Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lidlmsgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlmsgrp 44029
Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a ring is a semigroup. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lidlmsgrp ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)

Proof of Theorem lidlmsgrp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lidlabl.l . . 3 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2 lidlabl.i . . 3 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
31, 2lidlmmgm 44028 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)
4 eqid 2826 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
54ringmgp 19223 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
65ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
71, 2lidlssbas 44025 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
87sseld 3970 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
97sseld 3970 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑏 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
107sseld 3970 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑐 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
118, 9, 103anim123d 1436 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
1211adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
1312imp 407 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
14 eqid 2826 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
154, 14mgpbas 19165 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
16 eqid 2826 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
174, 16mgpplusg 19163 . . . . . 6 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
1815, 17mndass 17908 . . . . 5 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
196, 13, 18syl2anc 584 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
2019ralrimivvva 3197 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
212, 16ressmulr 16615 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (.r𝑅) = (.r𝐼))
2221eqcomd 2832 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (.r𝐼) = (.r𝑅))
2322oveqd 7165 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)𝑏) = (𝑎(.r𝑅)𝑏))
24 eqidd 2827 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿𝑐 = 𝑐)
2522, 23, 24oveq123d 7169 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐))
26 eqidd 2827 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿𝑎 = 𝑎)
2722oveqd 7165 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑏(.r𝐼)𝑐) = (𝑏(.r𝑅)𝑐))
2822, 26, 27oveq123d 7169 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
2925, 28eqeq12d 2842 . . . . . 6 (𝑈𝐿 → (((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
3029adantl 482 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
3130ralbidv 3202 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
32312ralbidv 3204 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
3320, 32mpbird 258 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)))
34 eqid 2826 . . . 4 (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
35 eqid 2826 . . . 4 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
3634, 35mgpbas 19165 . . 3 (Base‘𝐼) = (Base‘(mulGrp‘𝐼))
37 eqid 2826 . . . 4 (.r𝐼) = (.r𝐼)
3834, 37mgpplusg 19163 . . 3 (.r𝐼) = (+g‘(mulGrp‘𝐼))
3936, 38issgrp 17891 . 2 ((mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp ↔ ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))))
403, 33, 39sylanbrc 583 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  cfv 6352  (class class class)co 7148  Basecbs 16473  s cress 16474  .rcmulr 16556  Mgmcmgm 17840  Smgrpcsgrp 17889  Mndcmnd 17900  mulGrpcmgp 19159  Ringcrg 19217  LIdealclidl 19862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-0g 16705  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-sbg 18038  df-subg 18206  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-subrg 19453  df-lmod 19556  df-lss 19624  df-sra 19864  df-rgmod 19865  df-lidl 19866
This theorem is referenced by:  lidlrng  44030
  Copyright terms: Public domain W3C validator