Theorem lkrshpor 39544

Description: The kernel of a functional is either a hyperplane or the full vector space. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrshpor.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshpor.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshpor.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshpor.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrshpor.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrshpor.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrshpor	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ∨ (𝐾‘𝐺) = 𝑉))

Proof of Theorem lkrshpor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrshpor.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21060	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lkrshpor.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
7		lkrshpor.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lkrshpor.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9		lkrshpor.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	lkr0f 39531	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
11	3, 4, 10	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
12	11	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉)
13	12	olcd 875	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ∨ (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
14	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑊 ∈ LVec)
15	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
17		lkrshpor.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
18	7, 5, 6, 17, 8, 9	lkrshp 39542	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
19	14, 15, 16, 18	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
20	19	orcd 874	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ∨ (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
21	13, 20	pm2.61dane 3020	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ∨ (𝐾‘𝐺) = 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {csn 4568   × cxp 5620  ‘cfv 6490  Basecbs 17137  Scalarcsca 17181  0_gc0g 17360  LModclmod 20813  LVecclvec 21056  LSHypclsh 39412  LFnlclfn 39494  LKerclk 39522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8167  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17138  df-ress 17159  df-plusg 17191  df-mulr 17192  df-0g 17362  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18710  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-subg 19057  df-cntz 19250  df-lsm 19569  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20275  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-drng 20666  df-lmod 20815  df-lss 20885  df-lsp 20925  df-lvec 21057  df-lshyp 39414  df-lfl 39495  df-lkr 39523

This theorem is referenced by:  lkrshp4  39545  lkrpssN  39600  dochlkr  41822  dochkrshp  41823  lclkrlem2e  41948  lclkrlem2h  41951  lclkrlem2s  41962