Theorem setsxms 24348

Description: The constructed metric space is a metric space iff the provided distance function is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
setsxms	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))

Proof of Theorem setsxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsms.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
2		setsms.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
3		setsms.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
4		setsms.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	setsmstopn 24347	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
6	1, 2, 3	setsmsds 24345	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
7	1, 2, 3	setsmsbas 24344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝐾))
8	7	sqxpeqd 5645	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑋) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
9	6, 8	reseq12d 5925	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
10	2, 9	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
11	10	fveq2d 6820	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
12	5, 11	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
13		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
14		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
16	13, 14, 15	isxms2 24317	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) ∧ (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))))
17	16	rbaib 538	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾))))
18	12, 17	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾))))
19	7	fveq2d 6820	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∞Met‘𝑋) = (∞Met‘(Base‘𝐾)))
20	10, 19	eleq12d 2822	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾))))
21	18, 20	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4579   × cxp 5611   ↾ cres 5615  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340   sSet csts 17061  ndxcnx 17091  Basecbs 17107  TopSetcts 17154  distcds 17157  TopOpenctopn 17312  ∞Metcxmet 21230  MetOpencmopn 21235  ∞MetSpcxms 24186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-map 8746  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-sup 9320  df-inf 9321  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-q 12838  df-rp 12882  df-xneg 13002  df-xadd 13003  df-xmul 13004  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-tset 17167  df-ds 17170  df-rest 17313  df-topn 17314  df-topgen 17334  df-psmet 21237  df-xmet 21238  df-bl 21240  df-mopn 21241  df-top 22763  df-topon 22780  df-topsp 22802  df-bases 22815  df-xms 24189

This theorem is referenced by:  setsms  24349