Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iinhoiicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinhoiicc 45688
Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunhoiicc.k 𝑘𝜑
iunhoiicc.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiicc.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iinhoiicc (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iinhoiicc
Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
21oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + (1 / 𝑚)))
32oveq2d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
43ixpeq2dv 8909 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
54cbviinv 5043 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
65eleq2i 2823 . . . . . . 7 (𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ 𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
76biimpi 215 . . . . . 6 (𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
87adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
9 iunhoiicc.k . . . . . . 7 𝑘𝜑
10 nfcv 2901 . . . . . . . 8 𝑘𝑓
11 nfcv 2901 . . . . . . . . 9 𝑘
12 nfixp1 8914 . . . . . . . . 9 𝑘X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
1311, 12nfiin 5027 . . . . . . . 8 𝑘 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
1410, 13nfel 2915 . . . . . . 7 𝑘 𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
159, 14nfan 1900 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
16 iunhoiicc.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1716adantlr 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
18 iunhoiicc.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
1918adantlr 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
206biimpri 227 . . . . . . 7 (𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))) → 𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
2120adantl 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) → 𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
2215, 17, 19, 21iinhoiicclem 45687 . . . . 5 ((𝜑𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) → 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
238, 22syldan 589 . . . 4 ((𝜑𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
2423ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑓X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
25 dfss3 3969 . . 3 ( 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ↔ ∀𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑓X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
2624, 25sylibr 233 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
27 nfv 1915 . . . . . 6 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
289, 27nfan 1900 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑛 ∈ ℕ)
2916rexrd 11268 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3029adantlr 711 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3118adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
32 nnrp 12989 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
3332ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑛 ∈ ℝ+)
3433rpreccld 13030 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3534rpred 13020 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3631, 35readdcld 11247 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3736rexrd 11268 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
3816adantlr 711 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
3938leidd 11784 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴𝐴)
4031, 34ltaddrpd 13053 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
41 iccssico 13400 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4230, 37, 39, 40, 41syl22anc 835 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4328, 42ixpssixp 44082 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4443ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
45 ssiin 5057 . . 3 (X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4644, 45sylibr 233 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4726, 46eqssd 3998 1 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wnf 1783  wcel 2104  wral 3059  wss 3947   ciin 4997   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  Xcixp 8893  cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115  *cxr 11251   < clt 11252  cle 11253   / cdiv 11875  cn 12216  +crp 12978  [,)cico 13330  [,]cicc 13331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fl 13761
This theorem is referenced by:  vonicclem2  45698
  Copyright terms: Public domain W3C validator