Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lidlmsgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlmsgrp 44125
Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a ring is a semigroup. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lidlmsgrp ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)

Proof of Theorem lidlmsgrp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lidlabl.l . . 3 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2 lidlabl.i . . 3 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
31, 2lidlmmgm 44124 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)
4 eqid 2818 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
54ringmgp 19232 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
65ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
71, 2lidlssbas 44121 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
87sseld 3963 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
97sseld 3963 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑏 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
107sseld 3963 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑐 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
118, 9, 103anim123d 1434 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
1211adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
1312imp 407 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
14 eqid 2818 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
154, 14mgpbas 19174 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
16 eqid 2818 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
174, 16mgpplusg 19172 . . . . . 6 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
1815, 17mndass 17908 . . . . 5 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
196, 13, 18syl2anc 584 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
2019ralrimivvva 3189 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
212, 16ressmulr 16613 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (.r𝑅) = (.r𝐼))
2221eqcomd 2824 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (.r𝐼) = (.r𝑅))
2322oveqd 7162 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)𝑏) = (𝑎(.r𝑅)𝑏))
24 eqidd 2819 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿𝑐 = 𝑐)
2522, 23, 24oveq123d 7166 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐))
26 eqidd 2819 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿𝑎 = 𝑎)
2722oveqd 7162 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑏(.r𝐼)𝑐) = (𝑏(.r𝑅)𝑐))
2822, 26, 27oveq123d 7166 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
2925, 28eqeq12d 2834 . . . . . 6 (𝑈𝐿 → (((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
3029adantl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
3130ralbidv 3194 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
32312ralbidv 3196 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
3320, 32mpbird 258 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)))
34 eqid 2818 . . . 4 (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
35 eqid 2818 . . . 4 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
3634, 35mgpbas 19174 . . 3 (Base‘𝐼) = (Base‘(mulGrp‘𝐼))
37 eqid 2818 . . . 4 (.r𝐼) = (.r𝐼)
3834, 37mgpplusg 19172 . . 3 (.r𝐼) = (+g‘(mulGrp‘𝐼))
3936, 38issgrp 17890 . 2 ((mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp ↔ ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))))
403, 33, 39sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  s cress 16472  .rcmulr 16554  Mgmcmgm 17838  Smgrpcsgrp 17888  Mndcmnd 17899  mulGrpcmgp 19168  Ringcrg 19226  LIdealclidl 19871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-subrg 19462  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-lidl 19875
This theorem is referenced by:  lidlrng  44126
  Copyright terms: Public domain W3C validator