Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intlidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intlidl 32391
Description: The intersection of a nonempty collection of ideals is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
intlidl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ∩ 𝐢 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))

Proof of Theorem intlidl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑖 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…))
21sselda 3978 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
3 eqid 2731 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 eqid 2731 . . . . . . 7 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
53, 4lidlss 20781 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝑖 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
62, 5syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑖 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
76ralrimiva 3145 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 𝑖 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
8 pwssb 5097 . . . 4 (𝐢 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 𝑖 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
97, 8sylibr 233 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘…))
10 simp2 1137 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝐢 β‰  βˆ…)
11 intss2 5104 . . . 4 (𝐢 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) β†’ (𝐢 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝐢 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)))
1211imp 407 . . 3 ((𝐢 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐢 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐢 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
139, 10, 12syl2anc 584 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ∩ 𝐢 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
14 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 eqid 2731 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
164, 15lidl0cl 20783 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑖)
1714, 2, 16syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑖)
1817ralrimiva 3145 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑖)
19 fvex 6891 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
2019elint2 4950 . . . 4 ((0gβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝐢 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑖)
2118, 20sylibr 233 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝐢)
2221ne0d 4331 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ∩ 𝐢 β‰  βˆ…)
2314ad5ant15 757 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
242ad5ant15 757 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
25 simp-4r 782 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
26 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢)
27 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑖 ∈ 𝐢)
28 elinti 4952 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ ∩ 𝐢 β†’ (𝑖 ∈ 𝐢 β†’ π‘Ž ∈ 𝑖))
2928imp 407 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ∩ 𝐢 ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ π‘Ž ∈ 𝑖)
3026, 27, 29syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ π‘Ž ∈ 𝑖)
31 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
324, 3, 31lidlmcl 20788 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝑖)
3323, 24, 25, 30, 32syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝑖)
34 elinti 4952 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ∩ 𝐢 β†’ (𝑖 ∈ 𝐢 β†’ 𝑏 ∈ 𝑖))
3534imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ∩ 𝐢 ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑏 ∈ 𝑖)
3635adantll 712 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑏 ∈ 𝑖)
37 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
384, 37lidlacl 20784 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝑖 ∧ 𝑏 ∈ 𝑖)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑖)
3923, 24, 33, 36, 38syl22anc 837 . . . . . . 7 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑖)
4039ralrimiva 3145 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑖)
41 ovex 7426 . . . . . . 7 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ V
4241elint2 4950 . . . . . 6 (((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑖)
4340, 42sylibr 233 . . . . 5 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢)
4443ralrimiva 3145 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) β†’ βˆ€π‘ ∈ ∩ 𝐢((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢)
4544anasss 467 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ∩ 𝐢((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢)
4645ralrimivva 3199 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘Ž ∈ ∩ πΆβˆ€π‘ ∈ ∩ 𝐢((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢)
474, 3, 37, 31islidl 20782 . 2 (∩ 𝐢 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↔ (∩ 𝐢 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ ∩ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘Ž ∈ ∩ πΆβˆ€π‘ ∈ ∩ 𝐢((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢))
4813, 22, 46, 47syl3anbrc 1343 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ∩ 𝐢 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  π’« cpw 4596  βˆ© cint 4943  β€˜cfv 6532  (class class class)co 7393  Basecbs 17126  +gcplusg 17179  .rcmulr 17180  0gc0g 17367  Ringcrg 20014  LIdealclidl 20732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-4 12259  df-5 12260  df-6 12261  df-7 12262  df-8 12263  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17127  df-ress 17156  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-0g 17369  df-mgm 18543  df-sgrp 18592  df-mnd 18603  df-grp 18797  df-minusg 18798  df-sbg 18799  df-subg 18975  df-mgp 19947  df-ur 19964  df-ring 20016  df-subrg 20310  df-lmod 20422  df-lss 20492  df-sra 20734  df-rgmod 20735  df-lidl 20736
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator