Theorem pwm1geoser 15906

Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwm1geoser.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pwm1geoser.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
pwm1geoser	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwm1geoser

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwm1geoser.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12641	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1exp 14133	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
5	4	eqcomd 2742	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1↑𝑁))
6	5	oveq2d 7448	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴↑𝑁) − (1↑𝑁)))
7		pwm1geoser.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8		1cnd 11257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9		pwdif 15905	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) − (1↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))))
10	1, 7, 8, 9	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − (1↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))))
11		fzoval 13701	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
12	2, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
13	2	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		elfzoelz 13700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
15	14	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
16	13, 15	zsubcld 12729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
17		peano2zm 12662	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
18		1exp 14133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℤ → (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) = 1)
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) = 1)
20	19	oveq2d 7448	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = ((𝐴↑𝑘) · 1))
21	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		elfzonn0 13748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23	22	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24	21, 23	expcld 14187	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
25	24	mulridd 11279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · 1) = (𝐴↑𝑘))
26	20, 25	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = (𝐴↑𝑘))
27	12, 26	sumeq12dv 15743	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))
28	27	oveq2d 7448	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))
29	6, 10, 28	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  0cc0 11156  1c1 11157   · cmul 11161   − cmin 11493  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695  ↑cexp 14103  Σcsu 15723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724

This theorem is referenced by:  lighneallem3  47599