Theorem oddnumth 42345

Description: The Odd Number Theorem. The sum of the first 𝑁 odd numbers is 𝑁↑2. A corollary of arisum 15896. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oddnumth	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem oddnumth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14014	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		2cnd 12344	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 2 ∈ ℂ)
3		elfznn 13593	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12282	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11281	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
7		1cnd 11256	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	fsumsub 15824	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1))
9		arisum 15896	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
10	9	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = (2 · (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2)))
11		2cnd 12344	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
12	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
13	1, 11, 12	fsummulc2 15820	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘))
14		nn0cn 12536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	sqcld 14184	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
16	15, 14	addcld 11280	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℂ)
17		2ne0 12370	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
19	16, 11, 18	divcan2d 12045	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
20	10, 13, 19	3eqtr3d 2785	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
21		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		1cnd 11256	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
23	21, 22	fz1sumconst 42343	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = (𝑁 · 1))
24	14	mulridd 11278	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
25	23, 24	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = 𝑁)
26	20, 25	oveq12d 7449	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1) = (((𝑁↑2) + 𝑁) − 𝑁))
27	15, 14	pncand 11621	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) − 𝑁) = (𝑁↑2))
28	8, 26, 27	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ...cfz 13547  ↑cexp 14102  Σcsu 15722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723

This theorem is referenced by:  nicomachus  42346  sumcubes  42347