Theorem fsumsplitsn 15794

Description: Separate out a term in a finite sum. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumsplitsn.ph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fsumsplitsn.kd	⊢ Ⅎ𝑘𝐷
fsumsplitsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumsplitsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fsumsplitsn.ba	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
fsumsplitsn.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fsumsplitsn.d	⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
fsumsplitsn.dcn	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumsplitsn	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + 𝐷))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)

Proof of Theorem fsumsplitsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumsplitsn.ph	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		fsumsplitsn.ba	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
3		disjsn 4682	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅ ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴)
4	2, 3	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ {𝐵}) = ∅)
5		eqidd 2770	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) = (𝐴 ∪ {𝐵}))
6		fsumsplitsn.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
7		snfi 9039	. . . 4 ⊢ {𝐵} ∈ Fin
8		unfi 9154	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ {𝐵} ∈ Fin) → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
9	6, 7, 8	sylancl 597	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝐵}) ∈ Fin)
10		fsumsplitsn.c	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
11	10	adantlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
12		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝜑)
13		elunnel1 4116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 ∈ {𝐵})
14		elsni 4611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐵} → 𝑘 = 𝐵)
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵}) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
16	15	adantll 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑘 = 𝐵)
17		fsumsplitsn.d	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐵 → 𝐶 = 𝐷)
18	17	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐷)
19		fsumsplitsn.dcn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
20	19	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐷 ∈ ℂ)
21	18, 20	eqeltrd 2869	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
22	12, 16, 21	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) ∧ ¬ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
23	11, 22	pm2.61dan 824	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})) → 𝐶 ∈ ℂ)
24	1, 4, 5, 9, 23	fsumsplitf 15792	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
25		fsumsplitsn.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
26		fsumsplitsn.kd	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘𝐷
27	26, 17	sumsnf 15793	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
28	25, 19, 27	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐷)
29	28	oveq2d 7427	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + 𝐷))
30	24, 29	eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∪ {𝐵})𝐶 = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 + 𝐷))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  Ⅎwnf 1810   ∈ wcel 2149  Ⅎwnfc 2916   ∪ cun 3911   ∩ cin 3912  ∅c0 4294  {csn 4594  (class class class)co 7411  Fincfn 8942  ℂcc 11097   + caddc 11102  Σcsu 15736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-sum 15737

This theorem is referenced by:  fsumsplit1  15795  deg1prod  33817  reprsuc  34946  hgt750lemd  34979  deg1gprod  42796  unitscyglem2  42852  fsumnncl  46179  mccllem  46204  dvmptfprodlem  46549  dvnprodlem1  46551  sge0iunmptlemfi  47018