Theorem dochsnkr 40281

Description: A (closed) kernel expressed in terms of a nonzero vector in its orthocomplement. TODO: consolidate lemmas unless they're needed for something else (in which case break out as theorems). (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsnkr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsnkr.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsnkr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochsnkr.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochsnkr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochsnkr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsnkr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
dochsnkr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dochsnkr	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))

Proof of Theorem dochsnkr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsnkr.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
4		dochsnkr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dochsnkr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dochsnkr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	dvhlvec 39918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
8		dochsnkr.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochsnkr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		dochsnkr.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		dochsnkr.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		dochsnkr.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13		dochsnkr.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
14	4, 8, 5, 9, 1, 10, 11, 6, 12, 13, 3	dochsnkrlem2 40279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15	13	eldifad 3959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
16		eldifsni 4792	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
17	13, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
18	1, 2, 3, 7, 14, 15, 17	lsatel 37813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}))
19	18	fveq2d 6892	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})))
20	4, 8, 5, 9, 1, 10, 11, 6, 12, 13	dochsnkrlem3 40280	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
21	4, 5, 6	dvhlmod 39919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22	9, 10, 11, 21, 12	lkrssv 37904	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
23	4, 5, 9, 8	dochssv 40164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
24	6, 22, 23	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
25	24	ssdifssd 4141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
26	25, 13	sseldd 3982	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
27	26	snssd 4811	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
28	4, 5, 8, 9, 2, 6, 27	dochocsp 40188	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
29	19, 20, 28	3eqtr3d 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ∖ cdif 3944   ⊆ wss 3947  {csn 4627  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  LSpanclspn 20570  LSAtomsclsa 37782  LFnlclfn 37865  LKerclk 37893  HLchlt 38158  LHypclh 38793  DVecHcdvh 39887  ocHcoch 40156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37761

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19497  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-dvr 20204  df-drng 20306  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571  df-lvec 20702  df-lsatoms 37784  df-lshyp 37785  df-lfl 37866  df-lkr 37894  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-llines 38307  df-lplanes 38308  df-lvols 38309  df-lines 38310  df-psubsp 38312  df-pmap 38313  df-padd 38605  df-lhyp 38797  df-laut 38798  df-ldil 38913  df-ltrn 38914  df-trl 38968  df-tgrp 39552  df-tendo 39564  df-edring 39566  df-dveca 39812  df-disoa 39838  df-dvech 39888  df-dib 39948  df-dic 39982  df-dih 40038  df-doch 40157  df-djh 40204

This theorem is referenced by:  dochfln0  40286  lcfl6lem  40307