Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intlidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intlidl 31013
 Description: The intersection of a nonempty collection of ideals is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
intlidl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem intlidl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
21sselda 3918 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3 eqid 2801 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 eqid 2801 . . . . . . 7 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
53, 4lidlss 19979 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
62, 5syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
76ralrimiva 3152 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑖𝐶 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
8 pwssb 4989 . . . 4 (𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) ↔ ∀𝑖𝐶 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
97, 8sylibr 237 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅))
10 simp2 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ≠ ∅)
11 intss2 4996 . . . 4 (𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) → (𝐶 ≠ ∅ → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)))
1211imp 410 . . 3 ((𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
139, 10, 12syl2anc 587 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
14 simpl1 1188 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
15 eqid 2801 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
164, 15lidl0cl 19981 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (0g𝑅) ∈ 𝑖)
1714, 2, 16syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐶) → (0g𝑅) ∈ 𝑖)
1817ralrimiva 3152 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑖𝐶 (0g𝑅) ∈ 𝑖)
19 fvex 6662 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
2019elint2 4848 . . . 4 ((0g𝑅) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑖𝐶 (0g𝑅) ∈ 𝑖)
2118, 20sylibr 237 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → (0g𝑅) ∈ 𝐶)
2221ne0d 4254 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ≠ ∅)
2314ad5ant15 758 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
242ad5ant15 758 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
25 simp-4r 783 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
26 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑎 𝐶)
27 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑖𝐶)
28 elinti 4850 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 𝐶 → (𝑖𝐶𝑎𝑖))
2928imp 410 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 𝐶𝑖𝐶) → 𝑎𝑖)
3026, 27, 29syl2anc 587 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑎𝑖)
31 eqid 2801 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
324, 3, 31lidlmcl 19986 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎𝑖)) → (𝑥(.r𝑅)𝑎) ∈ 𝑖)
3323, 24, 25, 30, 32syl22anc 837 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → (𝑥(.r𝑅)𝑎) ∈ 𝑖)
34 elinti 4850 . . . . . . . . . 10 (𝑏 𝐶 → (𝑖𝐶𝑏𝑖))
3534imp 410 . . . . . . . . 9 ((𝑏 𝐶𝑖𝐶) → 𝑏𝑖)
3635adantll 713 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑏𝑖)
37 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
384, 37lidlacl 19982 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r𝑅)𝑎) ∈ 𝑖𝑏𝑖)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
3923, 24, 33, 36, 38syl22anc 837 . . . . . . 7 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
4039ralrimiva 3152 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) → ∀𝑖𝐶 ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
41 ovex 7172 . . . . . . 7 ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ V
4241elint2 4848 . . . . . 6 (((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑖𝐶 ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
4340, 42sylibr 237 . . . . 5 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) → ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐶)
4443ralrimiva 3152 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) → ∀𝑏 𝐶((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐶)
4544anasss 470 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 𝐶)) → ∀𝑏 𝐶((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐶)
4645ralrimivva 3159 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 𝐶𝑏 𝐶((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐶)
474, 3, 37, 31islidl 19980 . 2 ( 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ ( 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 𝐶𝑏 𝐶((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐶))
4813, 22, 46, 47syl3anbrc 1340 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  ∀wral 3109   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246  𝒫 cpw 4500  ∩ cint 4841  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  0gc0g 16708  Ringcrg 19293  LIdealclidl 19938 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-lidl 19942 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator