Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intlidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intlidl 32078
Description: The intersection of a nonempty collection of ideals is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
intlidl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ∩ 𝐢 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))

Proof of Theorem intlidl
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑖 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…))
21sselda 3942 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
3 eqid 2736 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
4 eqid 2736 . . . . . . 7 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
53, 4lidlss 20665 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝑖 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
62, 5syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑖 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
76ralrimiva 3141 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 𝑖 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
8 pwssb 5059 . . . 4 (𝐢 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 𝑖 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
97, 8sylibr 233 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝐢 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘…))
10 simp2 1137 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ 𝐢 β‰  βˆ…)
11 intss2 5066 . . . 4 (𝐢 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) β†’ (𝐢 β‰  βˆ… β†’ ∩ 𝐢 βŠ† (Baseβ€˜π‘…)))
1211imp 407 . . 3 ((𝐢 βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐢 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝐢 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
139, 10, 12syl2anc 584 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ∩ 𝐢 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
14 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15 eqid 2736 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
164, 15lidl0cl 20667 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑖)
1714, 2, 16syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑖)
1817ralrimiva 3141 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑖)
19 fvex 6852 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
2019elint2 4912 . . . 4 ((0gβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝐢 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 (0gβ€˜π‘…) ∈ 𝑖)
2118, 20sylibr 233 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ ∩ 𝐢)
2221ne0d 4293 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ∩ 𝐢 β‰  βˆ…)
2314ad5ant15 757 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
242ad5ant15 757 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
25 simp-4r 782 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
26 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢)
27 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑖 ∈ 𝐢)
28 elinti 4914 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ ∩ 𝐢 β†’ (𝑖 ∈ 𝐢 β†’ π‘Ž ∈ 𝑖))
2928imp 407 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ ∩ 𝐢 ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ π‘Ž ∈ 𝑖)
3026, 27, 29syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ π‘Ž ∈ 𝑖)
31 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
324, 3, 31lidlmcl 20672 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ 𝑖)) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝑖)
3323, 24, 25, 30, 32syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝑖)
34 elinti 4914 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ ∩ 𝐢 β†’ (𝑖 ∈ 𝐢 β†’ 𝑏 ∈ 𝑖))
3534imp 407 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ∩ 𝐢 ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑏 ∈ 𝑖)
3635adantll 712 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ 𝑏 ∈ 𝑖)
37 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
384, 37lidlacl 20668 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž) ∈ 𝑖 ∧ 𝑏 ∈ 𝑖)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑖)
3923, 24, 33, 36, 38syl22anc 837 . . . . . . 7 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑖 ∈ 𝐢) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑖)
4039ralrimiva 3141 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑖)
41 ovex 7386 . . . . . . 7 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ V
4241elint2 4912 . . . . . 6 (((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐢 ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ 𝑖)
4340, 42sylibr 233 . . . . 5 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) ∧ 𝑏 ∈ ∩ 𝐢) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢)
4443ralrimiva 3141 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢) β†’ βˆ€π‘ ∈ ∩ 𝐢((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢)
4544anasss 467 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘Ž ∈ ∩ 𝐢)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ∩ 𝐢((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢)
4645ralrimivva 3195 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘Ž ∈ ∩ πΆβˆ€π‘ ∈ ∩ 𝐢((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢)
474, 3, 37, 31islidl 20666 . 2 (∩ 𝐢 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) ↔ (∩ 𝐢 βŠ† (Baseβ€˜π‘…) ∧ ∩ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘Ž ∈ ∩ πΆβˆ€π‘ ∈ ∩ 𝐢((π‘₯(.rβ€˜π‘…)π‘Ž)(+gβ€˜π‘…)𝑏) ∈ ∩ 𝐢))
4813, 22, 46, 47syl3anbrc 1343 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐢 β‰  βˆ… ∧ 𝐢 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ ∩ 𝐢 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3908  βˆ…c0 4280  π’« cpw 4558  βˆ© cint 4905  β€˜cfv 6493  (class class class)co 7353  Basecbs 17075  +gcplusg 17125  .rcmulr 17126  0gc0g 17313  Ringcrg 19950  LIdealclidl 20616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-0g 17315  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-sbg 18745  df-subg 18916  df-mgp 19888  df-ur 19905  df-ring 19952  df-subrg 20205  df-lmod 20309  df-lss 20378  df-sra 20618  df-rgmod 20619  df-lidl 20620
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator