Theorem lkrshp4 39213

Description: A kernel is a hyperplane iff it doesn't contain all vectors. (Contributed by NM, 1-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrshp4.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp4.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp4.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp4.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrshp4.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrshp4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrshp4	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻))

Proof of Theorem lkrshp4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrshp4.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lkrshp4.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lkrshp4.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4		lkrshp4.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
5		lkrshp4.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lkrshp4.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lkrshpor 39212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ∨ (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
8	7	orcomd 871	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ∨ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻))
9		neor 3020	. . 3 ⊢ (((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ∨ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) ↔ ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻))
10	8, 9	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻))
11		lveclmod 21046	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
12	5, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LMod)
14		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
15	1, 2, 13, 14	lshpne 39087	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉)
16	15	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 → (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉))
17	10, 16	impbid 212	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6487  Basecbs 17126  LModclmod 20799  LVecclvec 21042  LSHypclsh 39080  LFnlclfn 39162  LKerclk 39190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-0g 17351  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-submnd 18698  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19042  df-cntz 19235  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-oppr 20261  df-dvdsr 20281  df-unit 20282  df-invr 20312  df-drng 20652  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-lsp 20911  df-lvec 21043  df-lshyp 39082  df-lfl 39163  df-lkr 39191

This theorem is referenced by:  lkrpssN  39268  dochkrshp3  41493  lcfl9a  41610