Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdcnvatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdcnvatN 39680
Description: Atoms are preserved by the map defined by df-mapd 39639. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdat.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdat.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.b 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
mapdat.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdcnvat.q (𝜑𝑄𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapdcnvatN (𝜑 → (𝑀𝑄) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem mapdcnvatN
StepHypRef Expression
1 mapdat.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdat.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdat.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2738 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdat.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 39124 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 eqid 2738 . . . . . . 7 (0g𝑈) = (0g𝑈)
87, 4lsssn0 20209 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → {(0g𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
96, 8syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {(0g𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
101, 2, 3, 4, 5, 9mapdcnvid1N 39668 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝑈)})) = {(0g𝑈)})
11 mapdat.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12 eqid 2738 . . . . . 6 (0g𝐶) = (0g𝐶)
131, 2, 3, 7, 11, 12, 5mapd0 39679 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝑈)}) = {(0g𝐶)})
1413fveq2d 6778 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝑈)})) = (𝑀‘{(0g𝐶)}))
1510, 14eqtr3d 2780 . . 3 (𝜑 → {(0g𝑈)} = (𝑀‘{(0g𝐶)}))
16 mapdat.b . . . . . 6 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
17 eqid 2738 . . . . . 6 ( ⋖L𝐶) = ( ⋖L𝐶)
181, 11, 5lcdlvec 39605 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
19 mapdcnvat.q . . . . . 6 (𝜑𝑄𝐵)
2012, 16, 17, 18, 19lsatcv0 37045 . . . . 5 (𝜑 → {(0g𝐶)} ( ⋖L𝐶)𝑄)
211, 11, 5lcdlmod 39606 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
22 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
2312, 22lsssn0 20209 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ LMod → {(0g𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
2421, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → {(0g𝐶)} ∈ (LSubSp‘𝐶))
251, 2, 11, 22, 5mapdrn2 39665 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
2624, 25eleqtrrd 2842 . . . . . 6 (𝜑 → {(0g𝐶)} ∈ ran 𝑀)
271, 2, 5, 26mapdcnvid2 39671 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝐶)})) = {(0g𝐶)})
2822, 16, 21, 19lsatlssel 37011 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (LSubSp‘𝐶))
2928, 25eleqtrrd 2842 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ran 𝑀)
301, 2, 5, 29mapdcnvid2 39671 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀𝑄)) = 𝑄)
3120, 27, 303brtr4d 5106 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝐶)}))( ⋖L𝐶)(𝑀‘(𝑀𝑄)))
32 eqid 2738 . . . . 5 ( ⋖L𝑈) = ( ⋖L𝑈)
331, 2, 3, 4, 5, 26mapdcnvcl 39666 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝐶)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
341, 2, 3, 4, 5, 29mapdcnvcl 39666 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑄) ∈ (LSubSp‘𝑈))
351, 2, 3, 4, 32, 11, 17, 5, 33, 34mapdcv 39674 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘{(0g𝐶)})( ⋖L𝑈)(𝑀𝑄) ↔ (𝑀‘(𝑀‘{(0g𝐶)}))( ⋖L𝐶)(𝑀‘(𝑀𝑄))))
3631, 35mpbird 256 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝐶)})( ⋖L𝑈)(𝑀𝑄))
3715, 36eqbrtrd 5096 . 2 (𝜑 → {(0g𝑈)} ( ⋖L𝑈)(𝑀𝑄))
38 mapdat.a . . 3 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
391, 3, 5dvhlvec 39123 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
407, 4, 38, 32, 39, 34lsat0cv 37047 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑄) ∈ 𝐴 ↔ {(0g𝑈)} ( ⋖L𝑈)(𝑀𝑄)))
4137, 40mpbird 256 1 (𝜑 → (𝑀𝑄) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  {csn 4561   class class class wbr 5074  ccnv 5588  ran crn 5590  cfv 6433  0gc0g 17150  LModclmod 20123  LSubSpclss 20193  LSAtomsclsa 36988  L clcv 37032  HLchlt 37364  LHypclh 37998  DVecHcdvh 39092  LCDualclcd 39600  mapdcmpd 39638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-riotaBAD 36967
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-undef 8089  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-0g 17152  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-subg 18752  df-cntz 18923  df-oppg 18950  df-lsm 19241  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lvec 20365  df-lsatoms 36990  df-lshyp 36991  df-lcv 37033  df-lfl 37072  df-lkr 37100  df-ldual 37138  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-covers 37280  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-llines 37512  df-lplanes 37513  df-lvols 37514  df-lines 37515  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-lhyp 38002  df-laut 38003  df-ldil 38118  df-ltrn 38119  df-trl 38173  df-tgrp 38757  df-tendo 38769  df-edring 38771  df-dveca 39017  df-disoa 39043  df-dvech 39093  df-dib 39153  df-dic 39187  df-dih 39243  df-doch 39362  df-djh 39409  df-lcdual 39601  df-mapd 39639
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem3eN  39872  hdmaprnlem16N  39876
  Copyright terms: Public domain W3C validator