Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl9a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfl9a 40866
Description: Property implying that a functional has a closed kernel. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl9a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcfl9a.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfl9a.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfl9a.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfl9a.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lcfl9a.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lcfl9a.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcfl9a.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfl9a.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lcfl9a.s (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) βŠ† (πΏβ€˜πΊ))
Assertion
Ref Expression
lcfl9a (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ))

Proof of Theorem lcfl9a
StepHypRef Expression
1 lcfl9a.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 lcfl9a.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 lcfl9a.o . . . . 5 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 lcfl9a.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 lcfl9a.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
61, 2, 3, 4, 5dochoc1 40722 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)) = 𝑉)
76adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)) = 𝑉)
8 lcfl9a.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
9 lcfl9a.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
101, 2, 5dvhlmod 40471 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
11 lcfl9a.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
124, 8, 9, 10, 11lkrssv 38456 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† 𝑉)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† 𝑉)
14 sneq 4630 . . . . . . . . 9 (𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ {𝑋} = {(0gβ€˜π‘ˆ)})
1514fveq2d 6885 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) = ( βŠ₯ β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}))
16 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
171, 2, 3, 4, 16doch0 40719 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( βŠ₯ β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = 𝑉)
185, 17syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = 𝑉)
1915, 18sylan9eqr 2786 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) = 𝑉)
20 lcfl9a.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) βŠ† (πΏβ€˜πΊ))
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) βŠ† (πΏβ€˜πΊ))
2219, 21eqsstrrd 4013 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑉 βŠ† (πΏβ€˜πΊ))
2313, 22eqssd 3991 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉)
2423fveq2d 6885 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) = ( βŠ₯ β€˜π‘‰))
2524fveq2d 6885 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)))
267, 25, 233eqtr4d 2774 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ))
276adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)) = 𝑉)
28 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉)
2928fveq2d 6885 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) = ( βŠ₯ β€˜π‘‰))
3029fveq2d 6885 . . 3 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)))
3127, 30, 283eqtr4d 2774 . 2 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ))
32 lcfl9a.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3332snssd 4804 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
34 eqid 2724 . . . . . . 7 ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
351, 34, 2, 4, 3dochcl 40714 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
365, 33, 35syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
371, 34, 3dochoc 40728 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{𝑋}))) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
385, 36, 37syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{𝑋}))) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
3938adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{𝑋}))) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
4020adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) βŠ† (πΏβ€˜πΊ))
41 eqid 2724 . . . . . . 7 (LSHypβ€˜π‘ˆ) = (LSHypβ€˜π‘ˆ)
421, 2, 5dvhlvec 40470 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
4342adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
445adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4532adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
46 simprl 768 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))
47 eldifsn 4782 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)))
4845, 46, 47sylanbrc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
491, 3, 2, 4, 16, 41, 44, 48dochsnshp 40814 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∈ (LSHypβ€˜π‘ˆ))
50 simprr 770 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)
514, 41, 8, 9, 42, 11lkrshp4 38468 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉 ↔ (πΏβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘ˆ)))
5251adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉 ↔ (πΏβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘ˆ)))
5350, 52mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ (πΏβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘ˆ))
5441, 43, 49, 53lshpcmp 38348 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ (( βŠ₯ β€˜{𝑋}) βŠ† (πΏβ€˜πΊ) ↔ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) = (πΏβ€˜πΊ)))
5540, 54mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) = (πΏβ€˜πΊ))
5655fveq2d 6885 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{𝑋})) = ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)))
5756fveq2d 6885 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{𝑋}))) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))))
5839, 57, 553eqtr3d 2772 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ))
5926, 31, 58pm2.61da2ne 3022 1 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   βˆ– cdif 3937   βŠ† wss 3940  {csn 4620  ran crn 5667  β€˜cfv 6533  Basecbs 17143  0gc0g 17384  LVecclvec 20940  LSHypclsh 38335  LFnlclfn 38417  LKerclk 38445  HLchlt 38710  LHypclh 39345  DVecHcdvh 40439  DIsoHcdih 40589  ocHcoch 40708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 38313
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-0g 17386  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20579  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-lvec 20941  df-lsatoms 38336  df-lshyp 38337  df-lfl 38418  df-lkr 38446  df-oposet 38536  df-ol 38538  df-oml 38539  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-llines 38859  df-lplanes 38860  df-lvols 38861  df-lines 38862  df-psubsp 38864  df-pmap 38865  df-padd 39157  df-lhyp 39349  df-laut 39350  df-ldil 39465  df-ltrn 39466  df-trl 39520  df-tgrp 40104  df-tendo 40116  df-edring 40118  df-dveca 40364  df-disoa 40390  df-dvech 40440  df-dib 40500  df-dic 40534  df-dih 40590  df-doch 40709  df-djh 40756
This theorem is referenced by:  mapdsn  41002
  Copyright terms: Public domain W3C validator