Theorem mapdcnvatN 41623

Description: Atoms are preserved by the map defined by df-mapd 41582. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdat.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdat.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.b	⊢ 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
mapdat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdcnvat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapdcnvatN	⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘𝑄) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem mapdcnvatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdat.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdat.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		mapdat.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 3, 5	dvhlmod 41067	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8	7, 4	lsssn0 20969	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → {(0g‘𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	mapdcnvid1N 41611	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘(𝑀‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
11		mapdat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
13	1, 2, 3, 7, 11, 12, 5	mapd0 41622	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝐶)})
14	13	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘(𝑀‘{(0g‘𝑈)})) = (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))
15	10, 14	eqtr3d 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} = (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))
16		mapdat.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
17		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ( ⋖L ‘𝐶) = ( ⋖L ‘𝐶)
18	1, 11, 5	lcdlvec 41548	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
19		mapdcnvat.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
20	12, 16, 17, 18, 19	lsatcv0 38987	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} ( ⋖L ‘𝐶)𝑄)
21	1, 11, 5	lcdlmod 41549	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
22		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
23	12, 22	lsssn0 20969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → {(0g‘𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
25	1, 2, 11, 22, 5	mapdrn2 41608	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
26	24, 25	eleqtrrd 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} ∈ ran 𝑀)
27	1, 2, 5, 26	mapdcnvid2 41614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘{(0g‘𝐶)})) = {(0g‘𝐶)})
28	22, 16, 21, 19	lsatlssel 38953	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝐶))
29	28, 25	eleqtrrd 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ran 𝑀)
30	1, 2, 5, 29	mapdcnvid2 41614	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘𝑄)) = 𝑄)
31	20, 27, 30	3brtr4d 5198	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘(◡𝑀‘𝑄)))
32		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ( ⋖L ‘𝑈) = ( ⋖L ‘𝑈)
33	1, 2, 3, 4, 5, 26	mapdcnvcl 41609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34	1, 2, 3, 4, 5, 29	mapdcnvcl 41609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
35	1, 2, 3, 4, 32, 11, 17, 5, 33, 34	mapdcv 41617	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑀‘{(0g‘𝐶)})( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄) ↔ (𝑀‘(◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘(◡𝑀‘𝑄))))
36	31, 35	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)})( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄))
37	15, 36	eqbrtrd 5188	. 2 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄))
38		mapdat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
39	1, 3, 5	dvhlvec 41066	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
40	7, 4, 38, 32, 39, 34	lsat0cv 38989	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑀‘𝑄) ∈ 𝐴 ↔ {(0g‘𝑈)} ( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄)))
41	37, 40	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘𝑄) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648   class class class wbr 5166  ^◡ccnv 5699  ran crn 5701  ‘cfv 6573  0_gc0g 17499  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LSAtomsclsa 38930   ⋖_L clcv 38974  HLchlt 39306  LHypclh 39941  DVecHcdvh 41035  LCDualclcd 41543  mapdcmpd 41581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-riotaBAD 38909

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-undef 8314  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17501  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-oppg 19386  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-nzr 20539  df-rlreg 20716  df-domn 20717  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lsatoms 38932  df-lshyp 38933  df-lcv 38975  df-lfl 39014  df-lkr 39042  df-ldual 39080  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-tgrp 40700  df-tendo 40712  df-edring 40714  df-dveca 40960  df-disoa 40986  df-dvech 41036  df-dib 41096  df-dic 41130  df-dih 41186  df-doch 41305  df-djh 41352  df-lcdual 41544  df-mapd 41582

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  41815  hdmaprnlem16N  41819