Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrshp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrshp3 34916
Description: The kernels of nonzero functionals are hyperplanes. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrshp3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp3.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp3.o 0 = (0g𝐷)
lkrshp3.h 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp3.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp3.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrshp3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrshp3.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrshp3 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∈ 𝐻𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem lkrshp3
StepHypRef Expression
1 lkrshp3.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lkrshp3.h . . . 4 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3 lkrshp3.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
4 lveclmod 19320 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
65adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LMod)
7 simpr 471 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
81, 2, 6, 7lshpne 34792 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾𝐺) ≠ 𝑉)
9 lkrshp3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
10 lkrshp3.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11 lkrshp3.o . . . . . . 7 0 = (0g𝐷)
12 lkrshp3.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13 lkrshp3.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKer‘𝑊)
1410, 11, 1, 12, 13lkr0f 34904 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
155, 9, 14syl2anc 567 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
1615adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
1716necon3bid 2987 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾𝐺) ≠ 𝑉𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
188, 17mpbid 222 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐾𝐺) ∈ 𝐻) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
193adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
209adantr 466 . . 3 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺𝐹)
21 simpr 471 . . 3 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
221, 10, 11, 2, 12, 13lkrshp 34915 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
2319, 20, 21, 22syl3anc 1476 . 2 ((𝜑𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) ∈ 𝐻)
2418, 23impbida 796 1 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∈ 𝐻𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  {csn 4317   × cxp 5248  cfv 6032  Basecbs 16065  Scalarcsca 16153  0gc0g 16309  LModclmod 19074  LVecclvec 19316  LSHypclsh 34785  LFnlclfn 34867  LKerclk 34895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-tpos 7505  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-map 8012  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-mulr 16164  df-0g 16311  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-submnd 17545  df-grp 17634  df-minusg 17635  df-sbg 17636  df-subg 17800  df-cntz 17958  df-lsm 18259  df-cmn 18403  df-abl 18404  df-mgp 18699  df-ur 18711  df-ring 18758  df-oppr 18832  df-dvdsr 18850  df-unit 18851  df-invr 18881  df-drng 18960  df-lmod 19076  df-lss 19144  df-lsp 19186  df-lvec 19317  df-lshyp 34787  df-lfl 34868  df-lkr 34896
This theorem is referenced by:  lshpset2N  34929  lduallkr3  34972
  Copyright terms: Public domain W3C validator