Theorem fuccatid 17874

Description: The functor category is a category. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuccat.q	⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
fuccat.r	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
fuccat.s	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
fuccatid.1	⊢ 1 = (Id‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
fuccatid	⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑄) = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( 1 ∘ (1st ‘𝑓)))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝜑,𝑓   𝐷,𝑓   𝑄,𝑓

Allowed substitution hint:   1 (𝑓)

Proof of Theorem fuccatid

Dummy variables 𝑒 𝑔 ℎ 𝑟 𝑠 𝑡 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fuccat.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝐶 FuncCat 𝐷)
2	1	fucbas 17865	. . 3 ⊢ (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Func 𝐷) = (Base‘𝑄))
4		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (𝐶 Nat 𝐷)
5	1, 4	fuchom 17866	. . 3 ⊢ (𝐶 Nat 𝐷) = (Hom ‘𝑄)
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 Nat 𝐷) = (Hom ‘𝑄))
7		eqidd 2732	. 2 ⊢ (𝜑 → (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄))
8	1	ovexi 7375	. . 3 ⊢ 𝑄 ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ V)
10		biid 261	. 2 ⊢ (((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ))) ↔ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ))))
11		fuccatid.1	. . 3 ⊢ 1 = (Id‘𝐷)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
13	1, 4, 11, 12	fucidcl 17870	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → ( 1 ∘ (1st ‘𝑓)) ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑓))
14		eqid 2731	. . 3 ⊢ (comp‘𝑄) = (comp‘𝑄)
15		simpr31 1264	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → 𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓))
16	1, 4, 14, 11, 15	fuclid 17871	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → (( 1 ∘ (1st ‘𝑓))(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑓)𝑟) = 𝑟)
17		simpr32 1265	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))
18	1, 4, 14, 11, 17	fucrid 17872	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → (𝑠(⟨𝑓, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑔)( 1 ∘ (1st ‘𝑓))) = 𝑠)
19	1, 4, 14, 15, 17	fuccocl 17869	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → (𝑠(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑔)𝑟) ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑔))
20		simpr33 1266	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ))
21	1, 4, 14, 15, 17, 20	fucass 17873	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑒 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑔 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ∧ ℎ ∈ (𝐶 Func 𝐷)) ∧ (𝑟 ∈ (𝑒(𝐶 Nat 𝐷)𝑓) ∧ 𝑠 ∈ (𝑓(𝐶 Nat 𝐷)𝑔) ∧ 𝑡 ∈ (𝑔(𝐶 Nat 𝐷)ℎ)))) → ((𝑡(⟨𝑓, 𝑔⟩(comp‘𝑄)ℎ)𝑠)(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)ℎ)𝑟) = (𝑡(⟨𝑒, 𝑔⟩(comp‘𝑄)ℎ)(𝑠(⟨𝑒, 𝑓⟩(comp‘𝑄)𝑔)𝑟)))
22	3, 6, 7, 9, 10, 13, 16, 18, 19, 21	iscatd2 17582	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∈ Cat ∧ (Id‘𝑄) = (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝐷) ↦ ( 1 ∘ (1st ‘𝑓)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5615  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  1^st c1st 7914  Basecbs 17115  Hom chom 17167  compcco 17168  Catccat 17565  Idccid 17566   Func cfunc 17756   Nat cnat 17846   FuncCat cfuc 17847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-hom 17180  df-cco 17181  df-cat 17569  df-cid 17570  df-func 17760  df-nat 17848  df-fuc 17849

This theorem is referenced by:  fuccat  17875  fucid  17876