MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hpgtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hpgtr 26077
Description: The half-plane relation is transitive. Theorem 9.13 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgcom.b (𝜑𝐵𝑃)
hpgcom.1 (𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
hpgtr.c (𝜑𝐶𝑃)
hpgtr.1 (𝜑𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
Assertion
Ref Expression
hpgtr (𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hpgtr
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpgcom.1 . . . 4 (𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
2 hpgid.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 hpgid.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hpgid.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 hpgid.o . . . . 5 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
6 hpgid.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 hpgid.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
8 hpgid.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
9 hpgcom.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9hpgbr 26069 . . . 4 (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)))
111, 10mpbid 224 . . 3 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐))
12 simprl 789 . . . . . 6 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
13 hpgtr.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
1413ad2antrr 719 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
156ad2antrr 719 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
167ad2antrr 719 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
179ad2antrr 719 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵𝑃)
18 hpgtr.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑃)
1918ad2antrr 719 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝐶𝑃)
20 simplr 787 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝑐𝑃)
21 simprr 791 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵𝑂𝑐)
222, 3, 4, 5, 15, 16, 17, 19, 20, 21lnopp2hpgb 26072 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → (𝐶𝑂𝑐𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶))
2314, 22mpbird 249 . . . . . 6 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝐶𝑂𝑐)
2412, 23jca 509 . . . . 5 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐𝐶𝑂𝑐))
2524ex 403 . . . 4 ((𝜑𝑐𝑃) → ((𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐) → (𝐴𝑂𝑐𝐶𝑂𝑐)))
2625reximdva 3225 . . 3 (𝜑 → (∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐) → ∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐶𝑂𝑐)))
2711, 26mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐶𝑂𝑐))
282, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18hpgbr 26069 . 2 (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶 ↔ ∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐶𝑂𝑐)))
2927, 28mpbird 249 1 (𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wrex 3118  cdif 3795   class class class wbr 4873  {copab 4935  ran crn 5343  cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  TarskiGcstrkg 25742  Itvcitv 25748  LineGclng 25749  hpGchpg 26066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-pm 8125  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-cda 9305  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575  df-concat 13631  df-s1 13656  df-s2 13969  df-s3 13970  df-trkgc 25760  df-trkgb 25761  df-trkgcb 25762  df-trkgld 25764  df-trkg 25765  df-cgrg 25823  df-leg 25895  df-hlg 25913  df-mir 25965  df-rag 26006  df-perpg 26008  df-hpg 26067
This theorem is referenced by:  trgcopy  26113  trgcopyeulem  26114  acopyeu  26143
  Copyright terms: Public domain W3C validator