  41743  dvmptfprodlem  42094  dvnprodlem1  42096  sge0iunmptlemfi  42561
  Copyright terms: Public domain W3C validator