Theorem setsxms 24458

Description: The constructed metric space is a metric space iff the provided distance function is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
setsxms	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))

Proof of Theorem setsxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsms.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
2		setsms.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
3		setsms.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
4		setsms.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	setsmstopn 24457	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
6	1, 2, 3	setsmsds 24455	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
7	1, 2, 3	setsmsbas 24454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝐾))
8	7	sqxpeqd 5658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑋) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
9	6, 8	reseq12d 5941	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
10	2, 9	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
11	10	fveq2d 6840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
12	5, 11	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
16	13, 14, 15	isxms2 24427	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) ∧ (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))))
17	16	rbaib 538	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾))))
18	12, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾))))
19	7	fveq2d 6840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∞Met‘𝑋) = (∞Met‘(Base‘𝐾)))
20	10, 19	eleq12d 2831	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾))))
21	18, 20	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4574   × cxp 5624   ↾ cres 5628  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   sSet csts 17128  ndxcnx 17158  Basecbs 17174  TopSetcts 17221  distcds 17224  TopOpenctopn 17379  ∞Metcxmet 21333  MetOpencmopn 21338  ∞MetSpcxms 24296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-sup 9350  df-inf 9351  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-tset 17234  df-ds 17237  df-rest 17380  df-topn 17381  df-topgen 17401  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-top 22873  df-topon 22890  df-topsp 22912  df-bases 22925  df-xms 24299

This theorem is referenced by:  setsms  24459