Theorem lkrshpor 39095

Description: The kernel of a functional is either a hyperplane or the full vector space. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrshpor.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshpor.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshpor.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshpor.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrshpor.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrshpor.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrshpor	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ∨ (𝐾‘𝐺) = 𝑉))

Proof of Theorem lkrshpor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrshpor.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21047	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lkrshpor.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
5		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
7		lkrshpor.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lkrshpor.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9		lkrshpor.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	lkr0f 39082	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
11	3, 4, 10	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
12	11	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉)
13	12	olcd 874	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ∨ (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
14	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑊 ∈ LVec)
15	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
17		lkrshpor.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
18	7, 5, 6, 17, 8, 9	lkrshp 39093	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
19	14, 15, 16, 18	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
20	19	orcd 873	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ∨ (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
21	13, 20	pm2.61dane 3012	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ∨ (𝐾‘𝐺) = 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {csn 4585   × cxp 5629  ‘cfv 6500  Basecbs 17157  Scalarcsca 17201  0_gc0g 17380  LModclmod 20800  LVecclvec 21043  LSHypclsh 38963  LFnlclfn 39045  LKerclk 39073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7824  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-tpos 8183  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-er 8649  df-map 8779  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12166  df-2 12228  df-3 12229  df-sets 17112  df-slot 17130  df-ndx 17142  df-base 17158  df-ress 17179  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-0g 17382  df-mgm 18551  df-sgrp 18630  df-mnd 18646  df-submnd 18695  df-grp 18852  df-minusg 18853  df-sbg 18854  df-subg 19039  df-cntz 19233  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-ring 20157  df-oppr 20259  df-dvdsr 20279  df-unit 20280  df-invr 20310  df-drng 20653  df-lmod 20802  df-lss 20872  df-lsp 20912  df-lvec 21044  df-lshyp 38965  df-lfl 39046  df-lkr 39074

This theorem is referenced by:  lkrshp4  39096  lkrpssN  39151  dochlkr  41374  dochkrshp  41375  lclkrlem2e  41500  lclkrlem2h  41503  lclkrlem2s  41514