Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iinhoiicc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iinhoiicc 43308
 Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunhoiicc.k 𝑘𝜑
iunhoiicc.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiicc.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iinhoiicc (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iinhoiicc
Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7143 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
21oveq2d 7151 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + (1 / 𝑚)))
32oveq2d 7151 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
43ixpeq2dv 8460 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
54cbviinv 4928 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
65eleq2i 2881 . . . . . . 7 (𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ 𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
76biimpi 219 . . . . . 6 (𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
87adantl 485 . . . . 5 ((𝜑𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
9 iunhoiicc.k . . . . . . 7 𝑘𝜑
10 nfcv 2955 . . . . . . . 8 𝑘𝑓
11 nfcv 2955 . . . . . . . . 9 𝑘
12 nfixp1 8465 . . . . . . . . 9 𝑘X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
1311, 12nfiin 4912 . . . . . . . 8 𝑘 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
1410, 13nfel 2969 . . . . . . 7 𝑘 𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
159, 14nfan 1900 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
16 iunhoiicc.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1716adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
18 iunhoiicc.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
1918adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
206biimpri 231 . . . . . . 7 (𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))) → 𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
2120adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) → 𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
2215, 17, 19, 21iinhoiicclem 43307 . . . . 5 ((𝜑𝑓 𝑚 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) → 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
238, 22syldan 594 . . . 4 ((𝜑𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
2423ralrimiva 3149 . . 3 (𝜑 → ∀𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑓X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
25 dfss3 3903 . . 3 ( 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ↔ ∀𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑓X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
2624, 25sylibr 237 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
27 nfv 1915 . . . . . 6 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
289, 27nfan 1900 . . . . 5 𝑘(𝜑𝑛 ∈ ℕ)
2916rexrd 10680 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3029adantlr 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3118adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
32 nnrp 12388 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
3332ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑛 ∈ ℝ+)
3433rpreccld 12429 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
3534rpred 12419 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
3631, 35readdcld 10659 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
3736rexrd 10680 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
3816adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
3938leidd 11195 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴𝐴)
4031, 34ltaddrpd 12452 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
41 iccssico 12797 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4230, 37, 39, 40, 41syl22anc 837 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4328, 42ixpssixp 41723 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4443ralrimiva 3149 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
45 ssiin 4942 . . 3 (X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4644, 45sylibr 237 . 2 (𝜑X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4726, 46eqssd 3932 1 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘𝑋 (𝐴[,]𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881  ∩ ciin 4882   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  Xcixp 8444  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529  ℝ*cxr 10663   < clt 10664   ≤ cle 10665   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℝ+crp 12377  [,)cico 12728  [,]cicc 12729 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fl 13157 This theorem is referenced by:  vonicclem2  43318
 Copyright terms: Public domain W3C validator