Theorem fuccatid 18148

Description: The functor category is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuccat.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fuccat.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
fuccat.s	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
fuccatid.1	⊢ 1 = (Id‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fuccatid	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑄) = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( 1 ∘ (1st ‘𝑓)))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝜑,𝑓   𝐷,𝑓   𝑄,𝑓

Allowed substitution hint:   1 (𝑓)

Proof of Theorem fuccatid

Dummy variables 𝑒 𝑔 ℎ 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fuccat.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2	1	fucbas 18139	. . 3 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄))
4		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (𝐶 Nat 𝐷)
5	1, 4	fuchom 18140	. . 3 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (Hom ‘𝑄)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Nat 𝐷) = (Hom ‘𝑄))
7		eqidd 2762	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄))
8	1	ovexi 7455	. . 3 ⊢ 𝑄 ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ V)
10		biid 264	. 2 ⊢ (((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ))) ↔ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ))))
11		fuccatid.1	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐷)
12		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
13	1, 4, 11, 12	fucidcl 18144	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → ( 1 ∘ (1st ‘𝑓)) ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑓))
14		eqid 2761	. . 3 ⊢ (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄)
15		simpr31 1282	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → 𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓))
16	1, 4, 14, 11, 15	fuclid 18145	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → (( 1 ∘ (1st ‘𝑓))(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑓)𝑟) = 𝑟)
17		simpr32 1283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))
18	1, 4, 14, 11, 17	fucrid 18146	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → (𝑠(⟨𝑓, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑔)( 1 ∘ (1st ‘𝑓))) = 𝑠)
19	1, 4, 14, 15, 17	fuccocl 18143	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → (𝑠(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑔)𝑟) ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))
20		simpr33 1284	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ))
21	1, 4, 14, 15, 17, 20	fucass 18147	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → ((𝑡(⟨𝑓, 𝑔⟩(comp‘𝑄)ℎ)𝑠)(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)ℎ)𝑟) = (𝑡(⟨𝑒, 𝑔⟩(comp‘𝑄)ℎ)(𝑠(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑔)𝑟)))
22	3, 6, 7, 9, 10, 13, 16, 18, 19, 21	iscatd2 17856	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑄) = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( 1 ∘ (1st ‘𝑓)))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  1^st c1st 8000  Basecbs 17388  Hom chom 17440  compcco 17441  Catccat 17839  Idccid 17840   Func cfunc 18030   Nat cnat 18120   FuncCat cfuc 18121

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-hom 17453  df-cco 17454  df-cat 17843  df-cid 17844  df-func 18034  df-nat 18122  df-fuc 18123

This theorem is used by:  fuccat  18149  fucid  18150