Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lidlmmgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlmmgm 45017
Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a ring is a magma. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lidlmmgm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)

Proof of Theorem lidlmmgm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lidlabl.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2 lidlabl.i . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
31, 2lidlbas 45015 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)
4 eleq1a 2828 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → ((Base‘𝐼) = 𝑈 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
53, 4mpd 15 . . . . . 6 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿)
65anim2i 620 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
76adantr 484 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
81, 2lidlssbas 45014 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
98adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
109sseld 3876 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
1110com12 32 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
1211adantr 484 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
1312impcom 411 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
14 simprr 773 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))
15 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16 eqid 2738 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
171, 15, 16lidlmcl 20109 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
187, 13, 14, 17syl12anc 836 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
1918ralrimivva 3103 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
20 fvex 6687 . . . 4 (mulGrp‘𝐼) ∈ V
21 eqid 2738 . . . . . 6 (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
22 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
2321, 22mgpbas 19364 . . . . 5 (Base‘𝐼) = (Base‘(mulGrp‘𝐼))
24 eqid 2738 . . . . . 6 (.r𝐼) = (.r𝐼)
2521, 24mgpplusg 19362 . . . . 5 (.r𝐼) = (+g‘(mulGrp‘𝐼))
2623, 25ismgm 17969 . . . 4 ((mulGrp‘𝐼) ∈ V → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
2720, 26mp1i 13 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
282, 16ressmulr 16728 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (.r𝑅) = (.r𝐼))
2928eqcomd 2744 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → (.r𝐼) = (.r𝑅))
3029adantl 485 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (.r𝐼) = (.r𝑅))
3130oveqdr 7198 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r𝐼)𝑏) = (𝑎(.r𝑅)𝑏))
3231eleq1d 2817 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
33322ralbidva 3110 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
3427, 33bitrd 282 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
3519, 34mpbird 260 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wral 3053  Vcvv 3398  wss 3843  cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  s cress 16587  .rcmulr 16669  Mgmcmgm 17966  mulGrpcmgp 19358  Ringcrg 19416  LIdealclidl 20061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-subg 18394  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-subrg 19652  df-lmod 19755  df-lss 19823  df-sra 20063  df-rgmod 20064  df-lidl 20065
This theorem is referenced by:  lidlmsgrp  45018
  Copyright terms: Public domain W3C validator