Theorem gpgusgra 48822

Description: The generalized Petersen graph GPG(N,K) is a simple graph. (Contributed by AV, 27-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpgusgra	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)

Proof of Theorem gpgusgra

Dummy variables 𝑒 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6859	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}
2		f1of1 6819	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} → ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})
3	1, 2	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
6	4, 5	gpgusgralem 48821	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
7		f1ss 6781	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ∧ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2}) → ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
8	3, 6, 7	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
9		eluz3nn 12908	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
10	4, 5	gpgiedg 48809	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}))
11	9, 10	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}))
12	11	dmeqd 5895	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = dom ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}))
13		dmresi 6054	. . . . 5 ⊢ dom ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}) = {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}
14	12, 13	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})
15	4, 5	gpgvtx 48808	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
16	9, 15	sylan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
17	16	pweqd 4579	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)))
18	17	rabeqdv 3431	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → {𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
19	11, 14, 18	f1eq123d 6812	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → ((iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)):dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
20	8, 19	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)):dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
21		ovex 7443	. . 3 ⊢ (𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ V
22		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
23		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
24	22, 23	isusgrs 29506	. . 3 ⊢ ((𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ V → ((𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph ↔ (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)):dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
25	21, 24	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → ((𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph ↔ (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)):dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
26	20, 25	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃wrex 3089  {crab 3416  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562  {cpr 4591  ⟨cop 4595   I cid 5555   × cxp 5659  dom cdm 5661   ↾ cres 5663  –1-1→wf1 6533  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   / cdiv 11866  ℕcn 12228  2c2 12290  3c3 12291  ℤ_≥cuz 12857  ..^cfzo 13678  ⌈cceil 13820   mod cmo 13898  ♯chash 14362  Vtxcvtx 29346  iEdgciedg 29347  USGraphcusgr 29499   gPetersenGr cgpg 48805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-ceil 13822  df-mod 13899  df-hash 14363  df-dvds 16306  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-edgf 29339  df-vtx 29348  df-iedg 29349  df-usgr 29501  df-gpg 48806

This theorem is referenced by:  gpgprismgrusgra  48823  gpgvtxedg0  48828  gpgvtxedg1  48829  gpgnbgrvtx0  48839  gpgnbgrvtx1  48840  gpg5nbgrvtx03star  48845  gpg5nbgr3star  48846  gpgvtxdg3  48847  gpg3kgrtriex  48854  gpg5gricstgr3  48855  pgjsgr  48857  gpg5grlim  48858  gpg5grlic  48859  gpg5ngric  48893