Theorem lkrshp3 36236

Description: The kernels of nonzero functionals are hyperplanes. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrshp3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp3.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp3.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrshp3.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp3.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrshp3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrshp3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrshp3	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem lkrshp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrshp3.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lkrshp3.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lkrshp3.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 19872	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LMod)
7		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
8	1, 2, 6, 7	lshpne 36112	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉)
9		lkrshp3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10		lkrshp3.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lkrshp3.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12		lkrshp3.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13		lkrshp3.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
14	10, 11, 1, 12, 13	lkr0f 36224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
15	5, 9, 14	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
16	15	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
17	16	necon3bid 3060	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
18	8, 17	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
19	3	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
20	9	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ∈ 𝐹)
21		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
22	1, 10, 11, 2, 12, 13	lkrshp 36235	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
24	18, 23	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  {csn 4561   × cxp 5548  ‘cfv 6350  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562  0_gc0g 16707  LModclmod 19628  LVecclvec 19868  LSHypclsh 36105  LFnlclfn 36187  LKerclk 36215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-cntz 18441  df-lsm 18755  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-drng 19498  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-lvec 19869  df-lshyp 36107  df-lfl 36188  df-lkr 36216

This theorem is referenced by:  lshpset2N  36249  lduallkr3  36292