Theorem oddnumth 41902

Description: The Odd Number Theorem. The sum of the first 𝑁 odd numbers is 𝑁↑2. A corollary of arisum 15846. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oddnumth	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem oddnumth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 13978	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		2cnd 12328	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 2 ∈ ℂ)
3		elfznn 13570	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12266	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11272	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
6	5	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
7		1cnd 11247	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	fsumsub 15774	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1))
9		arisum 15846	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
10	9	oveq2d 7442	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = (2 · (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2)))
11		2cnd 12328	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
12	4	adantl 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
13	1, 11, 12	fsummulc2 15770	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘))
14		nn0cn 12520	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	sqcld 14148	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
16	15, 14	addcld 11271	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℂ)
17		2ne0 12354	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
19	16, 11, 18	divcan2d 12030	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
20	10, 13, 19	3eqtr3d 2776	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
21		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		1cnd 11247	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
23	21, 22	fz1sumconst 41900	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = (𝑁 · 1))
24	14	mulridd 11269	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
25	23, 24	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = 𝑁)
26	20, 25	oveq12d 7444	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1) = (((𝑁↑2) + 𝑁) − 𝑁))
27	15, 14	pncand 11610	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) − 𝑁) = (𝑁↑2))
28	8, 26, 27	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151   − cmin 11482   / cdiv 11909  2c2 12305  ℕ₀cn0 12510  ...cfz 13524  ↑cexp 14066  Σcsu 15672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-clim 15472  df-sum 15673

This theorem is referenced by:  nicomachus  41903  sumcubes  41904