Theorem lidlmmgm 43696

Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a ring is a magma. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlabl.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lidlmmgm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)

Proof of Theorem lidlmmgm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlabl.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2		lidlabl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
3	1, 2	lidlbas 43694	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)
4		eleq1a 2880	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((Base‘𝐼) = 𝑈 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
5	3, 4	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿)
6	5	anim2i 616	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
8	1, 2	lidlssbas 43693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
9	8	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
10	9	sseld 3894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
11	10	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
12	11	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
13	12	impcom 408	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
14		simprr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))
15		eqid 2797	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16		eqid 2797	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	1, 15, 16	lidlmcl 19683	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
18	7, 13, 14, 17	syl12anc 833	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
19	18	ralrimivva 3160	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
20		fvex 6558	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐼) ∈ V
21		eqid 2797	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
22		eqid 2797	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
23	21, 22	mgpbas 18939	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘(mulGrp‘𝐼))
24		eqid 2797	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
25	21, 24	mgpplusg 18937	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐼) = (+g‘(mulGrp‘𝐼))
26	23, 25	ismgm 17686	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝐼) ∈ V → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
27	20, 26	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
28	2, 16	ressmulr 16458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐼))
29	28	eqcomd 2803	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
30	29	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
31	30	oveqdr 7051	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r‘𝐼)𝑏) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
32	31	eleq1d 2869	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
33	32	2ralbidva 3167	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
34	27, 33	bitrd 280	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
35	19, 34	mpbird 258	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107  Vcvv 3440   ⊆ wss 3865  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  Basecbs 16316   ↾_s cress 16317  ._rcmulr 16399  Mgmcmgm 17683  mulGrpcmgp 18933  Ringcrg 18991  LIdealclidl 19636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-3 11555  df-4 11556  df-5 11557  df-6 11558  df-7 11559  df-8 11560  df-ndx 16319  df-slot 16320  df-base 16322  df-sets 16323  df-ress 16324  df-plusg 16411  df-mulr 16412  df-sca 16414  df-vsca 16415  df-ip 16416  df-0g 16548  df-mgm 17685  df-sgrp 17727  df-mnd 17738  df-grp 17868  df-minusg 17869  df-sbg 17870  df-subg 18034  df-mgp 18934  df-ur 18946  df-ring 18993  df-subrg 19227  df-lmod 19330  df-lss 19398  df-sra 19638  df-rgmod 19639  df-lidl 19640

This theorem is referenced by:  lidlmsgrp  43697