Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfl9a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfl9a 40967
Description: Property implying that a functional has a closed kernel. (Contributed by NM, 16-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfl9a.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcfl9a.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfl9a.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfl9a.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfl9a.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lcfl9a.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
lcfl9a.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcfl9a.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfl9a.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lcfl9a.s (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) βŠ† (πΏβ€˜πΊ))
Assertion
Ref Expression
lcfl9a (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ))

Proof of Theorem lcfl9a
StepHypRef Expression
1 lcfl9a.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 lcfl9a.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 lcfl9a.o . . . . 5 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 lcfl9a.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 lcfl9a.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
61, 2, 3, 4, 5dochoc1 40823 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)) = 𝑉)
76adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)) = 𝑉)
8 lcfl9a.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
9 lcfl9a.l . . . . . . . 8 𝐿 = (LKerβ€˜π‘ˆ)
101, 2, 5dvhlmod 40572 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
11 lcfl9a.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
124, 8, 9, 10, 11lkrssv 38557 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† 𝑉)
1312adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (πΏβ€˜πΊ) βŠ† 𝑉)
14 sneq 4634 . . . . . . . . 9 (𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ {𝑋} = {(0gβ€˜π‘ˆ)})
1514fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) = ( βŠ₯ β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}))
16 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
171, 2, 3, 4, 16doch0 40820 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ ( βŠ₯ β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = 𝑉)
185, 17syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = 𝑉)
1915, 18sylan9eqr 2789 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) = 𝑉)
20 lcfl9a.s . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) βŠ† (πΏβ€˜πΊ))
2120adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) βŠ† (πΏβ€˜πΊ))
2219, 21eqsstrrd 4017 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ 𝑉 βŠ† (πΏβ€˜πΊ))
2313, 22eqssd 3995 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉)
2423fveq2d 6895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) = ( βŠ₯ β€˜π‘‰))
2524fveq2d 6895 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)))
267, 25, 233eqtr4d 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 = (0gβ€˜π‘ˆ)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ))
276adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)) = 𝑉)
28 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉)
2928fveq2d 6895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)) = ( βŠ₯ β€˜π‘‰))
3029fveq2d 6895 . . 3 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜π‘‰)))
3127, 30, 283eqtr4d 2777 . 2 ((πœ‘ ∧ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ))
32 lcfl9a.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3332snssd 4808 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {𝑋} βŠ† 𝑉)
34 eqid 2727 . . . . . . 7 ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
351, 34, 2, 4, 3dochcl 40815 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ {𝑋} βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
365, 33, 35syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
371, 34, 3dochoc 40829 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∈ ran ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{𝑋}))) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
385, 36, 37syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{𝑋}))) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
3938adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{𝑋}))) = ( βŠ₯ β€˜{𝑋}))
4020adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) βŠ† (πΏβ€˜πΊ))
41 eqid 2727 . . . . . . 7 (LSHypβ€˜π‘ˆ) = (LSHypβ€˜π‘ˆ)
421, 2, 5dvhlvec 40571 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
4342adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
445adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4532adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
46 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ))
47 eldifsn 4786 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ)))
4845, 46, 47sylanbrc 582 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– {(0gβ€˜π‘ˆ)}))
491, 3, 2, 4, 16, 41, 44, 48dochsnshp 40915 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) ∈ (LSHypβ€˜π‘ˆ))
50 simprr 772 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)
514, 41, 8, 9, 42, 11lkrshp4 38569 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉 ↔ (πΏβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘ˆ)))
5251adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉 ↔ (πΏβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘ˆ)))
5350, 52mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ (πΏβ€˜πΊ) ∈ (LSHypβ€˜π‘ˆ))
5441, 43, 49, 53lshpcmp 38449 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ (( βŠ₯ β€˜{𝑋}) βŠ† (πΏβ€˜πΊ) ↔ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) = (πΏβ€˜πΊ)))
5540, 54mpbid 231 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜{𝑋}) = (πΏβ€˜πΊ))
5655fveq2d 6895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{𝑋})) = ( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ)))
5756fveq2d 6895 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜{𝑋}))) = ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))))
5839, 57, 553eqtr3d 2775 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑋 β‰  (0gβ€˜π‘ˆ) ∧ (πΏβ€˜πΊ) β‰  𝑉)) β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ))
5926, 31, 58pm2.61da2ne 3025 1 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜( βŠ₯ β€˜(πΏβ€˜πΊ))) = (πΏβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  {csn 4624  ran crn 5673  β€˜cfv 6542  Basecbs 17173  0gc0g 17414  LVecclvec 20980  LSHypclsh 38436  LFnlclfn 38518  LKerclk 38546  HLchlt 38811  LHypclh 39446  DVecHcdvh 40540  DIsoHcdih 40690  ocHcoch 40809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-riotaBAD 38414
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17416  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-p1 18411  df-lat 18417  df-clat 18484  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-cntz 19261  df-lsm 19584  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-dvr 20333  df-drng 20619  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-lvec 20981  df-lsatoms 38437  df-lshyp 38438  df-lfl 38519  df-lkr 38547  df-oposet 38637  df-ol 38639  df-oml 38640  df-covers 38727  df-ats 38728  df-atl 38759  df-cvlat 38783  df-hlat 38812  df-llines 38960  df-lplanes 38961  df-lvols 38962  df-lines 38963  df-psubsp 38965  df-pmap 38966  df-padd 39258  df-lhyp 39450  df-laut 39451  df-ldil 39566  df-ltrn 39567  df-trl 39621  df-tgrp 40205  df-tendo 40217  df-edring 40219  df-dveca 40465  df-disoa 40491  df-dvech 40541  df-dib 40601  df-dic 40635  df-dih 40691  df-doch 40810  df-djh 40857
This theorem is referenced by:  mapdsn  41103
  Copyright terms: Public domain W3C validator