Theorem intlidl 31108

Description: The intersection of a nonempty collection of ideals is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
intlidl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem intlidl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
2	1	sselda 3888	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3		eqid 2759	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2759	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5	3, 4	lidlss 20036	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
7	6	ralrimiva 3111	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑖 ∈ 𝐶 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
8		pwssb 4981	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐶 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
9	7, 8	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅))
10		simp2 1135	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ≠ ∅)
11		intss2 4988	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) → (𝐶 ≠ ∅ → ∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)))
12	11	imp 411	. . 3 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
13	9, 10, 12	syl2anc 588	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
14		simpl1 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
15		eqid 2759	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	4, 15	lidl0cl 20038	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
17	14, 2, 16	syl2anc 588	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
18	17	ralrimiva 3111	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑖 ∈ 𝐶 (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
19		fvex 6664	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
20	19	elint2 4838	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ ∩ 𝐶 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐶 (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
21	18, 20	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ ∩ 𝐶)
22	21	ne0d 4230	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ≠ ∅)
23	14	ad5ant15 759	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
24	2	ad5ant15 759	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
25		simp-4r 784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
26		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑎 ∈ ∩ 𝐶)
27		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ∈ 𝐶)
28		elinti 4840	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ∩ 𝐶 → (𝑖 ∈ 𝐶 → 𝑎 ∈ 𝑖))
29	28	imp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ∩ 𝐶 ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑎 ∈ 𝑖)
30	26, 27, 29	syl2anc 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑎 ∈ 𝑖)
31		eqid 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
32	4, 3, 31	lidlmcl 20043	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑖)
33	23, 24, 25, 30, 32	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑖)
34		elinti 4840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ∩ 𝐶 → (𝑖 ∈ 𝐶 → 𝑏 ∈ 𝑖))
35	34	imp 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ∩ 𝐶 ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑏 ∈ 𝑖)
36	35	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑏 ∈ 𝑖)
37		eqid 2759	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
38	4, 37	lidlacl 20039	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑖 ∧ 𝑏 ∈ 𝑖)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
39	23, 24, 33, 36, 38	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
40	39	ralrimiva 3111	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) → ∀𝑖 ∈ 𝐶 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
41		ovex 7176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ V
42	41	elint2 4838	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐶 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
43	40, 42	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
44	43	ralrimiva 3111	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) → ∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
45	44	anasss 471	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶)) → ∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
46	45	ralrimivva 3118	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ ∩ 𝐶∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
47	4, 3, 37, 31	islidl 20037	. 2 ⊢ (∩ 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ (∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ∩ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ ∩ 𝐶∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶))
48	13, 22, 46, 47	syl3anbrc 1341	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2949  ∀wral 3068   ⊆ wss 3854  ∅c0 4221  𝒫 cpw 4487  ∩ cint 4831  ‘cfv 6328  (class class class)co 7143  Basecbs 16526  +_gcplusg 16608  ._rcmulr 16609  0_gc0g 16756  Ringcrg 19350  LIdealclidl 19995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5149  ax-sep 5162  ax-nul 5169  ax-pow 5227  ax-pr 5291  ax-un 7452  ax-cnex 10616  ax-resscn 10617  ax-1cn 10618  ax-icn 10619  ax-addcl 10620  ax-addrcl 10621  ax-mulcl 10622  ax-mulrcl 10623  ax-mulcom 10624  ax-addass 10625  ax-mulass 10626  ax-distr 10627  ax-i2m1 10628  ax-1ne0 10629  ax-1rid 10630  ax-rnegex 10631  ax-rrecex 10632  ax-cnre 10633  ax-pre-lttri 10634  ax-pre-lttrn 10635  ax-pre-ltadd 10636  ax-pre-mulgt0 10637

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2899  df-ne 2950  df-nel 3054  df-ral 3073  df-rex 3074  df-reu 3075  df-rmo 3076  df-rab 3077  df-v 3409  df-sbc 3694  df-csb 3802  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3871  df-pss 3873  df-nul 4222  df-if 4414  df-pw 4489  df-sn 4516  df-pr 4518  df-tp 4520  df-op 4522  df-uni 4792  df-int 4832  df-iun 4878  df-br 5026  df-opab 5088  df-mpt 5106  df-tr 5132  df-id 5423  df-eprel 5428  df-po 5436  df-so 5437  df-fr 5476  df-we 5478  df-xp 5523  df-rel 5524  df-cnv 5525  df-co 5526  df-dm 5527  df-rn 5528  df-res 5529  df-ima 5530  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7101  df-ov 7146  df-oprab 7147  df-mpo 7148  df-om 7573  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8521  df-dom 8522  df-sdom 8523  df-pnf 10700  df-mnf 10701  df-xr 10702  df-ltxr 10703  df-le 10704  df-sub 10895  df-neg 10896  df-nn 11660  df-2 11722  df-3 11723  df-4 11724  df-5 11725  df-6 11726  df-7 11727  df-8 11728  df-ndx 16529  df-slot 16530  df-base 16532  df-sets 16533  df-ress 16534  df-plusg 16621  df-mulr 16622  df-sca 16624  df-vsca 16625  df-ip 16626  df-0g 16758  df-mgm 17903  df-sgrp 17952  df-mnd 17963  df-grp 18157  df-minusg 18158  df-sbg 18159  df-subg 18328  df-mgp 19293  df-ur 19305  df-ring 19352  df-subrg 19586  df-lmod 19689  df-lss 19757  df-sra 19997  df-rgmod 19998  df-lidl 19999

This theorem is referenced by: (None)