Theorem hpgtr 28845

Description: The half-plane relation is transitive. Theorem 9.13 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgcom.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
hpgcom.1	⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
hpgtr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hpgtr.1	⊢ (𝜑 → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hpgtr	⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hpgtr

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpgcom.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
2		hpgid.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		hpgid.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hpgid.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		hpgid.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
6		hpgid.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		hpgid.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8		hpgid.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		hpgcom.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	hpgbr 28837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)))
11	1, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐))
12		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
13		hpgtr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
14	13	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
15	6	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16	7	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
17	9	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		hpgtr.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
19	18	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
20		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝑐 ∈ 𝑃)
21		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵𝑂𝑐)
22	2, 3, 4, 5, 15, 16, 17, 19, 20, 21	lnopp2hpgb 28840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → (𝐶𝑂𝑐 ↔ 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶))
23	14, 22	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐶𝑂𝑐)
24	12, 23	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐))
25	24	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐) → (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐)))
26	25	reximdva 3150	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐)))
27	11, 26	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐))
28	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18	hpgbr 28837	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐)))
29	27, 28	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3899   class class class wbr 5099  {copab 5161  ran crn 5626  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17141  TarskiGcstrkg 28504  Itvcitv 28510  LineGclng 28511  hpGchpg 28834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-oadd 8404  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-dju 9818  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12407  df-xnn0 12480  df-z 12494  df-uz 12757  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-hash 14259  df-word 14442  df-concat 14499  df-s1 14525  df-s2 14776  df-s3 14777  df-trkgc 28525  df-trkgb 28526  df-trkgcb 28527  df-trkgld 28529  df-trkg 28530  df-cgrg 28588  df-leg 28660  df-hlg 28678  df-mir 28730  df-rag 28771  df-perpg 28773  df-hpg 28835

This theorem is referenced by:  trgcopy  28881  trgcopyeulem  28882  acopyeu  28911