Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrshp3 38804
Description: The kernels of nonzero functionals are hyperplanes. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshp3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp3.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp3.o 0 = (0g𝐷)
lkrshp3.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp3.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp3.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrshp3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrshp3.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrshp3 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∈ 𝐻𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem lkrshp3
StepHypRef Expression
1 lkrshp3.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lkrshp3.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3 lkrshp3.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 21084 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
65adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LMod)
7 simpr 483 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
81, 2, 6, 7lshpne 38680 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾𝐺) ≠ 𝑉)
9 lkrshp3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
10 lkrshp3.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11 lkrshp3.o . . . . . . 7 0 = (0g𝐷)
12 lkrshp3.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13 lkrshp3.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKer‘𝑊)
1410, 11, 1, 12, 13lkr0f 38792 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
155, 9, 14syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
1615adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
1716necon3bid 2975 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾𝐺) ≠ 𝑉𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
188, 17mpbid 231 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
193adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
209adantr 479 . . 3 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺𝐹)
21 simpr 483 . . 3 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
221, 10, 11, 2, 12, 13lkrshp 38803 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
2319, 20, 21, 22syl3anc 1368 . 2 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
2418, 23impbida 799 1 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∈ 𝐻𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  {csn 4633   × cxp 5680  cfv 6554  Basecbs 17213  Scalarcsca 17269  0gc0g 17454  LModclmod 20836  LVecclvec 21080  LSHypclsh 38673  LFnlclfn 38755  LKerclk 38783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-cntz 19311  df-lsm 19634  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-drng 20709  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-lvec 21081  df-lshyp 38675  df-lfl 38756  df-lkr 38784
This theorem is referenced by:  lshpset2N  38817  lduallkr3  38860
  Copyright terms: Public domain W3C validator