Theorem iinhoiicc 45377

Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunhoiicc.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
iunhoiicc.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiicc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iinhoiicc	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iinhoiicc

Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
2	1	oveq2d 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + (1 / 𝑚)))
3	2	oveq2d 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
4	3	ixpeq2dv 8904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
5	4	cbviinv 5044	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
6	5	eleq2i 2826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
7	6	biimpi 215	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
8	7	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
9		iunhoiicc.k	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
10		nfcv 2904	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑓
11		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘ℕ
12		nfixp1 8909	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
13	11, 12	nfiin 5028	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
14	10, 13	nfel 2918	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
15	9, 14	nfan 1903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
16		iunhoiicc.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
18		iunhoiicc.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
19	18	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	6	biimpri 227	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
21	20	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
22	15, 17, 19, 21	iinhoiicclem 45376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
23	8, 22	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
24	23	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
25		dfss3 3970	. . 3 ⊢ (∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ↔ ∀𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
26	24, 25	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
27		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ ℕ
28	9, 27	nfan 1903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
29	16	rexrd 11261	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
30	29	adantlr 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
31	18	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
32		nnrp 12982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
33	32	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑛 ∈ ℝ+)
34	33	rpreccld 13023	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
35	34	rpred 13013	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
36	31, 35	readdcld 11240	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
37	36	rexrd 11261	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
38	16	adantlr 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
39	38	leidd 11777	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≤ 𝐴)
40	31, 34	ltaddrpd 13046	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
41		iccssico 13393	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
42	30, 37, 39, 40, 41	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
43	28, 42	ixpssixp 43767	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
44	43	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
45		ssiin 5058	. . 3 ⊢ (X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
46	44, 45	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
47	26, 46	eqssd 3999	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  Ⅎwnf 1786   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ⊆ wss 3948  ∩ ciin 4998   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  Xcixp 8888  ℝcr 11106  1c1 11108   + caddc 11110  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245   ≤ cle 11246   / cdiv 11868  ℕcn 12209  ℝ⁺crp 12971  [,)cico 13323  [,]cicc 13324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fl 13754

This theorem is referenced by:  vonicclem2  45387