Theorem pwm1geoser 16031

Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.) (Proof shortened by AV, 19-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwm1geoser.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pwm1geoser.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
pwm1geoser	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwm1geoser

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwm1geoser.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 12711	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1exp 14227	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
4	2, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
5	4	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1↑𝑁))
6	5	oveq2d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴↑𝑁) − (1↑𝑁)))
7		pwm1geoser.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8		1cnd 11295	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9		pwdif 16030	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) − (1↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))))
10	1, 7, 8, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − (1↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))))
11		fzoval 13787	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
12	2, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
13	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		elfzoelz 13786	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
15	14	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
16	13, 15	zsubcld 12801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
17		peano2zm 12732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
18		1exp 14227	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℤ → (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) = 1)
19	16, 17, 18	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) = 1)
20	19	oveq2d 7434	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = ((𝐴↑𝑘) · 1))
21	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		elfzonn0 13835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23	22	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24	21, 23	expcld 14282	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
25	24	mulridd 11319	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · 1) = (𝐴↑𝑘))
26	20, 25	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = (𝐴↑𝑘))
27	12, 26	sumeq12dv 15865	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))
28	27	oveq2d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))
29	6, 10, 28	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193  1c1 11194   · cmul 11198   − cmin 11534  ℕ₀cn0 12599  ℤcz 12686  ...cfz 13632  ..^cfzo 13781  ↑cexp 14197  Σcsu 15846

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-clim 15648  df-sum 15847

This theorem is used by:  lighneallem3  48661