Theorem iinhoiicc 47280

Description: A n-dimensional closed interval expressed as the indexed intersection of half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunhoiicc.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
iunhoiicc.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiicc.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
iinhoiicc	⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iinhoiicc

Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
2	1	oveq2d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + (1 / 𝑚)))
3	2	oveq2d 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
4	3	ixpeq2dv 8911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
5	4	cbviinv 5008	. . . . . . 7 ⊢ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
6	5	eleq2i 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
7	6	bilani 509	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
8		iunhoiicc.k	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
9		nfcv 2931	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝑓
10		nfcv 2931	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘ℕ
11		nfixp1 8916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
12	10, 11	nfiin 4993	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
13	9, 12	nfel 2945	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))
14	8, 13	nfan 1926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚))))
15		iunhoiicc.a	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
16	15	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
17		iunhoiicc.b	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	17	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
19	6	bilanri 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) → 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
20	14, 16, 18, 19	iinhoiicclem 47279	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑚 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑚)))) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
21	7, 20	syldan 602	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
22	21	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
23		dfss3 3934	. . 3 ⊢ (∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ↔ ∀𝑓 ∈ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
24	22, 23	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))
25		nfv 1941	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ ℕ
26	8, 25	nfan 1926	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
27	15	rexrd 11259	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
28	27	adantlr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
29	17	adantlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ)
30		nnrp 13028	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
31	30	ad2antlr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑛 ∈ ℝ+)
32	31	rpreccld 13070	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
33	32	rpred 13060	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
34	29, 33	readdcld 11238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
35	34	rexrd 11259	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
36	15	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
37	36	leidd 11780	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ≤ 𝐴)
38	29, 32	ltaddrpd 13093	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
39		iccssico 13445	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≤ 𝐴 ∧ 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
40	28, 35, 37, 38, 39	syl22anc 851	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
41	26, 40	ixpssixp 45702	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
42	41	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
43		ssiin 5024	. . 3 ⊢ (X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
44	42, 43	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
45	24, 44	eqssd 3962	1 ⊢ (𝜑 → ∩ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567  Ⅎwnf 1810   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ⊆ wss 3913  ∩ ciin 4961   class class class wbr 5113  (class class class)co 7411  Xcixp 8895  ℝcr 11099  1c1 11101   + caddc 11103  ℝ^*cxr 11242   < clt 11243   ≤ cle 11244   / cdiv 11871  ℕcn 12233  ℝ⁺crp 13016  [,)cico 13374  [,]cicc 13375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fl 13825

This theorem is referenced by:  vonicclem2  47290