Theorem mapdcnvatN 42297

Description: Atoms are preserved by the map defined by df-mapd 42256. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdat.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdat.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.b	⊢ 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
mapdat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdcnvat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapdcnvatN	⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘𝑄) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem mapdcnvatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdat.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdat.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		mapdat.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 3, 5	dvhlmod 41741	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8	7, 4	lsssn0 21035	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → {(0g‘𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
9	6, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	mapdcnvid1N 42285	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘(𝑀‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
11		mapdat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
13	1, 2, 3, 7, 11, 12, 5	mapd0 42296	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝐶)})
14	13	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘(𝑀‘{(0g‘𝑈)})) = (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))
15	10, 14	eqtr3d 2802	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} = (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))
16		mapdat.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
17		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ( ⋖L ‘𝐶) = ( ⋖L ‘𝐶)
18	1, 11, 5	lcdlvec 42222	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
19		mapdcnvat.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
20	12, 16, 17, 18, 19	lsatcv0 39662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} ( ⋖L ‘𝐶)𝑄)
21	1, 11, 5	lcdlmod 42223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
22		eqid 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
23	12, 22	lsssn0 21035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → {(0g‘𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
24	21, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
25	1, 2, 11, 22, 5	mapdrn2 42282	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
26	24, 25	eleqtrrd 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} ∈ ran 𝑀)
27	1, 2, 5, 26	mapdcnvid2 42288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘{(0g‘𝐶)})) = {(0g‘𝐶)})
28	22, 16, 21, 19	lsatlssel 39628	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝐶))
29	28, 25	eleqtrrd 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ran 𝑀)
30	1, 2, 5, 29	mapdcnvid2 42288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘𝑄)) = 𝑄)
31	20, 27, 30	3brtr4d 5136	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘(◡𝑀‘𝑄)))
32		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ( ⋖L ‘𝑈) = ( ⋖L ‘𝑈)
33	1, 2, 3, 4, 5, 26	mapdcnvcl 42283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34	1, 2, 3, 4, 5, 29	mapdcnvcl 42283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
35	1, 2, 3, 4, 32, 11, 17, 5, 33, 34	mapdcv 42291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑀‘{(0g‘𝐶)})( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄) ↔ (𝑀‘(◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘(◡𝑀‘𝑄))))
36	31, 35	mpbird 260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)})( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄))
37	15, 36	eqbrtrd 5126	. 2 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄))
38		mapdat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
39	1, 3, 5	dvhlvec 41740	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
40	7, 4, 38, 32, 39, 34	lsat0cv 39664	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑀‘𝑄) ∈ 𝐴 ↔ {(0g‘𝑈)} ( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄)))
41	37, 40	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘𝑄) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {csn 4585   class class class wbr 5104  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652  ‘cfv 6525  0_gc0g 17480  LModclmod 20947  LSubSpclss 21018  LSAtomsclsa 39605   ⋖_L clcv 39649  HLchlt 39981  LHypclh 40615  DVecHcdvh 41709  LCDualclcd 42217  mapdcmpd 42255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-riotaBAD 39584

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-undef 8257  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-n0 12493  df-z 12580  df-uz 12851  df-fz 13524  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17482  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-proset 18338  df-poset 18357  df-plt 18372  df-lub 18388  df-glb 18389  df-join 18390  df-meet 18391  df-p0 18467  df-p1 18468  df-lat 18476  df-clat 18543  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-subg 19177  df-cntz 19375  df-oppg 19404  df-lsm 19694  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-oppr 20407  df-dvdsr 20427  df-unit 20428  df-invr 20458  df-dvr 20471  df-nzr 20584  df-rlreg 20767  df-domn 20768  df-drng 20803  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059  df-lvec 21190  df-lsatoms 39607  df-lshyp 39608  df-lcv 39650  df-lfl 39689  df-lkr 39717  df-ldual 39755  df-oposet 39807  df-ol 39809  df-oml 39810  df-covers 39897  df-ats 39898  df-atl 39929  df-cvlat 39953  df-hlat 39982  df-llines 40129  df-lplanes 40130  df-lvols 40131  df-lines 40132  df-psubsp 40134  df-pmap 40135  df-padd 40427  df-lhyp 40619  df-laut 40620  df-ldil 40735  df-ltrn 40736  df-trl 40790  df-tgrp 41374  df-tendo 41386  df-edring 41388  df-dveca 41634  df-disoa 41660  df-dvech 41710  df-dib 41770  df-dic 41804  df-dih 41860  df-doch 41979  df-djh 42026  df-lcdual 42218  df-mapd 42256

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  42489  hdmaprnlem16N  42493