Theorem lkrshp3 39552

Description: The kernels of nonzero functionals are hyperplanes. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrshp3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp3.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp3.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrshp3.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp3.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrshp3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrshp3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrshp3	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem lkrshp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrshp3.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lkrshp3.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lkrshp3.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21101	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LMod)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
8	1, 2, 6, 7	lshpne 39428	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉)
9		lkrshp3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10		lkrshp3.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lkrshp3.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12		lkrshp3.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13		lkrshp3.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
14	10, 11, 1, 12, 13	lkr0f 39540	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
15	5, 9, 14	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
17	16	necon3bid 2977	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
18	8, 17	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
19	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
20	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ∈ 𝐹)
21		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
22	1, 10, 11, 2, 12, 13	lkrshp 39551	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
24	18, 23	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {csn 4568   × cxp 5629  ‘cfv 6499  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223  0_gc0g 17402  LModclmod 20855  LVecclvec 21097  LSHypclsh 39421  LFnlclfn 39503  LKerclk 39531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914  df-subg 19099  df-cntz 19292  df-lsm 19611  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-drng 20708  df-lmod 20857  df-lss 20927  df-lsp 20967  df-lvec 21098  df-lshyp 39423  df-lfl 39504  df-lkr 39532

This theorem is referenced by:  lshpset2N  39565  lduallkr3  39608