Theorem fuccatid 17958

Description: The functor category is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuccat.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fuccat.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
fuccat.s	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
fuccatid.1	⊢ 1 = (Id‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fuccatid	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑄) = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( 1 ∘ (1st ‘𝑓)))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝜑,𝑓   𝐷,𝑓   𝑄,𝑓

Allowed substitution hint:   1 (𝑓)

Proof of Theorem fuccatid

Dummy variables 𝑒 𝑔 ℎ 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fuccat.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2	1	fucbas 17948	. . 3 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄))
4		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (𝐶 Nat 𝐷)
5	1, 4	fuchom 17949	. . 3 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (Hom ‘𝑄)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Nat 𝐷) = (Hom ‘𝑄))
7		eqidd 2726	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄))
8	1	ovexi 7448	. . 3 ⊢ 𝑄 ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ V)
10		biid 260	. 2 ⊢ (((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ))) ↔ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ))))
11		fuccatid.1	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐷)
12		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
13	1, 4, 11, 12	fucidcl 17954	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → ( 1 ∘ (1st ‘𝑓)) ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑓))
14		eqid 2725	. . 3 ⊢ (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄)
15		simpr31 1260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → 𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓))
16	1, 4, 14, 11, 15	fuclid 17955	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → (( 1 ∘ (1st ‘𝑓))(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑓)𝑟) = 𝑟)
17		simpr32 1261	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))
18	1, 4, 14, 11, 17	fucrid 17956	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → (𝑠(⟨𝑓, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑔)( 1 ∘ (1st ‘𝑓))) = 𝑠)
19	1, 4, 14, 15, 17	fuccocl 17953	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → (𝑠(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑔)𝑟) ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))
20		simpr33 1262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ))
21	1, 4, 14, 15, 17, 20	fucass 17957	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → ((𝑡(⟨𝑓, 𝑔⟩(comp‘𝑄)ℎ)𝑠)(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)ℎ)𝑟) = (𝑡(⟨𝑒, 𝑔⟩(comp‘𝑄)ℎ)(𝑠(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑔)𝑟)))
22	3, 6, 7, 9, 10, 13, 16, 18, 19, 21	iscatd2 17658	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑄) = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( 1 ∘ (1st ‘𝑓)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5224   ∘ ccom 5674  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  1^st c1st 7987  Basecbs 17177  Hom chom 17241  compcco 17242  Catccat 17641  Idccid 17642   Func cfunc 17837   Nat cnat 17928   FuncCat cfuc 17929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-hom 17254  df-cco 17255  df-cat 17645  df-cid 17646  df-func 17841  df-nat 17930  df-fuc 17931

This theorem is referenced by:  fuccat  17959  fucid  17960