Theorem intlidl 33384

Description: The intersection of a nonempty collection of ideals is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
intlidl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem intlidl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
2	1	sselda 3943	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5	3, 4	lidlss 21154	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
7	6	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑖 ∈ 𝐶 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
8		pwssb 5060	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐶 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
9	7, 8	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅))
10		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ≠ ∅)
11		intss2 5067	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) → (𝐶 ≠ ∅ → ∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)))
12	11	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
13	9, 10, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
14		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	4, 15	lidl0cl 21162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
17	14, 2, 16	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
18	17	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑖 ∈ 𝐶 (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
19		fvex 6853	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
20	19	elint2 4913	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ ∩ 𝐶 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐶 (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
21	18, 20	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ ∩ 𝐶)
22	21	ne0d 4301	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ≠ ∅)
23	14	ad5ant15 758	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
24	2	ad5ant15 758	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
25		simp-4r 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
26		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑎 ∈ ∩ 𝐶)
27		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ∈ 𝐶)
28		elinti 4915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ∩ 𝐶 → (𝑖 ∈ 𝐶 → 𝑎 ∈ 𝑖))
29	28	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ∩ 𝐶 ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑎 ∈ 𝑖)
30	26, 27, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑎 ∈ 𝑖)
31		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
32	4, 3, 31	lidlmcl 21167	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑖)
33	23, 24, 25, 30, 32	syl22anc 838	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑖)
34		elinti 4915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ∩ 𝐶 → (𝑖 ∈ 𝐶 → 𝑏 ∈ 𝑖))
35	34	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ∩ 𝐶 ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑏 ∈ 𝑖)
36	35	adantll 714	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑏 ∈ 𝑖)
37		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
38	4, 37	lidlacl 21163	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑖 ∧ 𝑏 ∈ 𝑖)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
39	23, 24, 33, 36, 38	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
40	39	ralrimiva 3125	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) → ∀𝑖 ∈ 𝐶 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
41		ovex 7402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ V
42	41	elint2 4913	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐶 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
43	40, 42	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
44	43	ralrimiva 3125	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) → ∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
45	44	anasss 466	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶)) → ∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
46	45	ralrimivva 3178	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ ∩ 𝐶∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
47	4, 3, 37, 31	islidl 21157	. 2 ⊢ (∩ 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ (∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ∩ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ ∩ 𝐶∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶))
48	13, 22, 46, 47	syl3anbrc 1344	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  ∩ cint 4906  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  +_gcplusg 17196  ._rcmulr 17197  0_gc0g 17378  Ringcrg 20153  LIdealclidl 21148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-grp 18850  df-minusg 18851  df-sbg 18852  df-subg 19037  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-subrg 20490  df-lmod 20800  df-lss 20870  df-sra 21112  df-rgmod 21113  df-lidl 21150

This theorem is referenced by: (None)