Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochsnkr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochsnkr 40281
Description: A (closed) kernel expressed in terms of a nonzero vector in its orthocomplement. TODO: consolidate lemmas unless they're needed for something else (in which case break out as theorems). (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dochsnkr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsnkr.o = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsnkr.z 0 = (0g𝑈)
dochsnkr.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochsnkr.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochsnkr.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
dochsnkr.g (𝜑𝐺𝐹)
dochsnkr.x (𝜑𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
Assertion
Ref Expression
dochsnkr (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑋}))

Proof of Theorem dochsnkr
StepHypRef Expression
1 dochsnkr.z . . . 4 0 = (0g𝑈)
2 eqid 2733 . . . 4 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
3 eqid 2733 . . . 4 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
4 dochsnkr.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 dochsnkr.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6 dochsnkr.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
74, 5, 6dvhlvec 39918 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
8 dochsnkr.o . . . . 5 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9 dochsnkr.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
10 dochsnkr.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11 dochsnkr.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12 dochsnkr.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
13 dochsnkr.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }))
144, 8, 5, 9, 1, 10, 11, 6, 12, 13, 3dochsnkrlem2 40279 . . . 4 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
1513eldifad 3959 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ ( ‘(𝐿𝐺)))
16 eldifsni 4792 . . . . 5 (𝑋 ∈ (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) → 𝑋0 )
1713, 16syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋0 )
181, 2, 3, 7, 14, 15, 17lsatel 37813 . . 3 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}))
1918fveq2d 6892 . 2 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = ( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})))
204, 8, 5, 9, 1, 10, 11, 6, 12, 13dochsnkrlem3 40280 . 2 (𝜑 → ( ‘( ‘(𝐿𝐺))) = (𝐿𝐺))
214, 5, 6dvhlmod 39919 . . . . . . . 8 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
229, 10, 11, 21, 12lkrssv 37904 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉)
234, 5, 9, 8dochssv 40164 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
246, 22, 23syl2anc 585 . . . . . 6 (𝜑 → ( ‘(𝐿𝐺)) ⊆ 𝑉)
2524ssdifssd 4141 . . . . 5 (𝜑 → (( ‘(𝐿𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
2625, 13sseldd 3982 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
2726snssd 4811 . . 3 (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
284, 5, 8, 9, 2, 6, 27dochocsp 40188 . 2 (𝜑 → ( ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = ( ‘{𝑋}))
2919, 20, 283eqtr3d 2781 1 (𝜑 → (𝐿𝐺) = ( ‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  cdif 3944  wss 3947  {csn 4627  cfv 6540  Basecbs 17140  0gc0g 17381  LSpanclspn 20570  LSAtomsclsa 37782  LFnlclfn 37865  LKerclk 37893  HLchlt 38158  LHypclh 38793  DVecHcdvh 39887  ocHcoch 40156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37761
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19497  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-dvr 20204  df-drng 20306  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-lsp 20571  df-lvec 20702  df-lsatoms 37784  df-lshyp 37785  df-lfl 37866  df-lkr 37894  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-llines 38307  df-lplanes 38308  df-lvols 38309  df-lines 38310  df-psubsp 38312  df-pmap 38313  df-padd 38605  df-lhyp 38797  df-laut 38798  df-ldil 38913  df-ltrn 38914  df-trl 38968  df-tgrp 39552  df-tendo 39564  df-edring 39566  df-dveca 39812  df-disoa 39838  df-dvech 39888  df-dib 39948  df-dic 39982  df-dih 40038  df-doch 40157  df-djh 40204
This theorem is referenced by:  dochfln0  40286  lcfl6lem  40307
  Copyright terms: Public domain W3C validator