MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hpgtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hpgtr 28791
Description: The half-plane relation is transitive. Theorem 9.13 of [Schwabhauser] p. 72. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpgid.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
hpgid.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
hpgid.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
hpgid.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
hpgid.d (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
hpgid.a (𝜑𝐴𝑃)
hpgid.o 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
hpgcom.b (𝜑𝐵𝑃)
hpgcom.1 (𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
hpgtr.c (𝜑𝐶𝑃)
hpgtr.1 (𝜑𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
Assertion
Ref Expression
hpgtr (𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐴   𝑡,𝐵   𝐷,𝑎,𝑏,𝑡   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡   𝐶,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐴(𝑎,𝑏)   𝐵(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hpgtr
Dummy variable 𝑐 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hpgcom.1 . . . 4 (𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵)
2 hpgid.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 hpgid.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 hpgid.l . . . . 5 𝐿 = (LineG‘𝐺)
5 hpgid.o . . . . 5 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃𝐷) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃𝐷)) ∧ ∃𝑡𝐷 𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
6 hpgid.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
7 hpgid.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ran 𝐿)
8 hpgid.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
9 hpgcom.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9hpgbr 28783 . . . 4 (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐵 ↔ ∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)))
111, 10mpbid 232 . . 3 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐))
12 simprl 771 . . . . . 6 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝐴𝑂𝑐)
13 hpgtr.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
1413ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
156ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
167ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝐷 ∈ ran 𝐿)
179ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵𝑃)
18 hpgtr.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑃)
1918ad2antrr 726 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝐶𝑃)
20 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝑐𝑃)
21 simprr 773 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝐵𝑂𝑐)
222, 3, 4, 5, 15, 16, 17, 19, 20, 21lnopp2hpgb 28786 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → (𝐶𝑂𝑐𝐵((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶))
2314, 22mpbird 257 . . . . . 6 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → 𝐶𝑂𝑐)
2412, 23jca 511 . . . . 5 (((𝜑𝑐𝑃) ∧ (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐)) → (𝐴𝑂𝑐𝐶𝑂𝑐))
2524ex 412 . . . 4 ((𝜑𝑐𝑃) → ((𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐) → (𝐴𝑂𝑐𝐶𝑂𝑐)))
2625reximdva 3166 . . 3 (𝜑 → (∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐵𝑂𝑐) → ∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐶𝑂𝑐)))
2711, 26mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐶𝑂𝑐))
282, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 18hpgbr 28783 . 2 (𝜑 → (𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶 ↔ ∃𝑐𝑃 (𝐴𝑂𝑐𝐶𝑂𝑐)))
2927, 28mpbird 257 1 (𝜑𝐴((hpG‘𝐺)‘𝐷)𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  cdif 3960   class class class wbr 5148  {copab 5210  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  TarskiGcstrkg 28450  Itvcitv 28456  LineGclng 28457  hpGchpg 28780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28471  df-trkgb 28472  df-trkgcb 28473  df-trkgld 28475  df-trkg 28476  df-cgrg 28534  df-leg 28606  df-hlg 28624  df-mir 28676  df-rag 28717  df-perpg 28719  df-hpg 28781
This theorem is referenced by:  trgcopy  28827  trgcopyeulem  28828  acopyeu  28857
  Copyright terms: Public domain W3C validator