Theorem mapdcnvatN 40129

Description: Atoms are preserved by the map defined by df-mapd 40088. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdat.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdat.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.b	⊢ 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
mapdat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdcnvat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapdcnvatN	⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘𝑄) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem mapdcnvatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdat.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdat.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		mapdat.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 3, 5	dvhlmod 39573	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8	7, 4	lsssn0 20408	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → {(0g‘𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	mapdcnvid1N 40117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘(𝑀‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
11		mapdat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
13	1, 2, 3, 7, 11, 12, 5	mapd0 40128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝐶)})
14	13	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘(𝑀‘{(0g‘𝑈)})) = (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))
15	10, 14	eqtr3d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} = (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))
16		mapdat.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
17		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( ⋖L ‘𝐶) = ( ⋖L ‘𝐶)
18	1, 11, 5	lcdlvec 40054	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
19		mapdcnvat.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
20	12, 16, 17, 18, 19	lsatcv0 37493	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} ( ⋖L ‘𝐶)𝑄)
21	1, 11, 5	lcdlmod 40055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
22		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
23	12, 22	lsssn0 20408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → {(0g‘𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
25	1, 2, 11, 22, 5	mapdrn2 40114	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
26	24, 25	eleqtrrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} ∈ ran 𝑀)
27	1, 2, 5, 26	mapdcnvid2 40120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘{(0g‘𝐶)})) = {(0g‘𝐶)})
28	22, 16, 21, 19	lsatlssel 37459	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝐶))
29	28, 25	eleqtrrd 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ran 𝑀)
30	1, 2, 5, 29	mapdcnvid2 40120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘𝑄)) = 𝑄)
31	20, 27, 30	3brtr4d 5137	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘(◡𝑀‘𝑄)))
32		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ( ⋖L ‘𝑈) = ( ⋖L ‘𝑈)
33	1, 2, 3, 4, 5, 26	mapdcnvcl 40115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34	1, 2, 3, 4, 5, 29	mapdcnvcl 40115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
35	1, 2, 3, 4, 32, 11, 17, 5, 33, 34	mapdcv 40123	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑀‘{(0g‘𝐶)})( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄) ↔ (𝑀‘(◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘(◡𝑀‘𝑄))))
36	31, 35	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)})( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄))
37	15, 36	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄))
38		mapdat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
39	1, 3, 5	dvhlvec 39572	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
40	7, 4, 38, 32, 39, 34	lsat0cv 37495	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑀‘𝑄) ∈ 𝐴 ↔ {(0g‘𝑈)} ( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄)))
41	37, 40	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘𝑄) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4586   class class class wbr 5105  ^◡ccnv 5632  ran crn 5634  ‘cfv 6496  0_gc0g 17321  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSAtomsclsa 37436   ⋖_L clcv 37480  HLchlt 37812  LHypclh 38447  DVecHcdvh 39541  LCDualclcd 40049  mapdcmpd 40087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-riotaBAD 37415

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-undef 8204  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-0g 17323  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-lsatoms 37438  df-lshyp 37439  df-lcv 37481  df-lfl 37520  df-lkr 37548  df-ldual 37586  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-tgrp 39206  df-tendo 39218  df-edring 39220  df-dveca 39466  df-disoa 39492  df-dvech 39542  df-dib 39602  df-dic 39636  df-dih 39692  df-doch 39811  df-djh 39858  df-lcdual 40050  df-mapd 40088

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  40321  hdmaprnlem16N  40325