Theorem mapdcnvatN 40202

Description: Atoms are preserved by the map defined by df-mapd 40161. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdat.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdat.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.b	⊢ 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
mapdat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdcnvat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mapdcnvatN	⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘𝑄) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem mapdcnvatN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdat.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdat.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdat.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		mapdat.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 3, 5	dvhlmod 39646	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
8	7, 4	lsssn0 20465	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → {(0g‘𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
9	6, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
10	1, 2, 3, 4, 5, 9	mapdcnvid1N 40190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘(𝑀‘{(0g‘𝑈)})) = {(0g‘𝑈)})
11		mapdat.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
13	1, 2, 3, 7, 11, 12, 5	mapd0 40201	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝐶)})
14	13	fveq2d 6851	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘(𝑀‘{(0g‘𝑈)})) = (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))
15	10, 14	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} = (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))
16		mapdat.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
17		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ( ⋖L ‘𝐶) = ( ⋖L ‘𝐶)
18	1, 11, 5	lcdlvec 40127	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
19		mapdcnvat.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐵)
20	12, 16, 17, 18, 19	lsatcv0 37566	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} ( ⋖L ‘𝐶)𝑄)
21	1, 11, 5	lcdlmod 40128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
22		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
23	12, 22	lsssn0 20465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → {(0g‘𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
24	21, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
25	1, 2, 11, 22, 5	mapdrn2 40187	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
26	24, 25	eleqtrrd 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} ∈ ran 𝑀)
27	1, 2, 5, 26	mapdcnvid2 40193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘{(0g‘𝐶)})) = {(0g‘𝐶)})
28	22, 16, 21, 19	lsatlssel 37532	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝐶))
29	28, 25	eleqtrrd 2835	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ran 𝑀)
30	1, 2, 5, 29	mapdcnvid2 40193	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘𝑄)) = 𝑄)
31	20, 27, 30	3brtr4d 5142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘(◡𝑀‘𝑄)))
32		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ( ⋖L ‘𝑈) = ( ⋖L ‘𝑈)
33	1, 2, 3, 4, 5, 26	mapdcnvcl 40188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34	1, 2, 3, 4, 5, 29	mapdcnvcl 40188	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
35	1, 2, 3, 4, 32, 11, 17, 5, 33, 34	mapdcv 40196	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑀‘{(0g‘𝐶)})( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄) ↔ (𝑀‘(◡𝑀‘{(0g‘𝐶)}))( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘(◡𝑀‘𝑄))))
36	31, 35	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘{(0g‘𝐶)})( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄))
37	15, 36	eqbrtrd 5132	. 2 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄))
38		mapdat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
39	1, 3, 5	dvhlvec 39645	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
40	7, 4, 38, 32, 39, 34	lsat0cv 37568	. 2 ⊢ (𝜑 → ((◡𝑀‘𝑄) ∈ 𝐴 ↔ {(0g‘𝑈)} ( ⋖L ‘𝑈)(◡𝑀‘𝑄)))
41	37, 40	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (◡𝑀‘𝑄) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4591   class class class wbr 5110  ^◡ccnv 5637  ran crn 5639  ‘cfv 6501  0_gc0g 17335  LModclmod 20378  LSubSpclss 20449  LSAtomsclsa 37509   ⋖_L clcv 37553  HLchlt 37885  LHypclh 38520  DVecHcdvh 39614  LCDualclcd 40122  mapdcmpd 40160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-riotaBAD 37488

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-undef 8209  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-n0 12423  df-z 12509  df-uz 12773  df-fz 13435  df-struct 17030  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-sca 17163  df-vsca 17164  df-0g 17337  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-proset 18198  df-poset 18216  df-plt 18233  df-lub 18249  df-glb 18250  df-join 18251  df-meet 18252  df-p0 18328  df-p1 18329  df-lat 18335  df-clat 18402  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-submnd 18616  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-sbg 18767  df-subg 18939  df-cntz 19111  df-oppg 19138  df-lsm 19432  df-cmn 19578  df-abl 19579  df-mgp 19911  df-ur 19928  df-ring 19980  df-oppr 20063  df-dvdsr 20084  df-unit 20085  df-invr 20115  df-dvr 20126  df-drng 20227  df-lmod 20380  df-lss 20450  df-lsp 20490  df-lvec 20621  df-lsatoms 37511  df-lshyp 37512  df-lcv 37554  df-lfl 37593  df-lkr 37621  df-ldual 37659  df-oposet 37711  df-ol 37713  df-oml 37714  df-covers 37801  df-ats 37802  df-atl 37833  df-cvlat 37857  df-hlat 37886  df-llines 38034  df-lplanes 38035  df-lvols 38036  df-lines 38037  df-psubsp 38039  df-pmap 38040  df-padd 38332  df-lhyp 38524  df-laut 38525  df-ldil 38640  df-ltrn 38641  df-trl 38695  df-tgrp 39279  df-tendo 39291  df-edring 39293  df-dveca 39539  df-disoa 39565  df-dvech 39615  df-dib 39675  df-dic 39709  df-dih 39765  df-doch 39884  df-djh 39931  df-lcdual 40123  df-mapd 40161

This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  40394  hdmaprnlem16N  40398