Theorem fz1sump1 41748

Description: Add one more term to a sum. Special case of fsump1 15705 generalized to 𝑁 ∈ ℕ₀. (Contributed by SN, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fz1sump1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fz1sump1.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
fz1sump1.s	⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fz1sump1	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 + 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fz1sump1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1sump1.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0p1nn 12512	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4		nnuz 12866	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	3, 4	eleqtrdi 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
6		fz1sump1.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		fz1sump1.s	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
8	5, 6, 7	fsumm1 15700	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 + 𝐵))
9	1	nn0cnd 12535	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
10		1cnd 11210	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11	9, 10	pncand 11573	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
12	11	oveq2d 7420	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑁 + 1) − 1)) = (1...𝑁))
13	12	sumeq1d 15650	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴)
14	13	oveq1d 7419	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 + 𝐵))
15	8, 14	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  ℂcc 11107  1c1 11110   + caddc 11112   − cmin 11445  ℕcn 12213  ℕ₀cn0 12473  ℤ_≥cuz 12823  ...cfz 13487  Σcsu 15635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-clim 15435  df-sum 15636

This theorem is referenced by:  sumcubes  41751