Theorem lkrshp3 38804

Description: The kernels of nonzero functionals are hyperplanes. (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrshp3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp3.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrshp3.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrshp3.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp3.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp3.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrshp3.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrshp3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrshp3	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem lkrshp3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrshp3.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lkrshp3.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lkrshp3.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
4		lveclmod 21084	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
6	5	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LMod)
7		simpr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
8	1, 2, 6, 7	lshpne 38680	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉)
9		lkrshp3.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
10		lkrshp3.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
11		lkrshp3.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
12		lkrshp3.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
13		lkrshp3.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
14	10, 11, 1, 12, 13	lkr0f 38792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
15	5, 9, 14	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
16	15	adantr 479	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
17	16	necon3bid 2975	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))
18	8, 17	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
19	3	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝑊 ∈ LVec)
20	9	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ∈ 𝐹)
21		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }))
22	1, 10, 11, 2, 12, 13	lkrshp 38803	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
23	19, 20, 21, 22	syl3anc 1368	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
24	18, 23	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ↔ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  {csn 4633   × cxp 5680  ‘cfv 6554  Basecbs 17213  Scalarcsca 17269  0_gc0g 17454  LModclmod 20836  LVecclvec 21080  LSHypclsh 38673  LFnlclfn 38755  LKerclk 38783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-cntz 19311  df-lsm 19634  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-drng 20709  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-lvec 21081  df-lshyp 38675  df-lfl 38756  df-lkr 38784

This theorem is referenced by:  lshpset2N  38817  lduallkr3  38860