Theorem dochsnkr 41644

Description: A (closed) kernel expressed in terms of a nonzero vector in its orthocomplement. TODO: consolidate lemmas unless they're needed for something else (in which case break out as theorems). (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsnkr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsnkr.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsnkr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochsnkr.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochsnkr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochsnkr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsnkr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
dochsnkr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dochsnkr	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))

Proof of Theorem dochsnkr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsnkr.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
2		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
4		dochsnkr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dochsnkr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dochsnkr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	dvhlvec 41281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
8		dochsnkr.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochsnkr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		dochsnkr.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		dochsnkr.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		dochsnkr.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13		dochsnkr.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
14	4, 8, 5, 9, 1, 10, 11, 6, 12, 13, 3	dochsnkrlem2 41642	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15	13	eldifad 3910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
16		eldifsni 4743	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
17	13, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
18	1, 2, 3, 7, 14, 15, 17	lsatel 39177	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}))
19	18	fveq2d 6835	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})))
20	4, 8, 5, 9, 1, 10, 11, 6, 12, 13	dochsnkrlem3 41643	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
21	4, 5, 6	dvhlmod 41282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22	9, 10, 11, 21, 12	lkrssv 39268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
23	4, 5, 9, 8	dochssv 41527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
24	6, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
25	24	ssdifssd 4096	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
26	25, 13	sseldd 3931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
27	26	snssd 4762	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
28	4, 5, 8, 9, 2, 6, 27	dochocsp 41551	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
29	19, 20, 28	3eqtr3d 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  {csn 4577  ‘cfv 6489  Basecbs 17127  0_gc0g 17350  LSpanclspn 20913  LSAtomsclsa 39146  LFnlclfn 39229  LKerclk 39257  HLchlt 39522  LHypclh 40156  DVecHcdvh 41250  ocHcoch 41519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-riotaBAD 39125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-undef 8212  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-0g 17352  df-proset 18208  df-poset 18227  df-plt 18242  df-lub 18258  df-glb 18259  df-join 18260  df-meet 18261  df-p0 18337  df-p1 18338  df-lat 18346  df-clat 18413  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-subg 19044  df-cntz 19237  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-oppr 20264  df-dvdsr 20284  df-unit 20285  df-invr 20315  df-dvr 20328  df-drng 20655  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-lvec 21046  df-lsatoms 39148  df-lshyp 39149  df-lfl 39230  df-lkr 39258  df-oposet 39348  df-ol 39350  df-oml 39351  df-covers 39438  df-ats 39439  df-atl 39470  df-cvlat 39494  df-hlat 39523  df-llines 39670  df-lplanes 39671  df-lvols 39672  df-lines 39673  df-psubsp 39675  df-pmap 39676  df-padd 39968  df-lhyp 40160  df-laut 40161  df-ldil 40276  df-ltrn 40277  df-trl 40331  df-tgrp 40915  df-tendo 40927  df-edring 40929  df-dveca 41175  df-disoa 41201  df-dvech 41251  df-dib 41311  df-dic 41345  df-dih 41401  df-doch 41520  df-djh 41567

This theorem is referenced by:  dochfln0  41649  lcfl6lem  41670