Theorem iinhoiicc 44248

Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunhoiicc.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
iunhoiicc.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiicc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iinhoiicc	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iinhoiicc

Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
2	1	oveq2d 7311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + (1 / 𝑚)))
3	2	oveq2d 7311	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
4	3	ixpeq2dv 8721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
5	4	cbviinv 4974	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
6	5	eleq2i 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
7	6	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
9		iunhoiicc.k	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
10		nfcv 2902	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑓
11		nfcv 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘ℕ
12		nfixp1 8726	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
13	11, 12	nfiin 4958	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
14	10, 13	nfel 2916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
15	9, 14	nfan 1898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
16		iunhoiicc.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
18		iunhoiicc.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
19	18	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	6	biimpri 227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
21	20	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
22	15, 17, 19, 21	iinhoiicclem 44247	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
23	8, 22	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
24	23	ralrimiva 3137	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
25		dfss3 3911	. . 3 ⊢ (∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ↔ ∀𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
26	24, 25	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
27		nfv 1913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ ℕ
28	9, 27	nfan 1898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
29	16	rexrd 11053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
30	29	adantlr 711	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
31	18	adantlr 711	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
32		nnrp 12769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
33	32	ad2antlr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑛 ∈ ℝ+)
34	33	rpreccld 12810	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
35	34	rpred 12800	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
36	31, 35	readdcld 11032	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11053	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
38	16	adantlr 711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	38	leidd 11569	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≤ 𝐴)
40	31, 34	ltaddrpd 12833	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
41		iccssico 13179	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
42	30, 37, 39, 40, 41	syl22anc 835	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
43	28, 42	ixpssixp 42666	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
44	43	ralrimiva 3137	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
45		ssiin 4988	. . 3 ⊢ (X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
46	44, 45	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
47	26, 46	eqssd 3940	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2101  ∀wral 3059   ⊆ wss 3889  ∩ ciin 4928   class class class wbr 5077  (class class class)co 7295  Xcixp 8705  ℝcr 10898  1c1 10900   + caddc 10902  ℝ^*cxr 11036   < clt 11037   ≤ cle 11038   / cdiv 11660  ℕcn 12001  ℝ⁺crp 12758  [,)cico 13109  [,]cicc 13110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-iin 4930  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-er 8518  df-ixp 8706  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-sup 9229  df-inf 9230  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-q 12717  df-rp 12759  df-ico 13113  df-icc 13114  df-fl 13540

This theorem is referenced by:  vonicclem2  44258