Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oddnumth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddnumth 42323
Description: The Odd Number Theorem. The sum of the first 𝑁 odd numbers is 𝑁↑2. A corollary of arisum 15892. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
oddnumth (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))
Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem oddnumth
StepHypRef Expression
1 fzfid 14010 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2 2cnd 12341 . . . . 5 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 2 ∈ ℂ)
3 elfznn 13589 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
43nncnd 12279 . . . . 5 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
52, 4mulcld 11278 . . . 4 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
65adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
7 1cnd 11253 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
81, 6, 7fsumsub 15820 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1))
9 arisum 15892 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
109oveq2d 7446 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = (2 · (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2)))
11 2cnd 12341 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
124adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
131, 11, 12fsummulc2 15816 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘))
14 nn0cn 12533 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
1514sqcld 14180 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
1615, 14addcld 11277 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℂ)
17 2ne0 12367 . . . . . 6 2 ≠ 0
1817a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
1916, 11, 18divcan2d 12042 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
2010, 13, 193eqtr3d 2782 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
21 id 22 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
22 1cnd 11253 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
2321, 22fz1sumconst 42321 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = (𝑁 · 1))
2414mulridd 11275 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
2523, 24eqtrd 2774 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = 𝑁)
2620, 25oveq12d 7448 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1) = (((𝑁↑2) + 𝑁) − 𝑁))
2715, 14pncand 11618 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) − 𝑁) = (𝑁↑2))
288, 26, 273eqtrd 2778 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  (class class class)co 7430  cc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  cmin 11489   / cdiv 11917  2c2 12318  0cn0 12523  ...cfz 13543  cexp 14098  Σcsu 15718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719
This theorem is referenced by:  nicomachus  42324  sumcubes  42325
  Copyright terms: Public domain W3C validator