Theorem lidlmmgm 45371

Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a ring is a magma. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlabl.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lidlmmgm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)

Proof of Theorem lidlmmgm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlabl.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2		lidlabl.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
3	1, 2	lidlbas 45369	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)
4		eleq1a 2834	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((Base‘𝐼) = 𝑈 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
5	3, 4	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿)
6	5	anim2i 616	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
8	1, 2	lidlssbas 45368	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
10	9	sseld 3916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
11	10	com12 32	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
12	11	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼)) → ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
13	12	impcom 407	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅))
14		simprr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))
15		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	1, 15, 16	lidlmcl 20401	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
18	7, 13, 14, 17	syl12anc 833	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
19	18	ralrimivva 3114	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
20		fvex 6769	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐼) ∈ V
21		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
22		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
23	21, 22	mgpbas 19641	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘(mulGrp‘𝐼))
24		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
25	21, 24	mgpplusg 19639	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐼) = (+g‘(mulGrp‘𝐼))
26	23, 25	ismgm 18242	. . . 4 ⊢ ((mulGrp‘𝐼) ∈ V → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
27	20, 26	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
28	2, 16	ressmulr 16943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐼))
29	28	eqcomd 2744	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
30	29	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
31	30	oveqdr 7283	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r‘𝐼)𝑏) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
32	31	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
33	32	2ralbidva 3121	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
34	27, 33	bitrd 278	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
35	19, 34	mpbird 256	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  ._rcmulr 16889  Mgmcmgm 18239  mulGrpcmgp 19635  Ringcrg 19698  LIdealclidl 20347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-lidl 20351

This theorem is referenced by:  lidlmsgrp  45372