Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcnvatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdcnvatN 40623
Description: Atoms are preserved by the map defined by df-mapd 40582. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdat.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdat.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
mapdat.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdat.b 𝐡 = (LSAtomsβ€˜πΆ)
mapdat.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdcnvat.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mapdcnvatN (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜π‘„) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem mapdcnvatN
StepHypRef Expression
1 mapdat.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdat.m . . . . 5 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdat.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2732 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
5 mapdat.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 40067 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
7 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
87, 4lsssn0 20563 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ {(0gβ€˜π‘ˆ)} ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
96, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜π‘ˆ)} ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
101, 2, 3, 4, 5, 9mapdcnvid1N 40611 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜(π‘€β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)})) = {(0gβ€˜π‘ˆ)})
11 mapdat.c . . . . . 6 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 eqid 2732 . . . . . 6 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
131, 2, 3, 7, 11, 12, 5mapd0 40622 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {(0gβ€˜πΆ)})
1413fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜(π‘€β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)})) = (β—‘π‘€β€˜{(0gβ€˜πΆ)}))
1510, 14eqtr3d 2774 . . 3 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜π‘ˆ)} = (β—‘π‘€β€˜{(0gβ€˜πΆ)}))
16 mapdat.b . . . . . 6 𝐡 = (LSAtomsβ€˜πΆ)
17 eqid 2732 . . . . . 6 ( β‹–L β€˜πΆ) = ( β‹–L β€˜πΆ)
181, 11, 5lcdlvec 40548 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LVec)
19 mapdcnvat.q . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
2012, 16, 17, 18, 19lsatcv0 37987 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜πΆ)} ( β‹–L β€˜πΆ)𝑄)
211, 11, 5lcdlmod 40549 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
22 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜πΆ) = (LSubSpβ€˜πΆ)
2312, 22lsssn0 20563 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ LMod β†’ {(0gβ€˜πΆ)} ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
2421, 23syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜πΆ)} ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
251, 2, 11, 22, 5mapdrn2 40608 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝑀 = (LSubSpβ€˜πΆ))
2624, 25eleqtrrd 2836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜πΆ)} ∈ ran 𝑀)
271, 2, 5, 26mapdcnvid2 40614 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜{(0gβ€˜πΆ)})) = {(0gβ€˜πΆ)})
2822, 16, 21, 19lsatlssel 37953 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
2928, 25eleqtrrd 2836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ran 𝑀)
301, 2, 5, 29mapdcnvid2 40614 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜π‘„)) = 𝑄)
3120, 27, 303brtr4d 5180 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜{(0gβ€˜πΆ)}))( β‹–L β€˜πΆ)(π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜π‘„)))
32 eqid 2732 . . . . 5 ( β‹–L β€˜π‘ˆ) = ( β‹–L β€˜π‘ˆ)
331, 2, 3, 4, 5, 26mapdcnvcl 40609 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜{(0gβ€˜πΆ)}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
341, 2, 3, 4, 5, 29mapdcnvcl 40609 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜π‘„) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
351, 2, 3, 4, 32, 11, 17, 5, 33, 34mapdcv 40617 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘€β€˜{(0gβ€˜πΆ)})( β‹–L β€˜π‘ˆ)(β—‘π‘€β€˜π‘„) ↔ (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜{(0gβ€˜πΆ)}))( β‹–L β€˜πΆ)(π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜π‘„))))
3631, 35mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜{(0gβ€˜πΆ)})( β‹–L β€˜π‘ˆ)(β—‘π‘€β€˜π‘„))
3715, 36eqbrtrd 5170 . 2 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜π‘ˆ)} ( β‹–L β€˜π‘ˆ)(β—‘π‘€β€˜π‘„))
38 mapdat.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
391, 3, 5dvhlvec 40066 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
407, 4, 38, 32, 39, 34lsat0cv 37989 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘€β€˜π‘„) ∈ 𝐴 ↔ {(0gβ€˜π‘ˆ)} ( β‹–L β€˜π‘ˆ)(β—‘π‘€β€˜π‘„)))
4137, 40mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜π‘„) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4628   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  0gc0g 17387  LModclmod 20475  LSubSpclss 20547  LSAtomsclsa 37930   β‹–L clcv 37974  HLchlt 38306  LHypclh 38941  DVecHcdvh 40035  LCDualclcd 40543  mapdcmpd 40581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 37909
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-0g 17389  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-lsm 19506  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-drng 20363  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-lvec 20719  df-lsatoms 37932  df-lshyp 37933  df-lcv 37975  df-lfl 38014  df-lkr 38042  df-ldual 38080  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307  df-llines 38455  df-lplanes 38456  df-lvols 38457  df-lines 38458  df-psubsp 38460  df-pmap 38461  df-padd 38753  df-lhyp 38945  df-laut 38946  df-ldil 39061  df-ltrn 39062  df-trl 39116  df-tgrp 39700  df-tendo 39712  df-edring 39714  df-dveca 39960  df-disoa 39986  df-dvech 40036  df-dib 40096  df-dic 40130  df-dih 40186  df-doch 40305  df-djh 40352  df-lcdual 40544  df-mapd 40582
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  40815  hdmaprnlem16N  40819
  Copyright terms: Public domain W3C validator