MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumsplitsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsplitsn 15695
Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsplitsn.ph 𝑘𝜑
fsumsplitsn.kd 𝑘𝐷
fsumsplitsn.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumsplitsn.b (𝜑𝐵𝑉)
fsumsplitsn.ba (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
fsumsplitsn.c ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fsumsplitsn.d (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
fsumsplitsn.dcn (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
fsumsplitsn (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + 𝐷))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsn
StepHypRef Expression
1 fsumsplitsn.ph . . 3 𝑘𝜑
2 fsumsplitsn.ba . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝐵𝐴)
3 disjsn 4715 . . . 4 ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵𝐴)
42, 3sylibr 233 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
5 eqidd 2732 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵}))
6 fsumsplitsn.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
7 snfi 9048 . . . 4 {𝐵} ∈ Fin
8 unfi 9176 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
96, 7, 8sylancl 585 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
10 fsumsplitsn.c . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
1110adantlr 712 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
12 simpll 764 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝜑)
13 elunnel1 4149 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 ∈ {𝐵})
14 elsni 4645 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
1615adantll 711 . . . . 5 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
17 fsumsplitsn.d . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐵𝐶 = 𝐷)
1817adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
19 fsumsplitsn.dcn . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
2019adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
2118, 20eqeltrd 2832 . . . . 5 ((𝜑𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
2212, 16, 21syl2anc 583 . . . 4 (((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2311, 22pm2.61dan 810 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐶 ∈ ℂ)
241, 4, 5, 9, 23fsumsplitf 15693 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
25 fsumsplitsn.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
26 fsumsplitsn.kd . . . . 5 𝑘𝐷
2726, 17sumsnf 15694 . . . 4 ((𝐵𝑉𝐷 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
2825, 19, 27syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
2928oveq2d 7428 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + 𝐷))
3024, 29eqtrd 2771 1 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘𝐴 𝐶 + 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wnf 1784  wcel 2105  wnfc 2882  cun 3946  cin 3947  c0 4322  {csn 4628  (class class class)co 7412  Fincfn 8943  cc 11112   + caddc 11117  Σcsu 15637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-sum 15638
This theorem is referenced by:  fsumsplit1  15696  reprsuc  33926  hgt750lemd  33959  fsumnncl  44587  mccllem  44612  dvmptfprodlem  44959  dvnprodlem1  44961  sge0iunmptlemfi  45428
  Copyright terms: Public domain W3C validator