Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lidlmsgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lidlmsgrp 42725
Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a ring is a semigroup. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lidlabl.l 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlabl.i 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
Assertion
Ref Expression
lidlmsgrp ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ SGrp)

Proof of Theorem lidlmsgrp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lidlabl.l . . 3 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2 lidlabl.i . . 3 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
31, 2lidlmmgm 42724 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)
4 eqid 2799 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
54ringmgp 18869 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
65ad2antrr 718 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd)
71, 2lidlssbas 42721 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
87sseld 3797 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
97sseld 3797 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑏 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
107sseld 3797 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑐 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
118, 9, 103anim123d 1568 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
1211adantl 474 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
1312imp 396 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
14 eqid 2799 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
154, 14mgpbas 18811 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
16 eqid 2799 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
174, 16mgpplusg 18809 . . . . . 6 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
1815, 17mndass 17617 . . . . 5 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mnd ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
196, 13, 18syl2anc 580 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
2019ralrimivvva 3153 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
212, 16ressmulr 16327 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (.r𝑅) = (.r𝐼))
2221eqcomd 2805 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (.r𝐼) = (.r𝑅))
2322oveqd 6895 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)𝑏) = (𝑎(.r𝑅)𝑏))
24 eqidd 2800 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿𝑐 = 𝑐)
2522, 23, 24oveq123d 6899 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐))
26 eqidd 2800 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿𝑎 = 𝑎)
2722oveqd 6895 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑏(.r𝐼)𝑐) = (𝑏(.r𝑅)𝑐))
2822, 26, 27oveq123d 6899 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
2925, 28eqeq12d 2814 . . . . . 6 (𝑈𝐿 → (((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
3029adantl 474 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
3130ralbidv 3167 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
32312ralbidv 3170 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
3320, 32mpbird 249 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)))
34 eqid 2799 . . . 4 (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
35 eqid 2799 . . . 4 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
3634, 35mgpbas 18811 . . 3 (Base‘𝐼) = (Base‘(mulGrp‘𝐼))
37 eqid 2799 . . . 4 (.r𝐼) = (.r𝐼)
3834, 37mgpplusg 18809 . . 3 (.r𝐼) = (+g‘(mulGrp‘𝐼))
3936, 38issgrp 17600 . 2 ((mulGrp‘𝐼) ∈ SGrp ↔ ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))))
403, 33, 39sylanbrc 579 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈𝐿) → (mulGrp‘𝐼) ∈ SGrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  s cress 16185  .rcmulr 16268  Mgmcmgm 17555  SGrpcsgrp 17598  Mndcmnd 17609  mulGrpcmgp 18805  Ringcrg 18863  LIdealclidl 19493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-subg 17904  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-subrg 19096  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-sra 19495  df-rgmod 19496  df-lidl 19497
This theorem is referenced by:  lidlrng  42726
  Copyright terms: Public domain W3C validator