Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcnvatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdcnvatN 40443
Description: Atoms are preserved by the map defined by df-mapd 40402. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdat.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdat.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.b 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
mapdat.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdcnvat.q (𝜑𝑄𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapdcnvatN (𝜑 → (𝑀𝑄) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem mapdcnvatN
StepHypRef Expression
1 mapdat.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdat.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdat.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2733 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdat.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 39887 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 eqid 2733 . . . . . . 7 (0g𝑈) = (0g𝑈)
87, 4lsssn0 20535 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → {(0g𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {(0g𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
101, 2, 3, 4, 5, 9mapdcnvid1N 40431 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝑈)})) = {(0g𝑈)})
11 mapdat.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12 eqid 2733 . . . . . 6 (0g𝐶) = (0g𝐶)
131, 2, 3, 7, 11, 12, 5mapd0 40442 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝑈)}) = {(0g𝐶)})
1413fveq2d 6885 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝑈)})) = (𝑀‘{(0g𝐶)}))
1510, 14eqtr3d 2775 . . 3 (𝜑 → {(0g𝑈)} = (𝑀‘{(0g𝐶)}))
16 mapdat.b . . . . . 6 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
17 eqid 2733 . . . . . 6 ( ⋖L𝐶) = ( ⋖L𝐶)
181, 11, 5lcdlvec 40368 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
19 mapdcnvat.q . . . . . 6 (𝜑𝑄𝐵)
2012, 16, 17, 18, 19lsatcv0 37807 . . . . 5 (𝜑 → {(0g𝐶)} ( ⋖L𝐶)𝑄)
211, 11, 5lcdlmod 40369 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
22 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
2312, 22lsssn0 20535 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ LMod → {(0g𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
2421, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → {(0g𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
251, 2, 11, 22, 5mapdrn2 40428 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
2624, 25eleqtrrd 2837 . . . . . 6 (𝜑 → {(0g𝐶)} ∈ ran 𝑀)
271, 2, 5, 26mapdcnvid2 40434 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝐶)})) = {(0g𝐶)})
2822, 16, 21, 19lsatlssel 37773 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (LSubSp‘𝐶))
2928, 25eleqtrrd 2837 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ran 𝑀)
301, 2, 5, 29mapdcnvid2 40434 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝑄)) = 𝑄)
3120, 27, 303brtr4d 5176 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝐶)}))( ⋖L𝐶)(𝑀‘(𝑀𝑄)))
32 eqid 2733 . . . . 5 ( ⋖L𝑈) = ( ⋖L𝑈)
331, 2, 3, 4, 5, 26mapdcnvcl 40429 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝐶)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
341, 2, 3, 4, 5, 29mapdcnvcl 40429 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
351, 2, 3, 4, 32, 11, 17, 5, 33, 34mapdcv 40437 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘{(0g𝐶)})( ⋖L𝑈)(𝑀𝑄) ↔ (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝐶)}))( ⋖L𝐶)(𝑀‘(𝑀𝑄))))
3631, 35mpbird 257 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝐶)})( ⋖L𝑈)(𝑀𝑄))
3715, 36eqbrtrd 5166 . 2 (𝜑 → {(0g𝑈)} ( ⋖L𝑈)(𝑀𝑄))
38 mapdat.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
391, 3, 5dvhlvec 39886 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
407, 4, 38, 32, 39, 34lsat0cv 37809 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑄) ∈ 𝐴 ↔ {(0g𝑈)} ( ⋖L𝑈)(𝑀𝑄)))
4137, 40mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑀𝑄) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  {csn 4624   class class class wbr 5144  ccnv 5671  ran crn 5673  cfv 6535  0gc0g 17372  LModclmod 20448  LSubSpclss 20519  LSAtomsclsa 37750  L clcv 37794  HLchlt 38126  LHypclh 38761  DVecHcdvh 39855  LCDualclcd 40363  mapdcmpd 40401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-cnex 11153  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173  ax-pre-mulgt0 11174  ax-riotaBAD 37729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4905  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7657  df-om 7843  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-tpos 8198  df-undef 8245  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8691  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-xr 11239  df-ltxr 11240  df-le 11241  df-sub 11433  df-neg 11434  df-nn 12200  df-2 12262  df-3 12263  df-4 12264  df-5 12265  df-6 12266  df-n0 12460  df-z 12546  df-uz 12810  df-fz 13472  df-struct 17067  df-sets 17084  df-slot 17102  df-ndx 17114  df-base 17132  df-ress 17161  df-plusg 17197  df-mulr 17198  df-sca 17200  df-vsca 17201  df-0g 17374  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-proset 18235  df-poset 18253  df-plt 18270  df-lub 18286  df-glb 18287  df-join 18288  df-meet 18289  df-p0 18365  df-p1 18366  df-lat 18372  df-clat 18439  df-mgm 18548  df-sgrp 18597  df-mnd 18613  df-submnd 18659  df-grp 18809  df-minusg 18810  df-sbg 18811  df-subg 18988  df-cntz 19166  df-oppg 19194  df-lsm 19488  df-cmn 19634  df-abl 19635  df-mgp 19971  df-ur 19988  df-ring 20040  df-oppr 20128  df-dvdsr 20149  df-unit 20150  df-invr 20180  df-dvr 20193  df-drng 20295  df-lmod 20450  df-lss 20520  df-lsp 20560  df-lvec 20691  df-lsatoms 37752  df-lshyp 37753  df-lcv 37795  df-lfl 37834  df-lkr 37862  df-ldual 37900  df-oposet 37952  df-ol 37954  df-oml 37955  df-covers 38042  df-ats 38043  df-atl 38074  df-cvlat 38098  df-hlat 38127  df-llines 38275  df-lplanes 38276  df-lvols 38277  df-lines 38278  df-psubsp 38280  df-pmap 38281  df-padd 38573  df-lhyp 38765  df-laut 38766  df-ldil 38881  df-ltrn 38882  df-trl 38936  df-tgrp 39520  df-tendo 39532  df-edring 39534  df-dveca 39780  df-disoa 39806  df-dvech 39856  df-dib 39916  df-dic 39950  df-dih 40006  df-doch 40125  df-djh 40172  df-lcdual 40364  df-mapd 40402
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  40635  hdmaprnlem16N  40639
  Copyright terms: Public domain W3C validator