Theorem fsumsplitsn 15687

Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplitsn.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumsplitsn.kd	⊢ Ⅎ𝑘𝐷
fsumsplitsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumsplitsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fsumsplitsn.ba	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
fsumsplitsn.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fsumsplitsn.d	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
fsumsplitsn.dcn	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsn	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumsplitsn.ph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		fsumsplitsn.ba	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
3		disjsn 4715	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
4	2, 3	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
5		eqidd 2734	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵}))
6		fsumsplitsn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		snfi 9041	. . . 4 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
8		unfi 9169	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancl 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
10		fsumsplitsn.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝜑)
13		elunnel1 4149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ {𝐵})
14		elsni 4645	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
16	15	adantll 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
17		fsumsplitsn.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
18	17	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
19		fsumsplitsn.dcn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
20	19	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
21	18, 20	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
22	12, 16, 21	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	11, 22	pm2.61dan 812	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐶 ∈ ℂ)
24	1, 4, 5, 9, 23	fsumsplitf 15685	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
25		fsumsplitsn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
26		fsumsplitsn.kd	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
27	26, 17	sumsnf 15686	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
28	25, 19, 27	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
29	28	oveq2d 7422	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + 𝐷))
30	24, 29	eqtrd 2773	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2884   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947  ∅c0 4322  {csn 4628  (class class class)co 7406  Fincfn 8936  ℂcc 11105   + caddc 11110  Σcsu 15629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630

This theorem is referenced by:  fsumsplit1  15688  reprsuc  33616  hgt750lemd  33649  fsumnncl  44275  mccllem  44300  dvmptfprodlem  44647  dvnprodlem1  44649  sge0iunmptlemfi  45116