Theorem lkrshp3 39129

Description: The kernels of nonzero functionals are hyperplanes. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrshp3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp3.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp3.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrshp3.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp3.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrshp3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrshp3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrshp3	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem lkrshp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrshp3.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lkrshp3.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lkrshp3.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21069	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LMod)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
8	1, 2, 6, 7	lshpne 39005	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉)
9		lkrshp3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10		lkrshp3.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lkrshp3.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12		lkrshp3.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13		lkrshp3.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
14	10, 11, 1, 12, 13	lkr0f 39117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
15	5, 9, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
17	16	necon3bid 2977	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
18	8, 17	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
19	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
20	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ∈ 𝐹)
21		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
22	1, 10, 11, 2, 12, 13	lkrshp 39128	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
24	18, 23	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  {csn 4606   × cxp 5657  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  Scalarcsca 17279  0_gc0g 17458  LModclmod 20822  LVecclvec 21065  LSHypclsh 38998  LFnlclfn 39080  LKerclk 39108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-drng 20696  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-lvec 21066  df-lshyp 39000  df-lfl 39081  df-lkr 39109

This theorem is referenced by:  lshpset2N  39142  lduallkr3  39185