Theorem setsxms 24645

Description: The constructed metric space is a metric space iff the provided distance function is a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
setsms.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
setsms.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
setsms.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
setsxms	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))

Proof of Theorem setsxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsms.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝑀))
2		setsms.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
3		setsms.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑀 sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘𝐷)⟩))
4		setsms.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑉)
5	1, 2, 3, 4	setsmstopn 24644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (TopOpen‘𝐾))
6	1, 2, 3	setsmsds 24642	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑀) = (dist‘𝐾))
7	1, 2, 3	setsmsbas 24641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘𝐾))
8	7	sqxpeqd 5693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑋) = ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
9	6, 8	reseq12d 5979	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑀) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
10	2, 9	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))
11	10	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
12	5, 11	eqtr3d 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))))
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
14		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
15		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
16	13, 14, 15	isxms2 24614	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ (((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾)) ∧ (TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))))))
17	16	rbaib 547	. . 3 ⊢ ((TopOpen‘𝐾) = (MetOpen‘((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))) → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾))))
18	12, 17	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾))))
19	7	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∞Met‘𝑋) = (∞Met‘(Base‘𝐾)))
20	10, 19	eleq12d 2857	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ↔ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (∞Met‘(Base‘𝐾))))
21	18, 20	bitr4d 285	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ ∞MetSp ↔ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ⟨cop 4595   × cxp 5659   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   sSet csts 17227  ndxcnx 17257  Basecbs 17273  TopSetcts 17320  distcds 17323  TopOpenctopn 17478  ∞Metcxmet 21516  MetOpencmopn 21521  ∞MetSpcxms 24483

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-tset 17333  df-ds 17336  df-rest 17479  df-topn 17480  df-topgen 17500  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-xms 24486

This theorem is used by:  setsms  24646