MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwm1geoser Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwm1geoser 15084
Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pwm1geoser.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pwm1geoser.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
pwm1geoser (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwm1geoser
StepHypRef Expression
1 pwm1geoser.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
21nn0zd 11898 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3 1exp 13273 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
42, 3syl 17 . . . 4 (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
54eqcomd 2784 . . 3 (𝜑 → 1 = (1↑𝑁))
65oveq2d 6992 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴𝑁) − (1↑𝑁)))
7 pwm1geoser.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
8 1cnd 10434 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9 pwdif 15083 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴𝑁) − (1↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (1↑((𝑁𝑘) − 1)))))
101, 7, 8, 9syl3anc 1351 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − (1↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (1↑((𝑁𝑘) − 1)))))
11 fzoval 12855 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
122, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
132adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14 elfzoelz 12854 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
1514adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
1613, 15zsubcld 11905 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁𝑘) ∈ ℤ)
17 peano2zm 11838 . . . . . . 7 ((𝑁𝑘) ∈ ℤ → ((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ)
18 1exp 13273 . . . . . . 7 (((𝑁𝑘) − 1) ∈ ℤ → (1↑((𝑁𝑘) − 1)) = 1)
1916, 17, 183syl 18 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (1↑((𝑁𝑘) − 1)) = 1)
2019oveq2d 6992 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (1↑((𝑁𝑘) − 1))) = ((𝐴𝑘) · 1))
217adantr 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 elfzonn0 12897 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2322adantl 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2421, 23expcld 13325 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
2524mulid1d 10457 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · 1) = (𝐴𝑘))
2620, 25eqtrd 2814 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (1↑((𝑁𝑘) − 1))) = (𝐴𝑘))
2712, 26sumeq12dv 14923 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (1↑((𝑁𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘))
2827oveq2d 6992 . 2 (𝜑 → ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴𝑘) · (1↑((𝑁𝑘) − 1)))) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
296, 10, 283eqtrd 2818 1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  (class class class)co 6976  cc 10333  0cc0 10335  1c1 10336   · cmul 10340  cmin 10670  0cn0 11707  cz 11793  ...cfz 12708  ..^cfzo 12849  cexp 13244  Σcsu 14903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-inf2 8898  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412  ax-pre-sup 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-se 5367  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-isom 6197  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-sup 8701  df-oi 8769  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-div 11099  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-n0 11708  df-z 11794  df-uz 12059  df-rp 12205  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-seq 13185  df-exp 13245  df-hash 13506  df-cj 14319  df-re 14320  df-im 14321  df-sqrt 14455  df-abs 14456  df-clim 14706  df-sum 14904
This theorem is referenced by:  lighneallem3  43146
  Copyright terms: Public domain W3C validator