Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcnvatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdcnvatN 40841
Description: Atoms are preserved by the map defined by df-mapd 40800. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdat.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdat.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdat.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdat.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
mapdat.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdat.b 𝐡 = (LSAtomsβ€˜πΆ)
mapdat.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdcnvat.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
mapdcnvatN (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜π‘„) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem mapdcnvatN
StepHypRef Expression
1 mapdat.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdat.m . . . . 5 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdat.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2731 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
5 mapdat.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 40285 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
7 eqid 2731 . . . . . . 7 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
87, 4lsssn0 20703 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ {(0gβ€˜π‘ˆ)} ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
96, 8syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜π‘ˆ)} ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
101, 2, 3, 4, 5, 9mapdcnvid1N 40829 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜(π‘€β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)})) = {(0gβ€˜π‘ˆ)})
11 mapdat.c . . . . . 6 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
12 eqid 2731 . . . . . 6 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
131, 2, 3, 7, 11, 12, 5mapd0 40840 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)}) = {(0gβ€˜πΆ)})
1413fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜(π‘€β€˜{(0gβ€˜π‘ˆ)})) = (β—‘π‘€β€˜{(0gβ€˜πΆ)}))
1510, 14eqtr3d 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜π‘ˆ)} = (β—‘π‘€β€˜{(0gβ€˜πΆ)}))
16 mapdat.b . . . . . 6 𝐡 = (LSAtomsβ€˜πΆ)
17 eqid 2731 . . . . . 6 ( β‹–L β€˜πΆ) = ( β‹–L β€˜πΆ)
181, 11, 5lcdlvec 40766 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LVec)
19 mapdcnvat.q . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
2012, 16, 17, 18, 19lsatcv0 38205 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜πΆ)} ( β‹–L β€˜πΆ)𝑄)
211, 11, 5lcdlmod 40767 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
22 eqid 2731 . . . . . . . . 9 (LSubSpβ€˜πΆ) = (LSubSpβ€˜πΆ)
2312, 22lsssn0 20703 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ LMod β†’ {(0gβ€˜πΆ)} ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
2421, 23syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜πΆ)} ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
251, 2, 11, 22, 5mapdrn2 40826 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ran 𝑀 = (LSubSpβ€˜πΆ))
2624, 25eleqtrrd 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜πΆ)} ∈ ran 𝑀)
271, 2, 5, 26mapdcnvid2 40832 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜{(0gβ€˜πΆ)})) = {(0gβ€˜πΆ)})
2822, 16, 21, 19lsatlssel 38171 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (LSubSpβ€˜πΆ))
2928, 25eleqtrrd 2835 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ran 𝑀)
301, 2, 5, 29mapdcnvid2 40832 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜π‘„)) = 𝑄)
3120, 27, 303brtr4d 5180 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜{(0gβ€˜πΆ)}))( β‹–L β€˜πΆ)(π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜π‘„)))
32 eqid 2731 . . . . 5 ( β‹–L β€˜π‘ˆ) = ( β‹–L β€˜π‘ˆ)
331, 2, 3, 4, 5, 26mapdcnvcl 40827 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜{(0gβ€˜πΆ)}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
341, 2, 3, 4, 5, 29mapdcnvcl 40827 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜π‘„) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
351, 2, 3, 4, 32, 11, 17, 5, 33, 34mapdcv 40835 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘€β€˜{(0gβ€˜πΆ)})( β‹–L β€˜π‘ˆ)(β—‘π‘€β€˜π‘„) ↔ (π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜{(0gβ€˜πΆ)}))( β‹–L β€˜πΆ)(π‘€β€˜(β—‘π‘€β€˜π‘„))))
3631, 35mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜{(0gβ€˜πΆ)})( β‹–L β€˜π‘ˆ)(β—‘π‘€β€˜π‘„))
3715, 36eqbrtrd 5170 . 2 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜π‘ˆ)} ( β‹–L β€˜π‘ˆ)(β—‘π‘€β€˜π‘„))
38 mapdat.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
391, 3, 5dvhlvec 40284 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
407, 4, 38, 32, 39, 34lsat0cv 38207 . 2 (πœ‘ β†’ ((β—‘π‘€β€˜π‘„) ∈ 𝐴 ↔ {(0gβ€˜π‘ˆ)} ( β‹–L β€˜π‘ˆ)(β—‘π‘€β€˜π‘„)))
4137, 40mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (β—‘π‘€β€˜π‘„) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {csn 4628   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5675  ran crn 5677  β€˜cfv 6543  0gc0g 17390  LModclmod 20615  LSubSpclss 20687  LSAtomsclsa 38148   β‹–L clcv 38192  HLchlt 38524  LHypclh 39159  DVecHcdvh 40253  LCDualclcd 40761  mapdcmpd 40799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-riotaBAD 38127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-undef 8262  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-0g 17392  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-proset 18253  df-poset 18271  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-p1 18384  df-lat 18390  df-clat 18457  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-lsm 19546  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-drng 20503  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lsp 20728  df-lvec 20859  df-lsatoms 38150  df-lshyp 38151  df-lcv 38193  df-lfl 38232  df-lkr 38260  df-ldual 38298  df-oposet 38350  df-ol 38352  df-oml 38353  df-covers 38440  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525  df-llines 38673  df-lplanes 38674  df-lvols 38675  df-lines 38676  df-psubsp 38678  df-pmap 38679  df-padd 38971  df-lhyp 39163  df-laut 39164  df-ldil 39279  df-ltrn 39280  df-trl 39334  df-tgrp 39918  df-tendo 39930  df-edring 39932  df-dveca 40178  df-disoa 40204  df-dvech 40254  df-dib 40314  df-dic 40348  df-dih 40404  df-doch 40523  df-djh 40570  df-lcdual 40762  df-mapd 40800
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  41033  hdmaprnlem16N  41037
  Copyright terms: Public domain W3C validator