Theorem lidlmmgm 45017

Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a ring is a magma. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlabl.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lidlmmgm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)

Proof of Theorem lidlmmgm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlabl.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2		lidlabl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
3	1, 2	lidlbas 45015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)
4		eleq1a 2828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((Base‘𝐼) = 𝑈 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
5	3, 4	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿)
6	5	anim2i 620	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
7	6	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
8	1, 2	lidlssbas 45014	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
9	8	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
10	9	sseld 3876	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
11	10	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
12	11	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
13	12	impcom 411	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
14		simprr 773	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))
15		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	1, 15, 16	lidlmcl 20109	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
18	7, 13, 14, 17	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
19	18	ralrimivva 3103	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
20		fvex 6687	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐼) ∈ V
21		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
22		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
23	21, 22	mgpbas 19364	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘(mulGrp‘𝐼))
24		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
25	21, 24	mgpplusg 19362	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐼) = (+g‘(mulGrp‘𝐼))
26	23, 25	ismgm 17969	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝐼) ∈ V → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
27	20, 26	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
28	2, 16	ressmulr 16728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐼))
29	28	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
30	29	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
31	30	oveqdr 7198	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r‘𝐼)𝑏) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
32	31	eleq1d 2817	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
33	32	2ralbidva 3110	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
34	27, 33	bitrd 282	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
35	19, 34	mpbird 260	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3053  Vcvv 3398   ⊆ wss 3843  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586   ↾_s cress 16587  ._rcmulr 16669  Mgmcmgm 17966  mulGrpcmgp 19358  Ringcrg 19416  LIdealclidl 20061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-subg 18394  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-lidl 20065

This theorem is referenced by:  lidlmsgrp  45018