MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwm1geoser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwm1geoser 15845
Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + ๐ดโ†‘1 + ๐ดโ†‘2 +... + ๐ดโ†‘(๐‘ โˆ’ 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pwm1geoser.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
pwm1geoser.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
pwm1geoser (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘   ๐œ‘,๐‘˜

Proof of Theorem pwm1geoser
StepHypRef Expression
1 pwm1geoser.n . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
21nn0zd 12612 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3 1exp 14086 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘๐‘) = 1)
42, 3syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (1โ†‘๐‘) = 1)
54eqcomd 2731 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 = (1โ†‘๐‘))
65oveq2d 7431 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (1โ†‘๐‘)))
7 pwm1geoser.a . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
8 1cnd 11237 . . 3 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
9 pwdif 15844 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (1โ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
101, 7, 8, 9syl3anc 1368 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ (1โ†‘๐‘)) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))))
11 fzoval 13663 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0..^๐‘) = (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
122, 11syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (0..^๐‘) = (0...(๐‘ โˆ’ 1)))
132adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
14 elfzoelz 13662 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1514adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
1613, 15zsubcld 12699 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค)
17 peano2zm 12633 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
18 1exp 14086 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) = 1)
1916, 17, 183syl 18 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)) = 1)
2019oveq2d 7431 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1))
217adantr 479 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
22 elfzonn0 13707 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2322adantl 480 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2421, 23expcld 14140 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
2524mulridd 11259 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท 1) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
2620, 25eqtrd 2765 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = (๐ดโ†‘๐‘˜))
2712, 26sumeq12dv 15682 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1))) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜))
2827oveq2d 7431 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0..^๐‘)((๐ดโ†‘๐‘˜) ยท (1โ†‘((๐‘ โˆ’ ๐‘˜) โˆ’ 1)))) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜)))
296, 10, 283eqtrd 2769 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘) โˆ’ 1) = ((๐ด โˆ’ 1) ยท ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ดโ†‘๐‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134  0cc0 11136  1c1 11137   ยท cmul 11141   โˆ’ cmin 11472  โ„•0cn0 12500  โ„คcz 12586  ...cfz 13514  ..^cfzo 13657  โ†‘cexp 14056  ฮฃcsu 15662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13005  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-sum 15663
This theorem is referenced by:  lighneallem3  47009
  Copyright terms: Public domain W3C validator