Theorem fz1sump1 43149

Description: Add one more term to a sum. Special case of fsump1 15835 generalized to 𝑁 ∈ ℕ₀. (Contributed by SN, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fz1sump1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
fz1sump1.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
fz1sump1.s	⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fz1sump1	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 + 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fz1sump1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fz1sump1.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0p1nn 12563	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4		nnuz 12922	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
5	3, 4	eleqtrdi 2875	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
6		fz1sump1.a	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		fz1sump1.s	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
8	5, 6, 7	fsumm1 15830	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 + 𝐵))
9	1	nn0cnd 12587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
10		1cnd 11222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11	9, 10	pncand 11590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
12	11	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑁 + 1) − 1)) = (1...𝑁))
13	12	sumeq1d 15780	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴)
14	13	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (1...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 + 𝐵))
15	8, 14	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (1...(𝑁 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  ℂcc 11118  1c1 11121   + caddc 11123   − cmin 11461  ℕcn 12253  ℕ₀cn0 12524  ℤ_≥cuz 12883  ...cfz 13556  Σcsu 15766

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-inf2 9618  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197  ax-pre-sup 11198

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8701  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-sup 9410  df-oi 9480  df-card 9942  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-div 11892  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12884  df-rp 13038  df-fz 13557  df-fzo 13705  df-seq 14061  df-exp 14121  df-hash 14390  df-cj 15179  df-re 15180  df-im 15181  df-sqrt 15315  df-abs 15316  df-clim 15568  df-sum 15767

This theorem is used by:  sumcubes  43152