MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hpgtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hpgtr 27807
Description: The half-plane relation is transitive. Theorem 9.13 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
hpgid.i 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
hpgid.l 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
hpgid.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
hpgcom.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
hpgcom.1 (πœ‘ β†’ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡)
hpgtr.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
hpgtr.1 (πœ‘ β†’ 𝐡((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐢)
Assertion
Ref Expression
hpgtr (πœ‘ β†’ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐢)
Distinct variable groups:   𝑑,𝐴   𝑑,𝐡   𝐷,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐺,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐼,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝑂,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝑃,π‘Ž,𝑏,𝑑   πœ‘,𝑑   𝐢,π‘Ž,𝑏,𝑑   𝐿,π‘Ž,𝑏,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘Ž,𝑏)   𝐴(π‘Ž,𝑏)   𝐡(π‘Ž,𝑏)

Proof of Theorem hpgtr
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpgcom.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡)
2 hpgid.p . . . . 5 𝑃 = (Baseβ€˜πΊ)
3 hpgid.i . . . . 5 𝐼 = (Itvβ€˜πΊ)
4 hpgid.l . . . . 5 𝐿 = (LineGβ€˜πΊ)
5 hpgid.o . . . . 5 𝑂 = {βŸ¨π‘Ž, π‘βŸ© ∣ ((π‘Ž ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 βˆ– 𝐷)) ∧ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝐷 𝑑 ∈ (π‘ŽπΌπ‘))}
6 hpgid.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
7 hpgid.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8 hpgid.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑃)
9 hpgcom.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9hpgbr 27799 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐡 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐡𝑂𝑐)))
111, 10mpbid 231 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐡𝑂𝑐))
12 simprl 769 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐡𝑂𝑐)) β†’ 𝐴𝑂𝑐)
13 hpgtr.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐢)
1413ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐡𝑂𝑐)) β†’ 𝐡((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐢)
156ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐡𝑂𝑐)) β†’ 𝐺 ∈ TarskiG)
167ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐡𝑂𝑐)) β†’ 𝐷 ∈ ran 𝐿)
179ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐡𝑂𝑐)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑃)
18 hpgtr.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
1918ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐡𝑂𝑐)) β†’ 𝐢 ∈ 𝑃)
20 simplr 767 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐡𝑂𝑐)) β†’ 𝑐 ∈ 𝑃)
21 simprr 771 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐡𝑂𝑐)) β†’ 𝐡𝑂𝑐)
222, 3, 4, 5, 15, 16, 17, 19, 20, 21lnopp2hpgb 27802 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐡𝑂𝑐)) β†’ (𝐢𝑂𝑐 ↔ 𝐡((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐢))
2314, 22mpbird 256 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐡𝑂𝑐)) β†’ 𝐢𝑂𝑐)
2412, 23jca 512 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐡𝑂𝑐)) β†’ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐢𝑂𝑐))
2524ex 413 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐡𝑂𝑐) β†’ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐢𝑂𝑐)))
2625reximdva 3167 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐡𝑂𝑐) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐢𝑂𝑐)))
2711, 26mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐢𝑂𝑐))
282, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18hpgbr 27799 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐢 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐢𝑂𝑐)))
2927, 28mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ 𝐴((hpGβ€˜πΊ)β€˜π·)𝐢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3069   βˆ– cdif 3925   class class class wbr 5125  {copab 5187  ran crn 5654  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  TarskiGcstrkg 27466  Itvcitv 27472  LineGclng 27473  hpGchpg 27796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-oadd 8436  df-er 8670  df-map 8789  df-pm 8790  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-n0 12438  df-xnn0 12510  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-fzo 13593  df-hash 14256  df-word 14430  df-concat 14486  df-s1 14511  df-s2 14764  df-s3 14765  df-trkgc 27487  df-trkgb 27488  df-trkgcb 27489  df-trkgld 27491  df-trkg 27492  df-cgrg 27550  df-leg 27622  df-hlg 27640  df-mir 27692  df-rag 27733  df-perpg 27735  df-hpg 27797
This theorem is referenced by:  trgcopy  27843  trgcopyeulem  27844  acopyeu  27873
  Copyright terms: Public domain W3C validator