MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwm1geoser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwm1geoser 15761
Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + ๐ดโ†‘1 + ๐ดโ†‘2 +... + ๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pwm1geoser.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
pwm1geoser.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
pwm1geoser (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem pwm1geoser
StepHypRef Expression
1 pwm1geoser.n . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
21nn0zd 12532 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3 1exp 14004 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘) = 1)
42, 3syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘๐‘) = 1)
54eqcomd 2743 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 = (1โ†‘๐‘))
65oveq2d 7378 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (1โ†‘๐‘)))
7 pwm1geoser.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8 1cnd 11157 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
9 pwdif 15760 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (1โ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
101, 7, 8, 9syl3anc 1372 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (1โ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
11 fzoval 13580 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0..^๐‘) = (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
122, 11syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0..^๐‘) = (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
132adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
14 elfzoelz 13579 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1514adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1613, 15zsubcld 12619 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
17 peano2zm 12553 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
18 1exp 14004 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) = 1)
1916, 17, 183syl 18 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) = 1)
2019oveq2d 7378 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1))
217adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
22 elfzonn0 13624 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2322adantl 483 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2421, 23expcld 14058 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2524mulid1d 11179 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
2620, 25eqtrd 2777 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
2712, 26sumeq12dv 15598 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜))
2827oveq2d 7378 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜)))
296, 10, 283eqtrd 2781 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  โ†‘cexp 13974  ฮฃcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  lighneallem3  45873
  Copyright terms: Public domain W3C validator