Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  intlidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem intlidl 33415
Description: The intersection of a nonempty collection of ideals is an ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
intlidl ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem intlidl
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1138 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
21sselda 4008 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
3 eqid 2740 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 eqid 2740 . . . . . . 7 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
53, 4lidlss 21247 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
62, 5syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
76ralrimiva 3152 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑖𝐶 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
8 pwssb 5124 . . . 4 (𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) ↔ ∀𝑖𝐶 𝑖 ⊆ (Base‘𝑅))
97, 8sylibr 234 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅))
10 simp2 1137 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ≠ ∅)
11 intss2 5131 . . . 4 (𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) → (𝐶 ≠ ∅ → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅)))
1211imp 406 . . 3 ((𝐶 ⊆ 𝒫 (Base‘𝑅) ∧ 𝐶 ≠ ∅) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
139, 10, 12syl2anc 583 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅))
14 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
15 eqid 2740 . . . . . . 7 (0g𝑅) = (0g𝑅)
164, 15lidl0cl 21255 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → (0g𝑅) ∈ 𝑖)
1714, 2, 16syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐶) → (0g𝑅) ∈ 𝑖)
1817ralrimiva 3152 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑖𝐶 (0g𝑅) ∈ 𝑖)
19 fvex 6935 . . . . 5 (0g𝑅) ∈ V
2019elint2 4977 . . . 4 ((0g𝑅) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑖𝐶 (0g𝑅) ∈ 𝑖)
2118, 20sylibr 234 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → (0g𝑅) ∈ 𝐶)
2221ne0d 4365 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ≠ ∅)
2314ad5ant15 758 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑅 ∈ Ring)
242ad5ant15 758 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
25 simp-4r 783 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
26 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑎 𝐶)
27 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑖𝐶)
28 elinti 4979 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 𝐶 → (𝑖𝐶𝑎𝑖))
2928imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 𝐶𝑖𝐶) → 𝑎𝑖)
3026, 27, 29syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑎𝑖)
31 eqid 2740 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
324, 3, 31lidlmcl 21260 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎𝑖)) → (𝑥(.r𝑅)𝑎) ∈ 𝑖)
3323, 24, 25, 30, 32syl22anc 838 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → (𝑥(.r𝑅)𝑎) ∈ 𝑖)
34 elinti 4979 . . . . . . . . . 10 (𝑏 𝐶 → (𝑖𝐶𝑏𝑖))
3534imp 406 . . . . . . . . 9 ((𝑏 𝐶𝑖𝐶) → 𝑏𝑖)
3635adantll 713 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → 𝑏𝑖)
37 eqid 2740 . . . . . . . . 9 (+g𝑅) = (+g𝑅)
384, 37lidlacl 21256 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑥(.r𝑅)𝑎) ∈ 𝑖𝑏𝑖)) → ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
3923, 24, 33, 36, 38syl22anc 838 . . . . . . 7 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) ∧ 𝑖𝐶) → ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
4039ralrimiva 3152 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) → ∀𝑖𝐶 ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
41 ovex 7483 . . . . . . 7 ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ V
4241elint2 4977 . . . . . 6 (((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐶 ↔ ∀𝑖𝐶 ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝑖)
4340, 42sylibr 234 . . . . 5 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) ∧ 𝑏 𝐶) → ((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐶)
4443ralrimiva 3152 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ 𝑎 𝐶) → ∀𝑏 𝐶((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐶)
4544anasss 466 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑎 𝐶)) → ∀𝑏 𝐶((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐶)
4645ralrimivva 3208 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 𝐶𝑏 𝐶((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐶)
474, 3, 37, 31islidl 21250 . 2 ( 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅) ↔ ( 𝐶 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑎 𝐶𝑏 𝐶((𝑥(.r𝑅)𝑎)(+g𝑅)𝑏) ∈ 𝐶))
4813, 22, 46, 47syl3anbrc 1343 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ 𝐶 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) → 𝐶 ∈ (LIdeal‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087  wcel 2108  wne 2946  wral 3067  wss 3976  c0 4352  𝒫 cpw 4622   cint 4970  cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  +gcplusg 17313  .rcmulr 17314  0gc0g 17501  Ringcrg 20262  LIdealclidl 21241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-0g 17503  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-cmn 19826  df-abl 19827  df-mgp 20164  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-subrg 20599  df-lmod 20884  df-lss 20955  df-sra 21197  df-rgmod 21198  df-lidl 21243
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator