MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fuccatid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fuccatid 17347
Description: The functor category is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fuccat.q 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fuccat.r (𝜑𝐶 ∈ Cat)
fuccat.s (𝜑𝐷 ∈ Cat)
fuccatid.1 1 = (Id‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
fuccatid (𝜑 → (𝑄 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑄) = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( 1 ∘ (1st𝑓)))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝜑,𝑓   𝐷,𝑓   𝑄,𝑓
Allowed substitution hint:   1 (𝑓)

Proof of Theorem fuccatid
Dummy variables 𝑒 𝑔 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fuccat.q . . . 4 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
21fucbas 17338 . . 3 (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)
32a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄))
4 eqid 2739 . . . 4 (𝐶 Nat 𝐷) = (𝐶 Nat 𝐷)
51, 4fuchom 17339 . . 3 (𝐶 Nat 𝐷) = (Hom ‘𝑄)
65a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐶 Nat 𝐷) = (Hom ‘𝑄))
7 eqidd 2740 . 2 (𝜑 → (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄))
81ovexi 7207 . . 3 𝑄 ∈ V
98a1i 11 . 2 (𝜑𝑄 ∈ V)
10 biid 264 . 2 (((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)))) ↔ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)))))
11 fuccatid.1 . . 3 1 = (Id‘𝐷)
12 simpr 488 . . 3 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
131, 4, 11, 12fucidcl 17343 . 2 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → ( 1 ∘ (1st𝑓)) ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑓))
14 eqid 2739 . . 3 (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄)
15 simpr31 1264 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷))))) → 𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓))
161, 4, 14, 11, 15fuclid 17344 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷))))) → (( 1 ∘ (1st𝑓))(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑓)𝑟) = 𝑟)
17 simpr32 1265 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷))))) → 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))
181, 4, 14, 11, 17fucrid 17345 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷))))) → (𝑠(⟨𝑓, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑔)( 1 ∘ (1st𝑓))) = 𝑠)
191, 4, 14, 15, 17fuccocl 17342 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷))))) → (𝑠(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑔)𝑟) ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))
20 simpr33 1266 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷))))) → 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)))
211, 4, 14, 15, 17, 20fucass 17346 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷))))) → ((𝑡(⟨𝑓, 𝑔⟩(comp‘𝑄))𝑠)(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄))𝑟) = (𝑡(⟨𝑒, 𝑔⟩(comp‘𝑄))(𝑠(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑔)𝑟)))
223, 6, 7, 9, 10, 13, 16, 18, 19, 21iscatd2 17058 1 (𝜑 → (𝑄 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑄) = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( 1 ∘ (1st𝑓)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  Vcvv 3399  cmpt 5111  ccom 5530  cfv 6340  (class class class)co 7173  1st c1st 7715  Basecbs 16589  Hom chom 16682  compcco 16683  Catccat 17041  Idccid 17042   Func cfunc 17232   Nat cnat 17319   FuncCat cfuc 17320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-map 8442  df-ixp 8511  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-4 11784  df-5 11785  df-6 11786  df-7 11787  df-8 11788  df-9 11789  df-n0 11980  df-z 12066  df-dec 12183  df-uz 12328  df-fz 12985  df-struct 16591  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-hom 16695  df-cco 16696  df-cat 17045  df-cid 17046  df-func 17236  df-nat 17321  df-fuc 17322
This theorem is referenced by:  fuccat  17348  fucid  17349
  Copyright terms: Public domain W3C validator