Theorem lidlmsgrp 45484

Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a ring is a semigroup. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlabl.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lidlmsgrp	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)

Proof of Theorem lidlmsgrp

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlabl.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2		lidlabl.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
3	1, 2	lidlmmgm 45483	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)
4		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5	4	ringmgp 19789	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
6	5	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
7	1, 2	lidlssbas 45480	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
8	7	sseld 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
9	7	sseld 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑏 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
10	7	sseld 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑐 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
11	8, 9, 10	3anim123d 1442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
12	11	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
13	12	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
14		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
15	4, 14	mgpbas 19726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
16		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	4, 16	mgpplusg 19724	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
18	15, 17	mndass 18394	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
19	6, 13, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
20	19	ralrimivvva 3127	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
21	2, 16	ressmulr 17017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐼))
22	21	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
23	22	oveqd 7292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(.r‘𝐼)𝑏) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
24		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑐 = 𝑐)
25	22, 23, 24	oveq123d 7296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐))
26		eqidd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑎 = 𝑎)
27	22	oveqd 7292	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑏(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑐))
28	22, 26, 27	oveq123d 7296	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
29	25, 28	eqeq12d 2754	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐))))
30	29	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐))))
31	30	ralbidv 3112	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) ↔ ∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐))))
32	31	2ralbidv 3129	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐))))
33	20, 32	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)))
34		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
35		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
36	34, 35	mgpbas 19726	. . 3 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘(mulGrp‘𝐼))
37		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
38	34, 37	mgpplusg 19724	. . 3 ⊢ (.r‘𝐼) = (+g‘(mulGrp‘𝐼))
39	36, 38	issgrp 18376	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp ↔ ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐))))
40	3, 33, 39	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 ∈ 𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  ._rcmulr 16963  Mgmcmgm 18324  Smgrpcsgrp 18374  Mndcmnd 18385  mulGrpcmgp 19720  Ringcrg 19783  LIdealclidl 20432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-lidl 20436

This theorem is referenced by:  lidlrng  45485