Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl9a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfl9a 40018
Description: Property implying that a functional has a closed kernel. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl9a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcfl9a.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfl9a.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfl9a.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfl9a.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lcfl9a.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lcfl9a.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcfl9a.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfl9a.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lcfl9a.s (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) βŠ† (πΏβ€˜πΊ))
Assertion
Ref Expression
lcfl9a (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ))

Proof of Theorem lcfl9a
StepHypRef Expression
1 lcfl9a.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 lcfl9a.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 lcfl9a.o . . . . 5 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 lcfl9a.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 lcfl9a.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
61, 2, 3, 4, 5dochoc1 39874 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)) = 𝑉)
76adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)) = 𝑉)
8 lcfl9a.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
9 lcfl9a.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
101, 2, 5dvhlmod 39623 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
11 lcfl9a.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
124, 8, 9, 10, 11lkrssv 37608 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† 𝑉)
1312adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† 𝑉)
14 sneq 4600 . . . . . . . . 9 (𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ {𝑋} = {(0gβ€˜π‘ˆ)})
1514fveq2d 6850 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) = ( βŠ₯ β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}))
16 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
171, 2, 3, 4, 16doch0 39871 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( βŠ₯ β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = 𝑉)
185, 17syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = 𝑉)
1915, 18sylan9eqr 2795 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) = 𝑉)
20 lcfl9a.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) βŠ† (πΏβ€˜πΊ))
2120adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) βŠ† (πΏβ€˜πΊ))
2219, 21eqsstrrd 3987 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑉 βŠ† (πΏβ€˜πΊ))
2313, 22eqssd 3965 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉)
2423fveq2d 6850 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) = ( βŠ₯ β€˜π‘‰))
2524fveq2d 6850 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)))
267, 25, 233eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ))
276adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)) = 𝑉)
28 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉)
2928fveq2d 6850 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) = ( βŠ₯ β€˜π‘‰))
3029fveq2d 6850 . . 3 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)))
3127, 30, 283eqtr4d 2783 . 2 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ))
32 lcfl9a.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3332snssd 4773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
34 eqid 2733 . . . . . . 7 ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
351, 34, 2, 4, 3dochcl 39866 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
365, 33, 35syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
371, 34, 3dochoc 39880 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{𝑋}))) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
385, 36, 37syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{𝑋}))) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
3938adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{𝑋}))) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
4020adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) βŠ† (πΏβ€˜πΊ))
41 eqid 2733 . . . . . . 7 (LSHypβ€˜π‘ˆ) = (LSHypβ€˜π‘ˆ)
421, 2, 5dvhlvec 39622 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
4342adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
445adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4532adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
46 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))
47 eldifsn 4751 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)))
4845, 46, 47sylanbrc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
491, 3, 2, 4, 16, 41, 44, 48dochsnshp 39966 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∈ (LSHypβ€˜π‘ˆ))
50 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)
514, 41, 8, 9, 42, 11lkrshp4 37620 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉 ↔ (πΏβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘ˆ)))
5251adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉 ↔ (πΏβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘ˆ)))
5350, 52mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ (πΏβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘ˆ))
5441, 43, 49, 53lshpcmp 37500 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ (( βŠ₯ β€˜{𝑋}) βŠ† (πΏβ€˜πΊ) ↔ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) = (πΏβ€˜πΊ)))
5540, 54mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) = (πΏβ€˜πΊ))
5655fveq2d 6850 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{𝑋})) = ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)))
5756fveq2d 6850 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{𝑋}))) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))))
5839, 57, 553eqtr3d 2781 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ))
5926, 31, 58pm2.61da2ne 3030 1 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  {csn 4590  ran crn 5638  β€˜cfv 6500  Basecbs 17091  0gc0g 17329  LVecclvec 20607  LSHypclsh 37487  LFnlclfn 37569  LKerclk 37597  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DVecHcdvh 39591  DIsoHcdih 39741  ocHcoch 39860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-lsatoms 37488  df-lshyp 37489  df-lfl 37570  df-lkr 37598  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tgrp 39256  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-dveca 39516  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742  df-doch 39861  df-djh 39908
This theorem is referenced by:  mapdsn  40154
  Copyright terms: Public domain W3C validator