Theorem dochsnkr 40855

Description: A (closed) kernel expressed in terms of a nonzero vector in its orthocomplement. TODO: consolidate lemmas unless they're needed for something else (in which case break out as theorems). (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsnkr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsnkr.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsnkr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochsnkr.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochsnkr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochsnkr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsnkr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
dochsnkr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dochsnkr	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))

Proof of Theorem dochsnkr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsnkr.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
2		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
3		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
4		dochsnkr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dochsnkr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dochsnkr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	dvhlvec 40492	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
8		dochsnkr.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochsnkr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		dochsnkr.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		dochsnkr.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		dochsnkr.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13		dochsnkr.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
14	4, 8, 5, 9, 1, 10, 11, 6, 12, 13, 3	dochsnkrlem2 40853	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15	13	eldifad 3955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
16		eldifsni 4788	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
17	13, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
18	1, 2, 3, 7, 14, 15, 17	lsatel 38387	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}))
19	18	fveq2d 6888	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})))
20	4, 8, 5, 9, 1, 10, 11, 6, 12, 13	dochsnkrlem3 40854	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
21	4, 5, 6	dvhlmod 40493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22	9, 10, 11, 21, 12	lkrssv 38478	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
23	4, 5, 9, 8	dochssv 40738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
24	6, 22, 23	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
25	24	ssdifssd 4137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
26	25, 13	sseldd 3978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
27	26	snssd 4807	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
28	4, 5, 8, 9, 2, 6, 27	dochocsp 40762	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
29	19, 20, 28	3eqtr3d 2774	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3940   ⊆ wss 3943  {csn 4623  ‘cfv 6536  Basecbs 17150  0_gc0g 17391  LSpanclspn 20815  LSAtomsclsa 38356  LFnlclfn 38439  LKerclk 38467  HLchlt 38732  LHypclh 39367  DVecHcdvh 40461  ocHcoch 40730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38335

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-0g 17393  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-clat 18461  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-grp 18863  df-minusg 18864  df-sbg 18865  df-subg 19047  df-cntz 19230  df-lsm 19553  df-cmn 19699  df-abl 19700  df-mgp 20037  df-rng 20055  df-ur 20084  df-ring 20137  df-oppr 20233  df-dvdsr 20256  df-unit 20257  df-invr 20287  df-dvr 20300  df-drng 20586  df-lmod 20705  df-lss 20776  df-lsp 20816  df-lvec 20948  df-lsatoms 38358  df-lshyp 38359  df-lfl 38440  df-lkr 38468  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882  df-lvols 38883  df-lines 38884  df-psubsp 38886  df-pmap 38887  df-padd 39179  df-lhyp 39371  df-laut 39372  df-ldil 39487  df-ltrn 39488  df-trl 39542  df-tgrp 40126  df-tendo 40138  df-edring 40140  df-dveca 40386  df-disoa 40412  df-dvech 40462  df-dib 40522  df-dic 40556  df-dih 40612  df-doch 40731  df-djh 40778

This theorem is referenced by:  dochfln0  40860  lcfl6lem  40881