![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pwm1geoser | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + ๐ดโ1 + ๐ดโ2 +... + ๐ดโ(๐ โ 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2021.) |
Ref | Expression |
---|---|
pwm1geoser.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
pwm1geoser.n | โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
Ref | Expression |
---|---|
pwm1geoser | โข (๐ โ ((๐ดโ๐) โ 1) = ((๐ด โ 1) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | pwm1geoser.n | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ0) | |
2 | 1 | nn0zd 12588 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ โ โค) |
3 | 1exp 14062 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ (1โ๐) = 1) | |
4 | 2, 3 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (1โ๐) = 1) |
5 | 4 | eqcomd 2732 | . . 3 โข (๐ โ 1 = (1โ๐)) |
6 | 5 | oveq2d 7421 | . 2 โข (๐ โ ((๐ดโ๐) โ 1) = ((๐ดโ๐) โ (1โ๐))) |
7 | pwm1geoser.a | . . 3 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
8 | 1cnd 11213 | . . 3 โข (๐ โ 1 โ โ) | |
9 | pwdif 15820 | . . 3 โข ((๐ โ โ0 โง ๐ด โ โ โง 1 โ โ) โ ((๐ดโ๐) โ (1โ๐)) = ((๐ด โ 1) ยท ฮฃ๐ โ (0..^๐)((๐ดโ๐) ยท (1โ((๐ โ ๐) โ 1))))) | |
10 | 1, 7, 8, 9 | syl3anc 1368 | . 2 โข (๐ โ ((๐ดโ๐) โ (1โ๐)) = ((๐ด โ 1) ยท ฮฃ๐ โ (0..^๐)((๐ดโ๐) ยท (1โ((๐ โ ๐) โ 1))))) |
11 | fzoval 13639 | . . . . 5 โข (๐ โ โค โ (0..^๐) = (0...(๐ โ 1))) | |
12 | 2, 11 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ (0..^๐) = (0...(๐ โ 1))) |
13 | 2 | adantr 480 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โง ๐ โ (0..^๐)) โ ๐ โ โค) |
14 | elfzoelz 13638 | . . . . . . . . 9 โข (๐ โ (0..^๐) โ ๐ โ โค) | |
15 | 14 | adantl 481 | . . . . . . . 8 โข ((๐ โง ๐ โ (0..^๐)) โ ๐ โ โค) |
16 | 13, 15 | zsubcld 12675 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ โ (0..^๐)) โ (๐ โ ๐) โ โค) |
17 | peano2zm 12609 | . . . . . . 7 โข ((๐ โ ๐) โ โค โ ((๐ โ ๐) โ 1) โ โค) | |
18 | 1exp 14062 | . . . . . . 7 โข (((๐ โ ๐) โ 1) โ โค โ (1โ((๐ โ ๐) โ 1)) = 1) | |
19 | 16, 17, 18 | 3syl 18 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ (0..^๐)) โ (1โ((๐ โ ๐) โ 1)) = 1) |
20 | 19 | oveq2d 7421 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ (0..^๐)) โ ((๐ดโ๐) ยท (1โ((๐ โ ๐) โ 1))) = ((๐ดโ๐) ยท 1)) |
21 | 7 | adantr 480 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ โ (0..^๐)) โ ๐ด โ โ) |
22 | elfzonn0 13683 | . . . . . . . 8 โข (๐ โ (0..^๐) โ ๐ โ โ0) | |
23 | 22 | adantl 481 | . . . . . . 7 โข ((๐ โง ๐ โ (0..^๐)) โ ๐ โ โ0) |
24 | 21, 23 | expcld 14116 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ โ (0..^๐)) โ (๐ดโ๐) โ โ) |
25 | 24 | mulridd 11235 | . . . . 5 โข ((๐ โง ๐ โ (0..^๐)) โ ((๐ดโ๐) ยท 1) = (๐ดโ๐)) |
26 | 20, 25 | eqtrd 2766 | . . . 4 โข ((๐ โง ๐ โ (0..^๐)) โ ((๐ดโ๐) ยท (1โ((๐ โ ๐) โ 1))) = (๐ดโ๐)) |
27 | 12, 26 | sumeq12dv 15658 | . . 3 โข (๐ โ ฮฃ๐ โ (0..^๐)((๐ดโ๐) ยท (1โ((๐ โ ๐) โ 1))) = ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐)) |
28 | 27 | oveq2d 7421 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด โ 1) ยท ฮฃ๐ โ (0..^๐)((๐ดโ๐) ยท (1โ((๐ โ ๐) โ 1)))) = ((๐ด โ 1) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐))) |
29 | 6, 10, 28 | 3eqtrd 2770 | 1 โข (๐ โ ((๐ดโ๐) โ 1) = ((๐ด โ 1) ยท ฮฃ๐ โ (0...(๐ โ 1))(๐ดโ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7405 โcc 11110 0cc0 11112 1c1 11113 ยท cmul 11117 โ cmin 11448 โ0cn0 12476 โคcz 12562 ...cfz 13490 ..^cfzo 13633 โcexp 14032 ฮฃcsu 15638 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-er 8705 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-sup 9439 df-oi 9507 df-card 9936 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-n0 12477 df-z 12563 df-uz 12827 df-rp 12981 df-fz 13491 df-fzo 13634 df-seq 13973 df-exp 14033 df-hash 14296 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-clim 15438 df-sum 15639 |
This theorem is referenced by: lighneallem3 46852 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |