Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcnvatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdcnvatN 41572
Description: Atoms are preserved by the map defined by df-mapd 41531. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdat.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdat.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.b 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
mapdat.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdcnvat.q (𝜑𝑄𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapdcnvatN (𝜑 → (𝑀𝑄) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem mapdcnvatN
StepHypRef Expression
1 mapdat.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdat.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdat.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2734 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdat.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 41016 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 eqid 2734 . . . . . . 7 (0g𝑈) = (0g𝑈)
87, 4lsssn0 20964 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → {(0g𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {(0g𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
101, 2, 3, 4, 5, 9mapdcnvid1N 41560 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝑈)})) = {(0g𝑈)})
11 mapdat.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12 eqid 2734 . . . . . 6 (0g𝐶) = (0g𝐶)
131, 2, 3, 7, 11, 12, 5mapd0 41571 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝑈)}) = {(0g𝐶)})
1413fveq2d 6923 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝑈)})) = (𝑀‘{(0g𝐶)}))
1510, 14eqtr3d 2776 . . 3 (𝜑 → {(0g𝑈)} = (𝑀‘{(0g𝐶)}))
16 mapdat.b . . . . . 6 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
17 eqid 2734 . . . . . 6 ( ⋖L𝐶) = ( ⋖L𝐶)
181, 11, 5lcdlvec 41497 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
19 mapdcnvat.q . . . . . 6 (𝜑𝑄𝐵)
2012, 16, 17, 18, 19lsatcv0 38936 . . . . 5 (𝜑 → {(0g𝐶)} ( ⋖L𝐶)𝑄)
211, 11, 5lcdlmod 41498 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
22 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
2312, 22lsssn0 20964 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ LMod → {(0g𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
2421, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → {(0g𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
251, 2, 11, 22, 5mapdrn2 41557 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
2624, 25eleqtrrd 2841 . . . . . 6 (𝜑 → {(0g𝐶)} ∈ ran 𝑀)
271, 2, 5, 26mapdcnvid2 41563 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝐶)})) = {(0g𝐶)})
2822, 16, 21, 19lsatlssel 38902 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (LSubSp‘𝐶))
2928, 25eleqtrrd 2841 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ran 𝑀)
301, 2, 5, 29mapdcnvid2 41563 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝑄)) = 𝑄)
3120, 27, 303brtr4d 5201 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝐶)}))( ⋖L𝐶)(𝑀‘(𝑀𝑄)))
32 eqid 2734 . . . . 5 ( ⋖L𝑈) = ( ⋖L𝑈)
331, 2, 3, 4, 5, 26mapdcnvcl 41558 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝐶)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
341, 2, 3, 4, 5, 29mapdcnvcl 41558 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
351, 2, 3, 4, 32, 11, 17, 5, 33, 34mapdcv 41566 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘{(0g𝐶)})( ⋖L𝑈)(𝑀𝑄) ↔ (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝐶)}))( ⋖L𝐶)(𝑀‘(𝑀𝑄))))
3631, 35mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝐶)})( ⋖L𝑈)(𝑀𝑄))
3715, 36eqbrtrd 5191 . 2 (𝜑 → {(0g𝑈)} ( ⋖L𝑈)(𝑀𝑄))
38 mapdat.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
391, 3, 5dvhlvec 41015 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
407, 4, 38, 32, 39, 34lsat0cv 38938 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑄) ∈ 𝐴 ↔ {(0g𝑈)} ( ⋖L𝑈)(𝑀𝑄)))
4137, 40mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑀𝑄) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2103  {csn 4648   class class class wbr 5169  ccnv 5698  ran crn 5700  cfv 6572  0gc0g 17494  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSAtomsclsa 38879  L clcv 38923  HLchlt 39255  LHypclh 39890  DVecHcdvh 40984  LCDualclcd 41492  mapdcmpd 41530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-riotaBAD 38858
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-tpos 8263  df-undef 8310  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-0g 17496  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-proset 18360  df-poset 18378  df-plt 18395  df-lub 18411  df-glb 18412  df-join 18413  df-meet 18414  df-p0 18490  df-p1 18491  df-lat 18497  df-clat 18564  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-submnd 18814  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-sbg 18973  df-subg 19158  df-cntz 19352  df-oppg 19381  df-lsm 19673  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-oppr 20355  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-dvr 20422  df-nzr 20534  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38881  df-lshyp 38882  df-lcv 38924  df-lfl 38963  df-lkr 38991  df-ldual 39029  df-oposet 39081  df-ol 39083  df-oml 39084  df-covers 39171  df-ats 39172  df-atl 39203  df-cvlat 39227  df-hlat 39256  df-llines 39404  df-lplanes 39405  df-lvols 39406  df-lines 39407  df-psubsp 39409  df-pmap 39410  df-padd 39702  df-lhyp 39894  df-laut 39895  df-ldil 40010  df-ltrn 40011  df-trl 40065  df-tgrp 40649  df-tendo 40661  df-edring 40663  df-dveca 40909  df-disoa 40935  df-dvech 40985  df-dib 41045  df-dic 41079  df-dih 41135  df-doch 41254  df-djh 41301  df-lcdual 41493  df-mapd 41531
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  41764  hdmaprnlem16N  41768
  Copyright terms: Public domain W3C validator