Theorem fsump1 15923

Description: The addition of the next term in a finite sum of 𝐴(𝑘) is the current term plus 𝐵 i.e. 𝐴(𝑁 + 1). (Contributed by NM, 4-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Proof shortened by SN, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsump1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fsump1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsump1.3	⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsump1	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 + 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fsump1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsump1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		peano2uz 13029	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		fsump1.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		fsump1.3	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
6	3, 4, 5	fsumm1 15918	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 + 𝐵))
7		eluzelz 12976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	1, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
10		1cnd 11303	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11	9, 10	pncand 11671	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
12	11	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑁))
13	12	sumeq1d 15868	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴)
14	13	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 + 𝐵))
15	6, 14	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  1c1 11202   + caddc 11204   − cmin 11542  ℤcz 12694  ℤ_≥cuz 12966  ...cfz 13640  Σcsu 15854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-sum 15855

This theorem is used by:  fsump1i  15936  bcxmas  16005  binomfallfaclem2  16207  bpoly2  16224  bpoly3  16225  bpoly4  16226  fprodefsum  16262  plyco  26561  vieta1lem2  26635  emcllem2  27325  subfacval2  36021  bccolsum  36579  fwddifnp1  37005  sticksstones10  43281  stoweidlem20  47106  dirkertrigeqlem1  47184  dirkertrigeqlem3  47186  carageniuncllem1  47607  altgsumbcALT  49541