Theorem iinhoiicc 47505

Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunhoiicc.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
iunhoiicc.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiicc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iinhoiicc	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iinhoiicc

Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
2	1	oveq2d 7430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + (1 / 𝑚)))
3	2	oveq2d 7430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
4	3	ixpeq2dv 8923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
5	4	cbviinv 4998	. . . . . . 7 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
6	5	eleq2i 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
7	6	bilani 510	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
8		iunhoiicc.k	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
9		nfcv 2922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑓
10		nfcv 2922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘ℕ
11		nfixp1 8928	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
12	10, 11	nfiin 4983	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
13	9, 12	nfel 2936	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
14	8, 13	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
15		iunhoiicc.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		iunhoiicc.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
19	6	bilanri 512	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
20	14, 16, 18, 19	iinhoiicclem 47504	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
21	7, 20	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
22	21	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
23		dfss3 3920	. . 3 ⊢ (∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ↔ ∀𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
24	22, 23	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
25		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ ℕ
26	8, 25	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
27	15	rexrd 11286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28	27	adantlr 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
29	17	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
30		nnrp 13057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
31	30	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑛 ∈ ℝ+)
32	31	rpreccld 13099	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
33	32	rpred 13089	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
34	29, 33	readdcld 11265	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
35	34	rexrd 11286	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
36	15	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	36	leidd 11807	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≤ 𝐴)
38	29, 32	ltaddrpd 13122	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
39		iccssico 13474	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
40	28, 35, 37, 38, 39	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
41	26, 40	ixpssixp 45927	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
42	41	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
43		ssiin 5014	. . 3 ⊢ (X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
44	42, 43	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
45	24, 44	eqssd 3948	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899  ∩ ciin 4952   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  Xcixp 8907  ℝcr 11126  1c1 11128   + caddc 11130  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271   / cdiv 11898  ℕcn 12260  ℝ⁺crp 13045  [,)cico 13403  [,]cicc 13404

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-ico 13407  df-icc 13408  df-fl 13856

This theorem is used by:  vonicclem2  47515