Theorem gpgusgra 48533

Description: The generalized Petersen graph GPG(N,K) is a simple graph. (Contributed by AV, 27-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpgusgra	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)

Proof of Theorem gpgusgra

Dummy variables 𝑒 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6818	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}
2		f1of1 6779	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} → ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})
3	1, 2	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
6	4, 5	gpgusgralem 48532	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
7		f1ss 6741	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ∧ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2}) → ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
8	3, 6, 7	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
9		eluz3nn 12839	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
10	4, 5	gpgiedg 48520	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}))
11	9, 10	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}))
12	11	dmeqd 5860	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = dom ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}))
13		dmresi 6017	. . . . 5 ⊢ dom ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}) = {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}
14	12, 13	eqtrdi 2787	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})
15	4, 5	gpgvtx 48519	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
16	9, 15	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
17	16	pweqd 4558	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)))
18	17	rabeqdv 3404	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → {𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
19	11, 14, 18	f1eq123d 6772	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → ((iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)):dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
20	8, 19	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)):dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
21		ovex 7400	. . 3 ⊢ (𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ V
22		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
23		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
24	22, 23	isusgrs 29225	. . 3 ⊢ ((𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ V → ((𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph ↔ (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)):dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
25	21, 24	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → ((𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph ↔ (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)):dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
26	20, 25	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {crab 3389  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  {cpr 4569  ⟨cop 4573   I cid 5525   × cxp 5629  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  –1-1→wf1 6495  –1-1-onto→wf1o 6497  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   / cdiv 11807  ℕcn 12174  2c2 12236  3c3 12237  ℤ_≥cuz 12788  ..^cfzo 13608  ⌈cceil 13750   mod cmo 13828  ♯chash 14292  Vtxcvtx 29065  iEdgciedg 29066  USGraphcusgr 29218   gPetersenGr cgpg 48516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-ceil 13752  df-mod 13829  df-hash 14293  df-dvds 16222  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-edgf 29058  df-vtx 29067  df-iedg 29068  df-usgr 29220  df-gpg 48517

This theorem is referenced by:  gpgprismgrusgra  48534  gpgvtxedg0  48539  gpgvtxedg1  48540  gpgnbgrvtx0  48550  gpgnbgrvtx1  48551  gpg5nbgrvtx03star  48556  gpg5nbgr3star  48557  gpgvtxdg3  48558  gpg3kgrtriex  48565  gpg5gricstgr3  48566  pgjsgr  48568  gpg5grlim  48569  gpg5grlic  48570  gpg5ngric  48604