Theorem lkrshp4 39597

Description: A kernel is a hyperplane iff it doesn't contain all vectors. (Contributed by NM, 1-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrshp4.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrshp4.h	⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
lkrshp4.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrshp4.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrshp4.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrshp4.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lkrshp4	⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻))

Proof of Theorem lkrshp4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrshp4.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lkrshp4.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LSHyp‘𝑊)
3		lkrshp4.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4		lkrshp4.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
5		lkrshp4.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
6		lkrshp4.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lkrshpor 39596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 ∨ (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
8	7	orcomd 873	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ∨ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻))
9		neor 3023	. . 3 ⊢ (((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ∨ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) ↔ ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻))
10	8, 9	sylib 219	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻))
11		lveclmod 21099	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
12	5, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13	12	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → 𝑊 ∈ LMod)
14		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻)
15	1, 2, 13, 14	lshpne 39471	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻) → (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉)
16	15	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻 → (𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉))
17	10, 16	impbid 213	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐾‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ (𝐾‘𝐺) ∈ 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 849   = wceq 1543   ∈ wcel 2115   ≠ wne 2931  ‘cfv 6488  Basecbs 17173  LModclmod 20853  LVecclvec 21095  LSHypclsh 39464  LFnlclfn 39546  LKerclk 39574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1970  ax-7 2011  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2148  ax-11 2164  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7681  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 850  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2070  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3061  df-rmo 3341  df-reu 3342  df-rab 3389  df-v 3430  df-sbc 3727  df-csb 3835  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-pss 3906  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7934  df-2nd 7935  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19093  df-cntz 19286  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-drng 20706  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-lsp 20965  df-lvec 21096  df-lshyp 39466  df-lfl 39547  df-lkr 39575

This theorem is referenced by:  lkrpssN  39652  dochkrshp3  41877  lcfl9a  41994