Theorem fuccatid 17603

Description: The functor category is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuccat.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fuccat.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
fuccat.s	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
fuccatid.1	⊢ 1 = (Id‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fuccatid	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑄) = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( 1 ∘ (1st ‘𝑓)))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝜑,𝑓   𝐷,𝑓   𝑄,𝑓

Allowed substitution hint:   1 (𝑓)

Proof of Theorem fuccatid

Dummy variables 𝑒 𝑔 ℎ 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fuccat.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2	1	fucbas 17593	. . 3 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄))
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (𝐶 Nat 𝐷)
5	1, 4	fuchom 17594	. . 3 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (Hom ‘𝑄)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Nat 𝐷) = (Hom ‘𝑄))
7		eqidd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄))
8	1	ovexi 7289	. . 3 ⊢ 𝑄 ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ V)
10		biid 260	. 2 ⊢ (((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ))) ↔ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ))))
11		fuccatid.1	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐷)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
13	1, 4, 11, 12	fucidcl 17599	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → ( 1 ∘ (1st ‘𝑓)) ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑓))
14		eqid 2738	. . 3 ⊢ (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄)
15		simpr31 1261	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → 𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓))
16	1, 4, 14, 11, 15	fuclid 17600	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → (( 1 ∘ (1st ‘𝑓))(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑓)𝑟) = 𝑟)
17		simpr32 1262	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))
18	1, 4, 14, 11, 17	fucrid 17601	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → (𝑠(⟨𝑓, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑔)( 1 ∘ (1st ‘𝑓))) = 𝑠)
19	1, 4, 14, 15, 17	fuccocl 17598	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → (𝑠(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑔)𝑟) ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))
20		simpr33 1263	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ))
21	1, 4, 14, 15, 17, 20	fucass 17602	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → ((𝑡(⟨𝑓, 𝑔⟩(comp‘𝑄)ℎ)𝑠)(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)ℎ)𝑟) = (𝑡(⟨𝑒, 𝑔⟩(comp‘𝑄)ℎ)(𝑠(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑔)𝑟)))
22	3, 6, 7, 9, 10, 13, 16, 18, 19, 21	iscatd2 17307	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑄) = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( 1 ∘ (1st ‘𝑓)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ↦ cmpt 5153   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1^st c1st 7802  Basecbs 16840  Hom chom 16899  compcco 16900  Catccat 17290  Idccid 17291   Func cfunc 17485   Nat cnat 17573   FuncCat cfuc 17574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-hom 16912  df-cco 16913  df-cat 17294  df-cid 17295  df-func 17489  df-nat 17575  df-fuc 17576

This theorem is referenced by:  fuccat  17604  fucid  17605