Theorem lkrshpor 39669

Description: The kernel of a functional is either a hyperplane or the full vector space. (Contributed by NM, 7-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrshpor.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshpor.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshpor.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshpor.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrshpor.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrshpor.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrshpor	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ∨ (𝐾‘𝐺) = 𝑉))

Proof of Theorem lkrshpor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrshpor.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		lveclmod 21142	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4		lkrshpor.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
5		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
6		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
7		lkrshpor.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lkrshpor.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9		lkrshpor.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
10	5, 6, 7, 8, 9	lkr0f 39656	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
11	3, 4, 10	syl2anc 592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})))
12	11	biimpar 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉)
13	12	olcd 883	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ∨ (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
14	1	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝑊 ∈ LVec)
15	4	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝐺 ∈ 𝐹)
16		simpr 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))}))
17		lkrshpor.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
18	7, 5, 6, 17, 8, 9	lkrshp 39667	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
19	14, 15, 16, 18	syl3anc 1382	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
20	19	orcd 882	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g‘(Scalar‘𝑊))})) → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ∨ (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
21	13, 20	pm2.61dane 3034	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ∨ (𝐾‘𝐺) = 𝑉))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 856   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  {csn 4572   × cxp 5634  ‘cfv 6506  Basecbs 17217  Scalarcsca 17261  0_gc0g 17440  LModclmod 20896  LVecclvec 21138  LSHypclsh 39537  LFnlclfn 39619  LKerclk 39647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-tpos 8190  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-map 8794  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-0g 17442  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-submnd 18790  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-subg 19137  df-cntz 19329  df-lsm 19648  df-cmn 19794  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20354  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20749  df-lmod 20898  df-lss 20968  df-lsp 21008  df-lvec 21139  df-lshyp 39539  df-lfl 39620  df-lkr 39648

This theorem is referenced by:  lkrshp4  39670  lkrpssN  39725  dochlkr  41947  dochkrshp  41948  lclkrlem2e  42073  lclkrlem2h  42076  lclkrlem2s  42087