Theorem gpgusgra 48855

Description: The generalized Petersen graph GPG(N,K) is a simple graph. (Contributed by AV, 27-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gpgusgra	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)

Proof of Theorem gpgusgra

Dummy variables 𝑒 𝑝 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1oi 6863	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}
2		f1of1 6823	. . . . 5 ⊢ (( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1-onto→{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} → ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})
3	1, 2	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2))) = (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))
5		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0..^𝑁) = (0..^𝑁)
6	4, 5	gpgusgralem 48854	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
7		f1ss 6785	. . . 4 ⊢ ((( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ∧ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})} ⊆ {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2}) → ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
8	3, 6, 7	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
9		eluz3nn 12925	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
10	4, 5	gpgiedg 48842	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}))
11	9, 10	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}))
12	11	dmeqd 5897	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = dom ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}))
13		dmresi 6056	. . . . 5 ⊢ dom ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}) = {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}
14	12, 13	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})})
15	4, 5	gpgvtx 48841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
16	9, 15	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = ({0, 1} × (0..^𝑁)))
17	16	pweqd 4581	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)))
18	17	rabeqdv 3433	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → {𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) ∣ (♯‘𝑝) = 2} = {𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
19	11, 14, 18	f1eq123d 6816	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → ((iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)):dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) ∣ (♯‘𝑝) = 2} ↔ ( I ↾ {𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}):{𝑒 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ ∃𝑥 ∈ (0..^𝑁)(𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨0, ((𝑥 + 1) mod 𝑁)⟩} ∨ 𝑒 = {⟨0, 𝑥⟩, ⟨1, 𝑥⟩} ∨ 𝑒 = {⟨1, 𝑥⟩, ⟨1, ((𝑥 + 𝐾) mod 𝑁)⟩})}–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 ({0, 1} × (0..^𝑁)) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
20	8, 19	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)):dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) ∣ (♯‘𝑝) = 2})
21		ovex 7449	. . 3 ⊢ (𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ V
22		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
23		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) = (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))
24	22, 23	isusgrs 29540	. . 3 ⊢ ((𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ V → ((𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph ↔ (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)):dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
25	21, 24	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → ((𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph ↔ (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)):dom (iEdg‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾))–1-1→{𝑝 ∈ 𝒫 (Vtx‘(𝑁 gPetersenGr 𝐾)) ∣ (♯‘𝑝) = 2}))
26	20, 25	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝐾 ∈ (1..^(⌈‘(𝑁 / 2)))) → (𝑁 gPetersenGr 𝐾) ∈ USGraph)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3091  {crab 3418  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4564  {cpr 4593  ⟨cop 4597   I cid 5557   × cxp 5661  dom cdm 5663   ↾ cres 5665  –1-1→wf1 6537  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   / cdiv 11882  ℕcn 12244  2c2 12306  3c3 12307  ℤ_≥cuz 12874  ..^cfzo 13695  ⌈cceil 13838   mod cmo 13916  ♯chash 14380  Vtxcvtx 29377  iEdgciedg 29378  USGraphcusgr 29533   gPetersenGr cgpg 48838

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-rp 13029  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-ceil 13840  df-mod 13917  df-hash 14381  df-dvds 16329  df-struct 17225  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-edgf 29370  df-vtx 29379  df-iedg 29380  df-usgr 29535  df-gpg 48839

This theorem is used by:  gpgprismgrusgra  48856  gpgvtxedg0  48861  gpgvtxedg1  48862  gpgnbgrvtx0  48872  gpgnbgrvtx1  48873  gpg5nbgrvtx03star  48878  gpg5nbgr3star  48879  gpgvtxdg3  48880  gpg3kgrtriex  48887  gpg5gricstgr3  48888  pgjsgr  48890  gpg5grlim  48891  gpg5grlic  48892  gpg5ngric  48926