Theorem intlidl 33397

Description: The intersection of a nonempty collection of ideals is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
intlidl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem intlidl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
2	1	sselda 3948	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5	3, 4	lidlss 21128	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
7	6	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑖 ∈ 𝐶 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
8		pwssb 5067	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐶 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
9	7, 8	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅))
10		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ≠ ∅)
11		intss2 5074	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) → (𝐶 ≠ ∅ → ∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)))
12	11	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
13	9, 10, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
14		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
15		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	4, 15	lidl0cl 21136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
17	14, 2, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
18	17	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑖 ∈ 𝐶 (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
19		fvex 6873	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
20	19	elint2 4919	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ ∩ 𝐶 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐶 (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
21	18, 20	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ ∩ 𝐶)
22	21	ne0d 4307	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ≠ ∅)
23	14	ad5ant15 758	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
24	2	ad5ant15 758	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
25		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
26		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑎 ∈ ∩ 𝐶)
27		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ∈ 𝐶)
28		elinti 4921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ∩ 𝐶 → (𝑖 ∈ 𝐶 → 𝑎 ∈ 𝑖))
29	28	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ∩ 𝐶 ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑎 ∈ 𝑖)
30	26, 27, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑎 ∈ 𝑖)
31		eqid 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
32	4, 3, 31	lidlmcl 21141	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑖)
33	23, 24, 25, 30, 32	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑖)
34		elinti 4921	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ∩ 𝐶 → (𝑖 ∈ 𝐶 → 𝑏 ∈ 𝑖))
35	34	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ∩ 𝐶 ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑏 ∈ 𝑖)
36	35	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑏 ∈ 𝑖)
37		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
38	4, 37	lidlacl 21137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑖 ∧ 𝑏 ∈ 𝑖)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
39	23, 24, 33, 36, 38	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
40	39	ralrimiva 3126	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) → ∀𝑖 ∈ 𝐶 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
41		ovex 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ V
42	41	elint2 4919	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐶 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
43	40, 42	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
44	43	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) → ∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
45	44	anasss 466	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶)) → ∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
46	45	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ ∩ 𝐶∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
47	4, 3, 37, 31	islidl 21131	. 2 ⊢ (∩ 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ (∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ∩ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ ∩ 𝐶∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶))
48	13, 22, 46, 47	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045   ⊆ wss 3916  ∅c0 4298  𝒫 cpw 4565  ∩ cint 4912  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  +_gcplusg 17226  ._rcmulr 17227  0_gc0g 17408  Ringcrg 20148  LIdealclidl 21122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-subg 19061  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-subrg 20485  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-sra 21086  df-rgmod 21087  df-lidl 21124

This theorem is referenced by: (None)