Theorem gsummptif1n0 20082

Description: If only one summand in a finite group sum is not zero, the whole sum equals this summand. (Contributed by AV, 17-Feb-2019.) (Proof shortened by AV, 11-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummpt1n0.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gsummpt1n0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gsummpt1n0.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
gsummpt1n0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
gsummpt1n0.f	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
gsummptif1n0.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
gsummptif1n0	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺   𝑛,𝐼   𝑛,𝑋   𝜑,𝑛   0 ,𝑛   𝐴,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem gsummptif1n0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummpt1n0.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
2		gsummpt1n0.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
3		gsummpt1n0.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		gsummpt1n0.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐼)
5		gsummpt1n0.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑛 = 𝑋, 𝐴, 0 ))
6		gsummptif1n0.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
7	6	ralrimivw 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ 𝐼 𝐴 ∈ (Base‘𝐺))
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	gsummpt1n0 20081	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴)
9		csbconstg 3873	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐼 → ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴 = 𝐴)
10	4, 9	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑛⦌𝐴 = 𝐴)
11	8, 10	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg 𝐹) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ⦋csb 3854  ifcif 4489   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  0_gc0g 17516   Σ_g cgsu 17517  Mndcmnd 18826

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fsupp 9329  df-oi 9479  df-card 9941  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-seq 14058  df-hash 14387  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-0g 17518  df-gsum 17519  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-mulg 19180  df-cntz 19433  df-cmn 19898

This theorem is used by:  mhpvarcl  22363  1mavmul  22757  mulmarep1gsum1  22782  mdetdiag  22808  elrgspnlem2  33629  elrgspnlem3  33630  elrspunsn  33803  mplmulmvr  33995  esplyfval1  34029  esplyfvaln  34030