Theorem mapdcnvatN 41606

Description: Atoms are preserved by the map defined by df-mapd 41565. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdat.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdat.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.b	⊢ 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
mapdat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdcnvat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapdcnvatN	⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘𝑄) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem mapdcnvatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdat.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdat.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		mapdat.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 3, 5	dvhlmod 41050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8	7, 4	lsssn0 20890	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → {(0g‘𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	mapdcnvid1N 41594	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘(𝑀‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
11		mapdat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
13	1, 2, 3, 7, 11, 12, 5	mapd0 41605	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝐶)})
14	13	fveq2d 6876	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘(𝑀‘{(0g‘𝑈)})) = (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))
15	10, 14	eqtr3d 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} = (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))
16		mapdat.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
17		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ( ⋖L ‘𝐶) = ( ⋖L ‘𝐶)
18	1, 11, 5	lcdlvec 41531	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
19		mapdcnvat.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
20	12, 16, 17, 18, 19	lsatcv0 38970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} ( ⋖L ‘𝐶)𝑄)
21	1, 11, 5	lcdlmod 41532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
22		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
23	12, 22	lsssn0 20890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → {(0g‘𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
25	1, 2, 11, 22, 5	mapdrn2 41591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
26	24, 25	eleqtrrd 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} ∈ ran 𝑀)
27	1, 2, 5, 26	mapdcnvid2 41597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘{(0g‘𝐶)})) = {(0g‘𝐶)})
28	22, 16, 21, 19	lsatlssel 38936	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝐶))
29	28, 25	eleqtrrd 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ran 𝑀)
30	1, 2, 5, 29	mapdcnvid2 41597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘𝑄)) = 𝑄)
31	20, 27, 30	3brtr4d 5148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘(◡𝑀‘𝑄)))
32		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ( ⋖L ‘𝑈) = ( ⋖L ‘𝑈)
33	1, 2, 3, 4, 5, 26	mapdcnvcl 41592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34	1, 2, 3, 4, 5, 29	mapdcnvcl 41592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
35	1, 2, 3, 4, 32, 11, 17, 5, 33, 34	mapdcv 41600	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑀‘{(0g‘𝐶)})( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄) ↔ (𝑀‘(◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘(◡𝑀‘𝑄))))
36	31, 35	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)})( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄))
37	15, 36	eqbrtrd 5138	. 2 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄))
38		mapdat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
39	1, 3, 5	dvhlvec 41049	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
40	7, 4, 38, 32, 39, 34	lsat0cv 38972	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑀‘𝑄) ∈ 𝐴 ↔ {(0g‘𝑈)} ( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄)))
41	37, 40	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘𝑄) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {csn 4599   class class class wbr 5116  ^◡ccnv 5650  ran crn 5652  ‘cfv 6527  0_gc0g 17438  LModclmod 20802  LSubSpclss 20873  LSAtomsclsa 38913   ⋖_L clcv 38957  HLchlt 39289  LHypclh 39924  DVecHcdvh 41018  LCDualclcd 41526  mapdcmpd 41564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198  ax-riotaBAD 38892

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4881  df-int 4920  df-iun 4966  df-iin 4967  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-of 7665  df-om 7856  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8219  df-undef 8266  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8474  df-2o 8475  df-er 8713  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-n0 12494  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13514  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17214  df-ress 17237  df-plusg 17269  df-mulr 17270  df-sca 17272  df-vsca 17273  df-0g 17440  df-mre 17583  df-mrc 17584  df-acs 17586  df-proset 18291  df-poset 18310  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-subg 19091  df-cntz 19285  df-oppg 19314  df-lsm 19602  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20086  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-oppr 20282  df-dvdsr 20302  df-unit 20303  df-invr 20333  df-dvr 20346  df-nzr 20458  df-rlreg 20639  df-domn 20640  df-drng 20676  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-lvec 21046  df-lsatoms 38915  df-lshyp 38916  df-lcv 38958  df-lfl 38997  df-lkr 39025  df-ldual 39063  df-oposet 39115  df-ol 39117  df-oml 39118  df-covers 39205  df-ats 39206  df-atl 39237  df-cvlat 39261  df-hlat 39290  df-llines 39438  df-lplanes 39439  df-lvols 39440  df-lines 39441  df-psubsp 39443  df-pmap 39444  df-padd 39736  df-lhyp 39928  df-laut 39929  df-ldil 40044  df-ltrn 40045  df-trl 40099  df-tgrp 40683  df-tendo 40695  df-edring 40697  df-dveca 40943  df-disoa 40969  df-dvech 41019  df-dib 41079  df-dic 41113  df-dih 41169  df-doch 41288  df-djh 41335  df-lcdual 41527  df-mapd 41565

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  41798  hdmaprnlem16N  41802