Theorem lcfl9a 40371

Description: Property implying that a functional has a closed kernel. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfl9a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfl9a.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl9a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfl9a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfl9a.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfl9a.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lcfl9a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfl9a.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfl9a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lcfl9a.s	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
lcfl9a	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))

Proof of Theorem lcfl9a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfl9a.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcfl9a.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		lcfl9a.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		lcfl9a.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		lcfl9a.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 2, 3, 4, 5	dochoc1 40227	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)) = 𝑉)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)) = 𝑉)
8		lcfl9a.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		lcfl9a.l	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10	1, 2, 5	dvhlmod 39976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11		lcfl9a.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
12	4, 8, 9, 10, 11	lkrssv 37961	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
13	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
14		sneq 4638	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → {𝑋} = {(0g‘𝑈)})
15	14	fveq2d 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = (0g‘𝑈) → ( ⊥ ‘{𝑋}) = ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}))
16		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
17	1, 2, 3, 4, 16	doch0 40224	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
18	5, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{(0g‘𝑈)}) = 𝑉)
19	15, 18	sylan9eqr 2794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘{𝑋}) = 𝑉)
20		lcfl9a.s	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝐺))
21	20	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝐺))
22	19, 21	eqsstrrd 4021	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → 𝑉 ⊆ (𝐿‘𝐺))
23	13, 22	eqssd 3999	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
24	23	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ( ⊥ ‘𝑉))
25	24	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)))
26	7, 25, 23	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = (0g‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
27	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)) = 𝑉)
28		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → (𝐿‘𝐺) = 𝑉)
29	28	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ( ⊥ ‘𝑉))
30	29	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)))
31	27, 30, 28	3eqtr4d 2782	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘𝐺) = 𝑉) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
32		lcfl9a.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
33	32	snssd 4812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
34		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
35	1, 34, 2, 4, 3	dochcl 40219	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
36	5, 33, 35	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
37	1, 34, 3	dochoc 40233	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋}))) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
38	5, 36, 37	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋}))) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
39	38	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋}))) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
40	20	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)) → ( ⊥ ‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝐺))
41		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
42	1, 2, 5	dvhlvec 39975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
43	42	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)) → 𝑈 ∈ LVec)
44	5	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
45	32	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
46		simprl 769	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)) → 𝑋 ≠ (0g‘𝑈))
47		eldifsn 4790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑈)))
48	45, 46, 47	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ {(0g‘𝑈)}))
49	1, 3, 2, 4, 16, 41, 44, 48	dochsnshp 40319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)) → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ (LSHyp‘𝑈))
50		simprr 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)) → (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)
51	4, 41, 8, 9, 42, 11	lkrshp4 37973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ (𝐿‘𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)))
52	51	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)) → ((𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉 ↔ (𝐿‘𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈)))
53	50, 52	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)) → (𝐿‘𝐺) ∈ (LSHyp‘𝑈))
54	41, 43, 49, 53	lshpcmp 37853	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)) → (( ⊥ ‘{𝑋}) ⊆ (𝐿‘𝐺) ↔ ( ⊥ ‘{𝑋}) = (𝐿‘𝐺)))
55	40, 54	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)) → ( ⊥ ‘{𝑋}) = (𝐿‘𝐺))
56	55	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
57	56	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋}))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))))
58	39, 57, 55	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ≠ (0g‘𝑈) ∧ (𝐿‘𝐺) ≠ 𝑉)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
59	26, 31, 58	pm2.61da2ne 3030	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ran crn 5677  ‘cfv 6543  Basecbs 17143  0_gc0g 17384  LVecclvec 20712  LSHypclsh 37840  LFnlclfn 37922  LKerclk 37950  HLchlt 38215  LHypclh 38850  DVecHcdvh 39944  DIsoHcdih 40094  ocHcoch 40213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 37818

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-p1 18378  df-lat 18384  df-clat 18451  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-lsatoms 37841  df-lshyp 37842  df-lfl 37923  df-lkr 37951  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-llines 38364  df-lplanes 38365  df-lvols 38366  df-lines 38367  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662  df-lhyp 38854  df-laut 38855  df-ldil 38970  df-ltrn 38971  df-trl 39025  df-tgrp 39609  df-tendo 39621  df-edring 39623  df-dveca 39869  df-disoa 39895  df-dvech 39945  df-dib 40005  df-dic 40039  df-dih 40095  df-doch 40214  df-djh 40261

This theorem is referenced by:  mapdsn  40507