Theorem hpgtr 29179

Description: The half-plane relation is transitive. Theorem 9.13 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hpgid.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
hpgid.o	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgcom.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
hpgcom.1	⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
hpgtr.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
hpgtr.1	⊢ (𝜑 → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Assertion

Ref	Expression
hpgtr	⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝐴(𝑎, 𝑏)   𝐵(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem hpgtr

Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hpgcom.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
2		hpgid.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		hpgid.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		hpgid.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5		hpgid.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ 𝐷)) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
6		hpgid.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		hpgid.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
8		hpgid.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
9		hpgcom.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	hpgbr 29171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)))
11	1, 10	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐))
12		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
13		hpgtr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
14	13	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
15	6	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
16	7	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
17	9	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
18		hpgtr.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
20		simplr 781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝑐 ∈ 𝑃)
21		simprr 785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵𝑂𝑐)
22	2, 3, 4, 5, 15, 16, 17, 19, 20, 21	lnopp2hpgb 29174	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → (𝐶𝑂𝑐 ↔ 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶))
23	14, 22	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → 𝐶𝑂𝑐)
24	12, 23	jca 521	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐))
25	24	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → ((𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐) → (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐)))
26	25	reximdva 3175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐵𝑂𝑐) → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐)))
27	11, 26	mpd 16	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐))
28	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18	hpgbr 29171	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶 ↔ ∃𝑐 ∈ 𝑃 (𝐴𝑂𝑐 ∧ 𝐶𝑂𝑐)))
29	27, 28	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3895   class class class wbr 5102  {copab 5166  ran crn 5648  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17348  TarskiGcstrkg 28822  Itvcitv 28828  LineGclng 28829  hpGchpg 29168

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-hash 14442  df-word 14626  df-concat 14683  df-s1 14710  df-s2 14966  df-s3 14967  df-trkgc 28843  df-trkgb 28844  df-trkgcb 28845  df-trkgld 28847  df-trkg 28848  df-cgrg 28907  df-leg 28979  df-hlg 28997  df-mir 29058  df-rag 29102  df-perpg 29104  df-hpg 29169

This theorem is used by:  plngcplem  29196  trgcopy  29244  trgcopyeulem  29245  acopyeu  29275  prlngmolem1  29363