Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwm1geoser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwm1geoser 15216
 Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pwm1geoser.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pwm1geoser.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
pwm1geoser (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwm1geoser
StepHypRef Expression
1 pwm1geoser.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
21nn0zd 12073 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 1exp 13454 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
54eqcomd 2804 . . 3 (𝜑 → 1 = (1↑𝑁))
65oveq2d 7151 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴𝑁) − (1↑𝑁)))
7 pwm1geoser.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
8 1cnd 10625 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9 pwdif 15215 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) − (1↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (1↑((𝑁𝑘) − 1)))))
101, 7, 8, 9syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − (1↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (1↑((𝑁𝑘) − 1)))))
11 fzoval 13034 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
122, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
132adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14 elfzoelz 13033 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
1514adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
1613, 15zsubcld 12080 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
17 peano2zm 12013 . . . . . . 7 ((𝑁𝑘) ∈ ℤ → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ)
18 1exp 13454 . . . . . . 7 (((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ → (1↑((𝑁𝑘) − 1)) = 1)
1916, 17, 183syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (1↑((𝑁𝑘) − 1)) = 1)
2019oveq2d 7151 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (1↑((𝑁𝑘) − 1))) = ((𝐴𝑘) · 1))
217adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 elfzonn0 13077 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2322adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2421, 23expcld 13506 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2524mulid1d 10647 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · 1) = (𝐴𝑘))
2620, 25eqtrd 2833 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (1↑((𝑁𝑘) − 1))) = (𝐴𝑘))
2712, 26sumeq12dv 15055 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (1↑((𝑁𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))
2827oveq2d 7151 . 2 (𝜑 → ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (1↑((𝑁𝑘) − 1)))) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
296, 10, 283eqtrd 2837 1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   − cmin 10859  ℕ0cn0 11885  ℤcz 11969  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  ↑cexp 13425  Σcsu 15034 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035 This theorem is referenced by:  lighneallem3  44120
 Copyright terms: Public domain W3C validator