Theorem geoser 15080

Description: The value of the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). This is Metamath 100 proof #66. (Contributed by NM, 12-May-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
geoser.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
geoser.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1)
geoser.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
geoser	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem geoser

Step	Hyp	Ref	Expression
1		geoser.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		geoser.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 1)
3		0nn0 11722	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
5		geoser.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		nn0uz 12092	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
7	5, 6	syl6eleq 2869	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
8	1, 2, 4, 7	geoserg 15079	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐴↑𝑘) = (((𝐴↑0) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)))
9	5	nn0zd 11896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
10		fzoval 12853	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
11	9, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
12	11	sumeq1d 14916	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)(𝐴↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))
13	1	exp0d 13317	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑0) = 1)
14	13	oveq1d 6989	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑0) − (𝐴↑𝑁)) = (1 − (𝐴↑𝑁)))
15	14	oveq1d 6989	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴↑0) − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)))
16	8, 12, 15	3eqtr3d 2815	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2960  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974  ℂcc 10331  0cc0 10333  1c1 10334   − cmin 10668   / cdiv 11096  ℕ₀cn0 11705  ℤcz 11791  ℤ_≥cuz 12056  ...cfz 12706  ..^cfzo 12847  ↑cexp 13242  Σcsu 14901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-sup 8699  df-oi 8767  df-card 9160  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-rp 12203  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-seq 13183  df-exp 13243  df-hash 13504  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-clim 14704  df-sum 14902

This theorem is referenced by:  pwm1geoserOLD  15083  geolim  15084  geolim2  15085  geo2sum  15087  geo2sum2  15088  3dvds  15538  1sgm2ppw  25493  mersenne  25520  knoppndvlem14  33421