Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oddnumth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddnumth 41698
Description: The Odd Number Theorem. The sum of the first 𝑁 odd numbers is 𝑁↑2. A corollary of arisum 15803. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
oddnumth (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem oddnumth
StepHypRef Expression
1 fzfid 13935 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2 2cnd 12287 . . . . 5 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 2 ∈ ℂ)
3 elfznn 13527 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
43nncnd 12225 . . . . 5 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
52, 4mulcld 11231 . . . 4 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
65adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
7 1cnd 11206 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
81, 6, 7fsumsub 15731 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1))
9 arisum 15803 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
109oveq2d 7417 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = (2 · (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2)))
11 2cnd 12287 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
124adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
131, 11, 12fsummulc2 15727 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘))
14 nn0cn 12479 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
1514sqcld 14106 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
1615, 14addcld 11230 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℂ)
17 2ne0 12313 . . . . . 6 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
1916, 11, 18divcan2d 11989 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
2010, 13, 193eqtr3d 2772 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
21 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
22 1cnd 11206 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
2321, 22fz1sumconst 41696 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = (𝑁 · 1))
2414mulridd 11228 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
2523, 24eqtrd 2764 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = 𝑁)
2620, 25oveq12d 7419 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1) = (((𝑁↑2) + 𝑁) − 𝑁))
2715, 14pncand 11569 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) − 𝑁) = (𝑁↑2))
288, 26, 273eqtrd 2768 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  (class class class)co 7401  cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  cmin 11441   / cdiv 11868  2c2 12264  0cn0 12469  ...cfz 13481  cexp 14024  Σcsu 15629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630
This theorem is referenced by:  nicomachus  41699  sumcubes  41700
  Copyright terms: Public domain W3C validator