Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intlidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intlidl 32798
Description: The intersection of a nonempty collection of ideals is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
intlidl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ∩ 𝐢 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))

Proof of Theorem intlidl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑖 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…))
21sselda 3982 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
3 eqid 2732 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 eqid 2732 . . . . . . 7 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
53, 4lidlss 20978 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝑖 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
62, 5syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑖 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
76ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 𝑖 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
8 pwssb 5104 . . . 4 (𝐢 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 𝑖 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
97, 8sylibr 233 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘…))
10 simp2 1137 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝐢 β‰  βˆ…)
11 intss2 5111 . . . 4 (𝐢 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) β†’ (𝐢 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝐢 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)))
1211imp 407 . . 3 ((𝐢 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐢 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐢 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
139, 10, 12syl2anc 584 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ∩ 𝐢 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
14 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
164, 15lidl0cl 20984 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑖)
1714, 2, 16syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑖)
1817ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑖)
19 fvex 6904 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
2019elint2 4957 . . . 4 ((0gβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝐢 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑖)
2118, 20sylibr 233 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝐢)
2221ne0d 4335 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ∩ 𝐢 β‰  βˆ…)
2314ad5ant15 757 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
242ad5ant15 757 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
25 simp-4r 782 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
26 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢)
27 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑖 ∈ 𝐢)
28 elinti 4959 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ ∩ 𝐢 β†’ (𝑖 ∈ 𝐢 β†’ π‘Ž ∈ 𝑖))
2928imp 407 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ∩ 𝐢 ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ π‘Ž ∈ 𝑖)
3026, 27, 29syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ π‘Ž ∈ 𝑖)
31 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
324, 3, 31lidlmcl 20989 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝑖)
3323, 24, 25, 30, 32syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝑖)
34 elinti 4959 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ∩ 𝐢 β†’ (𝑖 ∈ 𝐢 β†’ 𝑏 ∈ 𝑖))
3534imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ∩ 𝐢 ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑏 ∈ 𝑖)
3635adantll 712 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑏 ∈ 𝑖)
37 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
384, 37lidlacl 20985 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝑖 ∧ 𝑏 ∈ 𝑖)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑖)
3923, 24, 33, 36, 38syl22anc 837 . . . . . . 7 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑖)
4039ralrimiva 3146 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑖)
41 ovex 7444 . . . . . . 7 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ V
4241elint2 4957 . . . . . 6 (((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑖)
4340, 42sylibr 233 . . . . 5 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢)
4443ralrimiva 3146 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) β†’ βˆ€π‘ ∈ ∩ 𝐢((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢)
4544anasss 467 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ∩ 𝐢((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢)
4645ralrimivva 3200 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘Ž ∈ ∩ πΆβˆ€π‘ ∈ ∩ 𝐢((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢)
474, 3, 37, 31islidl 20981 . 2 (∩ 𝐢 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↔ (∩ 𝐢 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ ∩ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘Ž ∈ ∩ πΆβˆ€π‘ ∈ ∩ 𝐢((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢))
4813, 22, 46, 47syl3anbrc 1343 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ∩ 𝐢 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆ© cint 4950  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +gcplusg 17201  .rcmulr 17202  0gc0g 17389  Ringcrg 20127  LIdealclidl 20928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-subrg 20459  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-lidl 20932
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator