Theorem dochsnkr 41455

Description: A (closed) kernel expressed in terms of a nonzero vector in its orthocomplement. TODO: consolidate lemmas unless they're needed for something else (in which case break out as theorems). (Contributed by NM, 2-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsnkr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsnkr.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnkr.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsnkr.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochsnkr.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
dochsnkr.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
dochsnkr.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsnkr.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
dochsnkr.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dochsnkr	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))

Proof of Theorem dochsnkr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsnkr.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
2		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
4		dochsnkr.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		dochsnkr.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		dochsnkr.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	dvhlvec 41092	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
8		dochsnkr.o	. . . . 5 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
9		dochsnkr.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		dochsnkr.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
11		dochsnkr.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
12		dochsnkr.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
13		dochsnkr.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }))
14	4, 8, 5, 9, 1, 10, 11, 6, 12, 13, 3	dochsnkrlem2 41453	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15	13	eldifad 3975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)))
16		eldifsni 4795	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) → 𝑋 ≠ 0 )
17	13, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
18	1, 2, 3, 7, 14, 15, 17	lsatel 38987	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) = ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}))
19	18	fveq2d 6911	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})))
20	4, 8, 5, 9, 1, 10, 11, 6, 12, 13	dochsnkrlem3 41454	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺))) = (𝐿‘𝐺))
21	4, 5, 6	dvhlmod 41093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
22	9, 10, 11, 21, 12	lkrssv 39078	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉)
23	4, 5, 9, 8	dochssv 41338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝐺) ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
24	6, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ⊆ 𝑉)
25	24	ssdifssd 4157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝐿‘𝐺)) ∖ { 0 }) ⊆ 𝑉)
26	25, 13	sseldd 3996	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
27	26	snssd 4814	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
28	4, 5, 8, 9, 2, 6, 27	dochocsp 41362	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
29	19, 20, 28	3eqtr3d 2783	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐺) = ( ⊥ ‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  0_gc0g 17486  LSpanclspn 20987  LSAtomsclsa 38956  LFnlclfn 39039  LKerclk 39067  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DVecHcdvh 41061  ocHcoch 41330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lshyp 38959  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212  df-doch 41331  df-djh 41378

This theorem is referenced by:  dochfln0  41460  lcfl6lem  41481