Theorem oddnumth 43634

Description: The Odd Number Theorem. The sum of the first 𝑁 odd numbers is 𝑁↑2. A corollary of arisum 16073. (Contributed by SN, 21-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oddnumth	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem oddnumth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzfid 14156	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1...𝑁) ∈ Fin)
2		2cnd 12461	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 2 ∈ ℂ)
3		elfznn 13727	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ)
4	3	nncnd 12391	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11368	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
6	5	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
7		1cnd 11341	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
8	1, 6, 7	fsumsub 15998	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1))
9		arisum 16073	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘 = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
10	9	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = (2 · (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2)))
11		2cnd 12461	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
12	4	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
13	1, 11, 12	fsummulc2 15994	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘))
14		nn0cn 12656	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	sqcld 14327	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
16	15, 14	addcld 11367	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℂ)
17		2ne0 12489	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
19	16, 11, 18	divcan2d 12135	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2)) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
20	10, 13, 19	3eqtr3d 2806	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) = ((𝑁↑2) + 𝑁))
21		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		1cnd 11341	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
23	21, 22	fz1sumconst 43632	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = (𝑁 · 1))
24	14	mulridd 11365	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 · 1) = 𝑁)
25	23, 24	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1 = 𝑁)
26	20, 25	oveq12d 7469	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(2 · 𝑘) − Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)1) = (((𝑁↑2) + 𝑁) − 𝑁))
27	15, 14	pncand 11709	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁↑2) + 𝑁) − 𝑁) = (𝑁↑2))
28	8, 26, 27	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((2 · 𝑘) − 1) = (𝑁↑2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   / cdiv 12013  2c2 12437  ℕ₀cn0 12646  ...cfz 13679  ↑cexp 14244  Σcsu 15897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898

This theorem is used by:  nicomachus  43635  sumcubes  43636