Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iinhoiicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinhoiicc 45377
Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunhoiicc.k 𝑘𝜑
iunhoiicc.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiicc.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iinhoiicc (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iinhoiicc
Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
21oveq2d 7422 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + (1 / 𝑚)))
32oveq2d 7422 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
43ixpeq2dv 8904 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
54cbviinv 5044 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
65eleq2i 2826 . . . . . . 7 (𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ 𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
76biimpi 215 . . . . . 6 (𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
87adantl 483 . . . . 5 ((𝜑𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
9 iunhoiicc.k . . . . . . 7 𝑘𝜑
10 nfcv 2904 . . . . . . . 8 𝑘𝑓
11 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑘
12 nfixp1 8909 . . . . . . . . 9 𝑘X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
1311, 12nfiin 5028 . . . . . . . 8 𝑘 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
1410, 13nfel 2918 . . . . . . 7 𝑘 𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
159, 14nfan 1903 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
16 iunhoiicc.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1716adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
18 iunhoiicc.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
1918adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
206biimpri 227 . . . . . . 7 (𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))) → 𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
2120adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) → 𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
2215, 17, 19, 21iinhoiicclem 45376 . . . . 5 ((𝜑𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) → 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
238, 22syldan 592 . . . 4 ((𝜑𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
2423ralrimiva 3147 . . 3 (𝜑 → ∀𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑓X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
25 dfss3 3970 . . 3 ( 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ↔ ∀𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑓X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
2624, 25sylibr 233 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
27 nfv 1918 . . . . . 6 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
289, 27nfan 1903 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑛 ∈ ℕ)
2916rexrd 11261 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3029adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3118adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
32 nnrp 12982 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑛 ∈ ℝ+)
3433rpreccld 13023 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3534rpred 13013 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3631, 35readdcld 11240 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3736rexrd 11261 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
3816adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
3938leidd 11777 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴𝐴)
4031, 34ltaddrpd 13046 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
41 iccssico 13393 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4230, 37, 39, 40, 41syl22anc 838 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4328, 42ixpssixp 43767 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4443ralrimiva 3147 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
45 ssiin 5058 . . 3 (X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4644, 45sylibr 233 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4726, 46eqssd 3999 1 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wral 3062  wss 3948   ciin 4998   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  Xcixp 8888  cr 11106  1c1 11108   + caddc 11110  *cxr 11244   < clt 11245  cle 11246   / cdiv 11868  cn 12209  +crp 12971  [,)cico 13323  [,]cicc 13324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fl 13754
This theorem is referenced by:  vonicclem2  45387
  Copyright terms: Public domain W3C validator