Theorem intlidl 34037

Description: The intersection of a nonempty collection of ideals is an ideal. (Contributed by Jeff Madsen, 10-Jun-2010.) (Revised by Thierry Arnoux, 8-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
intlidl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem intlidl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
2	1	sselda 3913	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5	3, 4	lidlss 21517	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
6	2, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
7	6	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑖 ∈ 𝐶 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
8		pwssb 5064	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐶 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
9	7, 8	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅))
10		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ≠ ∅)
11		intss2 5071	. . . 4 ⊢ (𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) → (𝐶 ≠ ∅ → ∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)))
12	11	imp 412	. . 3 ⊢ ((𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → ∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
13	9, 10, 12	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
14		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
15		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	4, 15	lidl0cl 21526	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
17	14, 2, 16	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
18	17	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑖 ∈ 𝐶 (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
19		fvex 6918	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
20	19	elint2 4917	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝑅) ∈ ∩ 𝐶 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐶 (0g‘𝑅) ∈ 𝑖)
21	18, 20	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → (0g‘𝑅) ∈ ∩ 𝐶)
22	21	ne0d 4291	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ≠ ∅)
23	14	ad5ant15 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
24	2	ad5ant15 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
25		simp-4r 796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
26		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑎 ∈ ∩ 𝐶)
27		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑖 ∈ 𝐶)
28		elinti 4919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ∩ 𝐶 → (𝑖 ∈ 𝐶 → 𝑎 ∈ 𝑖))
29	28	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ∩ 𝐶 ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑎 ∈ 𝑖)
30	26, 27, 29	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑎 ∈ 𝑖)
31		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
32	4, 3, 31	lidlmcl 21531	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ 𝑖)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑖)
33	23, 24, 25, 30, 32	syl22anc 852	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑖)
34		elinti 4919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ ∩ 𝐶 → (𝑖 ∈ 𝐶 → 𝑏 ∈ 𝑖))
35	34	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ∩ 𝐶 ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑏 ∈ 𝑖)
36	35	adantll 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → 𝑏 ∈ 𝑖)
37		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
38	4, 37	lidlacl 21527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎) ∈ 𝑖 ∧ 𝑏 ∈ 𝑖)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
39	23, 24, 33, 36, 38	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑖 ∈ 𝐶) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
40	39	ralrimiva 3158	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) → ∀𝑖 ∈ 𝐶 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
41		ovex 7473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ V
42	41	elint2 4917	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝐶 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
43	40, 42	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐶) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
44	43	ralrimiva 3158	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶) → ∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
45	44	anasss 472	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 ∈ ∩ 𝐶)) → ∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
46	45	ralrimivva 3209	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ ∩ 𝐶∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶)
47	4, 3, 37, 31	islidl 21521	. 2 ⊢ (∩ 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ (∩ 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ∩ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 ∈ ∩ 𝐶∀𝑏 ∈ ∩ 𝐶((𝑥(.r‘𝑅)𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ ∩ 𝐶))
48	13, 22, 46, 47	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∩ 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560  ∩ cint 4910  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  ._rcmulr 17455  0_gc0g 17636  Ringcrg 20486  LIdealclidl 21511

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-0g 17638  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175  df-subg 19359  df-cmn 20023  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402  df-ur 20435  df-ring 20488  df-subrg 20849  df-lmod 21164  df-lss 21234  df-sra 21475  df-rgmod 21476  df-lidl 21513

This theorem is used by:  inlidl  34038