Theorem fsump1 15677

Description: The addition of the next term in a finite sum of 𝐴(𝑘) is the current term plus 𝐵 i.e. 𝐴(𝑁 + 1). (Contributed by NM, 4-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2014.) (Proof shortened by SN, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsump1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fsump1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsump1.3	⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fsump1	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 + 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fsump1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsump1.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		peano2uz 12812	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4		fsump1.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		fsump1.3	. . 3 ⊢ (𝑘 = (𝑁 + 1) → 𝐴 = 𝐵)
6	3, 4, 5	fsumm1 15672	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 + 𝐵))
7		eluzelz 12759	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	1, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
9	8	zcnd 12595	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
10		1cnd 11125	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
11	9, 10	pncand 11491	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
12	11	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑁))
13	12	sumeq1d 15621	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴)
14	13	oveq1d 7371	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑁 + 1) − 1))𝐴 + 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 + 𝐵))
15	6, 14	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  1c1 11025   + caddc 11027   − cmin 11362  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ...cfz 13421  Σcsu 15607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-sum 15608

This theorem is referenced by:  fsump1i  15690  bcxmas  15756  binomfallfaclem2  15961  bpoly2  15978  bpoly3  15979  bpoly4  15980  fprodefsum  16016  plyco  26200  vieta1lem2  26273  emcllem2  26961  subfacval2  35330  bccolsum  35882  fwddifnp1  36308  sticksstones10  42348  stoweidlem20  46206  dirkertrigeqlem1  46284  dirkertrigeqlem3  46286  carageniuncllem1  46707  altgsumbcALT  48541