Theorem lkrshp3 39445

Description: The kernels of nonzero functionals are hyperplanes. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrshp3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp3.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp3.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrshp3.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp3.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrshp3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrshp3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrshp3	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem lkrshp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrshp3.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lkrshp3.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lkrshp3.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21063	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LMod)
7		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
8	1, 2, 6, 7	lshpne 39321	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉)
9		lkrshp3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10		lkrshp3.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lkrshp3.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12		lkrshp3.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13		lkrshp3.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
14	10, 11, 1, 12, 13	lkr0f 39433	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
15	5, 9, 14	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
16	15	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
17	16	necon3bid 2977	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
18	8, 17	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
19	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
20	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ∈ 𝐹)
21		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
22	1, 10, 11, 2, 12, 13	lkrshp 39444	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
24	18, 23	impbida 801	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {csn 4581   × cxp 5623  ‘cfv 6493  Basecbs 17141  Scalarcsca 17185  0_gc0g 17364  LModclmod 20816  LVecclvec 21059  LSHypclsh 39314  LFnlclfn 39396  LKerclk 39424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-0g 17366  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18714  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-subg 19058  df-cntz 19251  df-lsm 19570  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20278  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-drng 20669  df-lmod 20818  df-lss 20888  df-lsp 20928  df-lvec 21060  df-lshyp 39316  df-lfl 39397  df-lkr 39425

This theorem is referenced by:  lshpset2N  39458  lduallkr3  39501