Theorem intlidl 33759

Description: The intersection of a nonempty collection of ideals is an ideal. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 8-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
intlidl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem intlidl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
2	1	sselda 3940	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5	3, 4	lidlss 21373	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
7	6	ralrimiva 3160	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑖 ∈ 𝐶 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
8		pwssb 5072	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐶 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
9	7, 8	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅))
10		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ≠ ∅)
11		intss2 5079	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) → (𝐶 ≠ ∅ → ∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)))
12	11	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
13	9, 10, 12	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
14		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
15		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	4, 15	lidl0cl 21382	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
17	14, 2, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
18	17	ralrimiva 3160	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑖 ∈ 𝐶 (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
19		fvex 6901	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
20	19	elint2 4924	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ ∩ 𝐶 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐶 (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
21	18, 20	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ ∩ 𝐶)
22	21	ne0d 4298	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ≠ ∅)
23	14	ad5ant15 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
24	2	ad5ant15 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
25		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
26		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑎 ∈ ∩ 𝐶)
27		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ∈ 𝐶)
28		elinti 4926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ∩ 𝐶 → (𝑖 ∈ 𝐶 → 𝑎 ∈ 𝑖))
29	28	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ∩ 𝐶 ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑎 ∈ 𝑖)
30	26, 27, 29	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑎 ∈ 𝑖)
31		eqid 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
32	4, 3, 31	lidlmcl 21387	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑖)
33	23, 24, 25, 30, 32	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑖)
34		elinti 4926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ∩ 𝐶 → (𝑖 ∈ 𝐶 → 𝑏 ∈ 𝑖))
35	34	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ∩ 𝐶 ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑏 ∈ 𝑖)
36	35	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑏 ∈ 𝑖)
37		eqid 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
38	4, 37	lidlacl 21383	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑖 ∧ 𝑏 ∈ 𝑖)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
39	23, 24, 33, 36, 38	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
40	39	ralrimiva 3160	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) → ∀𝑖 ∈ 𝐶 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
41		ovex 7456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ V
42	41	elint2 4924	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐶 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
43	40, 42	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
44	43	ralrimiva 3160	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) → ∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
45	44	anasss 472	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶)) → ∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
46	45	ralrimivva 3211	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ ∩ 𝐶∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
47	4, 3, 37, 31	islidl 21377	. 2 ⊢ (∩ 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ (∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ∩ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ ∩ 𝐶∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶))
48	13, 22, 46, 47	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∀wral 3082   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4567  ∩ cint 4917  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  ._rcmulr 17336  0_gc0g 17517  Ringcrg 20346  LIdealclidl 21367

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036  df-subg 19220  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-subrg 20706  df-lmod 21020  df-lss 21090  df-sra 21331  df-rgmod 21332  df-lidl 21369

This theorem is used by:  inlidl  33760