Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  oddnumth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddnumth 41764
Description: The Odd Number Theorem. The sum of the first ๐‘ odd numbers is ๐‘โ†‘2. A corollary of arisum 15812. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
oddnumth (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1) = (๐‘โ†‘2))
Distinct variable group:   ๐‘˜,๐‘

Proof of Theorem oddnumth
StepHypRef Expression
1 fzfid 13944 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
2 2cnd 12294 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
3 elfznn 13536 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
43nncnd 12232 . . . . 5 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
52, 4mulcld 11238 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
65adantl 481 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
7 1cnd 11213 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
81, 6, 7fsumsub 15740 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(2 ยท ๐‘˜) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)1))
9 arisum 15812 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜ = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
109oveq2d 7421 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜) = (2 ยท (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2)))
11 2cnd 12294 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
124adantl 481 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
131, 11, 12fsummulc2 15736 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(2 ยท ๐‘˜))
14 nn0cn 12486 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1514sqcld 14114 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
1615, 14addcld 11237 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐‘โ†‘2) + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
17 2ne0 12320 . . . . . 6 2 โ‰  0
1817a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 2 โ‰  0)
1916, 11, 18divcan2d 11996 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (2 ยท (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2)) = ((๐‘โ†‘2) + ๐‘))
2010, 13, 193eqtr3d 2774 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(2 ยท ๐‘˜) = ((๐‘โ†‘2) + ๐‘))
21 id 22 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
22 1cnd 11213 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
2321, 22fz1sumconst 41762 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)1 = (๐‘ ยท 1))
2414mulridd 11235 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
2523, 24eqtrd 2766 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)1 = ๐‘)
2620, 25oveq12d 7423 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)(2 ยท ๐‘˜) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)1) = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) โˆ’ ๐‘))
2715, 14pncand 11576 . 2 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) โˆ’ ๐‘) = (๐‘โ†‘2))
288, 26, 273eqtrd 2770 1 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (1...๐‘)((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ 1) = (๐‘โ†‘2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  ...cfz 13490  โ†‘cexp 14032  ฮฃcsu 15638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-sum 15639
This theorem is referenced by:  nicomachus  41765  sumcubes  41766
  Copyright terms: Public domain W3C validator