Theorem oddnumth 42306

Description: The Odd Number Theorem. The sum of the first 𝑁 odd numbers is 𝑁↑2. A corollary of arisum 15833. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oddnumth	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem oddnumth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13945	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		2cnd 12271	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 2 ∈ ℂ)
3		elfznn 13521	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12209	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11201	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
7		1cnd 11176	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	fsumsub 15761	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1))
9		arisum 15833	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
10	9	oveq2d 7406	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = (2 · (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2)))
11		2cnd 12271	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
12	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
13	1, 11, 12	fsummulc2 15757	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘))
14		nn0cn 12459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	sqcld 14116	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
16	15, 14	addcld 11200	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℂ)
17		2ne0 12297	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
19	16, 11, 18	divcan2d 11967	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
20	10, 13, 19	3eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
21		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		1cnd 11176	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
23	21, 22	fz1sumconst 42304	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = (𝑁 · 1))
24	14	mulridd 11198	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
25	23, 24	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = 𝑁)
26	20, 25	oveq12d 7408	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1) = (((𝑁↑2) + 𝑁) − 𝑁))
27	15, 14	pncand 11541	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) − 𝑁) = (𝑁↑2))
28	8, 26, 27	3eqtrd 2769	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   − cmin 11412   / cdiv 11842  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ...cfz 13475  ↑cexp 14033  Σcsu 15659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-sum 15660

This theorem is referenced by:  nicomachus  42307  sumcubes  42308