Theorem hpgtr 28752

Description: The half-plane relation is transitive. Theorem 9.13 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgcom.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
hpgcom.1	⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
hpgtr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hpgtr.1	⊢ (𝜑 → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hpgtr	⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hpgtr

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpgcom.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
2		hpgid.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		hpgid.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hpgid.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		hpgid.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
6		hpgid.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		hpgid.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8		hpgid.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		hpgcom.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	hpgbr 28744	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)))
11	1, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐))
12		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
13		hpgtr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
14	13	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
15	6	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16	7	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
17	9	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		hpgtr.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
19	18	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
20		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝑐 ∈ 𝑃)
21		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵𝑂𝑐)
22	2, 3, 4, 5, 15, 16, 17, 19, 20, 21	lnopp2hpgb 28747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → (𝐶𝑂𝑐 ↔ 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶))
23	14, 22	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐶𝑂𝑐)
24	12, 23	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐))
25	24	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐) → (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐)))
26	25	reximdva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐)))
27	11, 26	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐))
28	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18	hpgbr 28744	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐)))
29	27, 28	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3928   class class class wbr 5124  {copab 5186  ran crn 5660  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  TarskiGcstrkg 28411  Itvcitv 28417  LineGclng 28418  hpGchpg 28741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-s1 14619  df-s2 14872  df-s3 14873  df-trkgc 28432  df-trkgb 28433  df-trkgcb 28434  df-trkgld 28436  df-trkg 28437  df-cgrg 28495  df-leg 28567  df-hlg 28585  df-mir 28637  df-rag 28678  df-perpg 28680  df-hpg 28742

This theorem is referenced by:  trgcopy  28788  trgcopyeulem  28789  acopyeu  28818