Theorem pwm1geoser 15941

Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwm1geoser.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pwm1geoser.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
pwm1geoser	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwm1geoser

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwm1geoser.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12627	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1exp 14140	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
5	4	eqcomd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1↑𝑁))
6	5	oveq2d 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴↑𝑁) − (1↑𝑁)))
7		pwm1geoser.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8		1cnd 11213	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9		pwdif 15940	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) − (1↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))))
10	1, 7, 8, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − (1↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))))
11		fzoval 13700	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
12	2, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
13	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		elfzoelz 13699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
15	14	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
16	13, 15	zsubcld 12716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
17		peano2zm 12648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
18		1exp 14140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℤ → (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) = 1)
19	16, 17, 18	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) = 1)
20	19	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = ((𝐴↑𝑘) · 1))
21	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		elfzonn0 13748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23	22	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24	21, 23	expcld 14195	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
25	24	mulridd 11237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · 1) = (𝐴↑𝑘))
26	20, 25	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = (𝐴↑𝑘))
27	12, 26	sumeq12dv 15775	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))
28	27	oveq2d 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))
29	6, 10, 28	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  0cc0 11111  1c1 11112   · cmul 11116   − cmin 11452  ℕ₀cn0 12515  ℤcz 12602  ...cfz 13546  ..^cfzo 13694  ↑cexp 14110  Σcsu 15756

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-exp 14111  df-hash 14380  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-clim 15558  df-sum 15757

This theorem is used by:  lighneallem3  48392