Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrshp3 37129
Description: The kernels of nonzero functionals are hyperplanes. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshp3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp3.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp3.o 0 = (0g𝐷)
lkrshp3.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp3.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp3.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrshp3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrshp3.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrshp3 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∈ 𝐻𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem lkrshp3
StepHypRef Expression
1 lkrshp3.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lkrshp3.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3 lkrshp3.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 20379 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
65adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LMod)
7 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
81, 2, 6, 7lshpne 37005 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾𝐺) ≠ 𝑉)
9 lkrshp3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
10 lkrshp3.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11 lkrshp3.o . . . . . . 7 0 = (0g𝐷)
12 lkrshp3.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13 lkrshp3.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKer‘𝑊)
1410, 11, 1, 12, 13lkr0f 37117 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
155, 9, 14syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
1615adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
1716necon3bid 2990 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾𝐺) ≠ 𝑉𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
188, 17mpbid 231 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
193adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
209adantr 481 . . 3 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺𝐹)
21 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
221, 10, 11, 2, 12, 13lkrshp 37128 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
2319, 20, 21, 22syl3anc 1370 . 2 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
2418, 23impbida 798 1 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∈ 𝐻𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110  wne 2945  {csn 4567   × cxp 5588  cfv 6432  Basecbs 16923  Scalarcsca 16976  0gc0g 17161  LModclmod 20134  LVecclvec 20375  LSHypclsh 36998  LFnlclfn 37080  LKerclk 37108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-tpos 8034  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-map 8609  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-sets 16876  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-base 16924  df-ress 16953  df-plusg 16986  df-mulr 16987  df-0g 17163  df-mgm 18337  df-sgrp 18386  df-mnd 18397  df-submnd 18442  df-grp 18591  df-minusg 18592  df-sbg 18593  df-subg 18763  df-cntz 18934  df-lsm 19252  df-cmn 19399  df-abl 19400  df-mgp 19732  df-ur 19749  df-ring 19796  df-oppr 19873  df-dvdsr 19894  df-unit 19895  df-invr 19925  df-drng 20004  df-lmod 20136  df-lss 20205  df-lsp 20245  df-lvec 20376  df-lshyp 37000  df-lfl 37081  df-lkr 37109
This theorem is referenced by:  lshpset2N  37142  lduallkr3  37185
  Copyright terms: Public domain W3C validator