Theorem hpgtr 28836

Description: The half-plane relation is transitive. Theorem 9.13 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgcom.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
hpgcom.1	⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
hpgtr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hpgtr.1	⊢ (𝜑 → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hpgtr	⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hpgtr

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpgcom.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
2		hpgid.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		hpgid.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hpgid.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		hpgid.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
6		hpgid.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		hpgid.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8		hpgid.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		hpgcom.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	hpgbr 28828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)))
11	1, 10	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐))
12		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
13		hpgtr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
14	13	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
15	6	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16	7	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
17	9	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		hpgtr.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
19	18	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
20		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝑐 ∈ 𝑃)
21		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵𝑂𝑐)
22	2, 3, 4, 5, 15, 16, 17, 19, 20, 21	lnopp2hpgb 28831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → (𝐶𝑂𝑐 ↔ 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶))
23	14, 22	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐶𝑂𝑐)
24	12, 23	jca 511	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐))
25	24	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐) → (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐)))
26	25	reximdva 3151	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐)))
27	11, 26	mpd 15	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐))
28	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18	hpgbr 28828	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐)))
29	27, 28	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887   class class class wbr 5086  {copab 5148  ran crn 5632  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  TarskiGcstrkg 28495  Itvcitv 28501  LineGclng 28502  hpGchpg 28825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-s2 14810  df-s3 14811  df-trkgc 28516  df-trkgb 28517  df-trkgcb 28518  df-trkgld 28520  df-trkg 28521  df-cgrg 28579  df-leg 28651  df-hlg 28669  df-mir 28721  df-rag 28762  df-perpg 28764  df-hpg 28826

This theorem is referenced by:  trgcopy  28872  trgcopyeulem  28873  acopyeu  28902