Theorem ig1pnunit 34012

Description: The polynomial ideal generator is not a unit polynomial. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ig1pirred.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ig1pirred.g	⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
ig1pirred.u	⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
ig1pirred.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ig1pirred.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
ig1pirred.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
ig1pnunit	⊢ (𝜑 → ¬ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unit‘𝑃))

Proof of Theorem ig1pnunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ig1pirred.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Unit‘𝑃) = (Unit‘𝑃)
3		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐺‘𝐼) ∈ (Unit‘𝑃))
4		ig1pirred.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
5		ig1pirred.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
6		ig1pirred.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
7		ig1pirred.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (idlGen1p‘𝑅)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (LIdeal‘𝑃) = (LIdeal‘𝑃)
9	6, 7, 8	ig1pcl 26405	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃)) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
10	4, 5, 9	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
11	10	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unit‘𝑃)) → (𝐺‘𝐼) ∈ 𝐼)
12	4	drngringd 20899	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
13	6	ply1ring 22473	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
14	12, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
15	14	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝑃 ∈ Ring)
16	5	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑃))
17	1, 2, 3, 11, 15, 16	lidlunitel 33852	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐼 = 𝑈)
18		ig1pirred.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ≠ 𝑈)
19	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unit‘𝑃)) → 𝐼 ≠ 𝑈)
20	19	neneqd 2960	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unit‘𝑃)) → ¬ 𝐼 = 𝑈)
21	17, 20	pm2.65da 829	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐺‘𝐼) ∈ (Unit‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6533  Basecbs 17302  Ringcrg 20373  Unitcui 20497  DivRingcdr 20891  LIdealclidl 21394  Poly₁cpl1 22403  idlGen_1pcig1p 26356

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-sup 9413  df-inf 9414  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-starv 17358  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-unif 17366  df-hom 17367  df-cco 17368  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-prds 17533  df-pws 17535  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-rlreg 20857  df-drng 20893  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-lidl 21396  df-cnfld 21587  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-vr1 22407  df-ply1 22408  df-coe1 22409  df-mdeg 26281  df-deg1 26282  df-mon1 26357  df-uc1p 26358  df-ig1p 26361

This theorem is used by:  minplyirred  34222