Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmapeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmapeq0 39844
Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 3. (Contributed by NM, 22-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap12a.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12a.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12a.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12a.o 0 = (0g𝑈)
hdmap12a.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12a.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap12a.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12a.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap12a.x (𝜑𝑇𝑉)
Assertion
Ref Expression
hdmapeq0 (𝜑 → ((𝑆𝑇) = 𝑄𝑇 = 0 ))

Proof of Theorem hdmapeq0
StepHypRef Expression
1 hdmap12a.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap12a.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap12a.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 eqid 2738 . . . . 5 (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
5 hdmap12a.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2738 . . . . 5 (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
7 eqid 2738 . . . . 5 ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmap12a.s . . . . 5 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9 hdmap12a.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
10 hdmap12a.x . . . . 5 (𝜑𝑇𝑉)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10hdmap10 39840 . . . 4 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑇})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆𝑇)}))
12 hdmap12a.o . . . . 5 0 = (0g𝑈)
13 hdmap12a.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝐶)
141, 7, 2, 12, 5, 13, 9mapd0 39665 . . . 4 (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }) = {𝑄})
1511, 14eqeq12d 2754 . . 3 (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑇})) = (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }) ↔ ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆𝑇)}) = {𝑄}))
16 eqid 2738 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
171, 2, 9dvhlmod 39110 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
183, 16, 4lspsncl 20227 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
1917, 10, 18syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2012, 16lsssn0 20197 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑈))
2117, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑈))
221, 2, 16, 7, 9, 19, 21mapd11 39639 . . 3 (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑇})) = (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }) ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) = { 0 }))
231, 5, 9lcdlmod 39592 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
24 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
251, 2, 3, 5, 24, 8, 9, 10hdmapcl 39830 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑇) ∈ (Base‘𝐶))
2624, 13, 6lspsneq0 20262 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑇) ∈ (Base‘𝐶)) → (((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆𝑇)}) = {𝑄} ↔ (𝑆𝑇) = 𝑄))
2723, 25, 26syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆𝑇)}) = {𝑄} ↔ (𝑆𝑇) = 𝑄))
2815, 22, 273bitr3rd 310 . 2 (𝜑 → ((𝑆𝑇) = 𝑄 ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) = { 0 }))
293, 12, 4lspsneq0 20262 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑉) → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) = { 0 } ↔ 𝑇 = 0 ))
3017, 10, 29syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) = { 0 } ↔ 𝑇 = 0 ))
3128, 30bitrd 278 1 (𝜑 → ((𝑆𝑇) = 𝑄𝑇 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  {csn 4562  cfv 6427  Basecbs 16900  0gc0g 17138  LModclmod 20111  LSubSpclss 20181  LSpanclspn 20221  HLchlt 37350  LHypclh 37984  DVecHcdvh 39078  LCDualclcd 39586  mapdcmpd 39624  HDMapchdma 39792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-riotaBAD 36953
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-ot 4571  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-tpos 8030  df-undef 8077  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-map 8605  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-fz 13228  df-struct 16836  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-sca 16966  df-vsca 16967  df-0g 17140  df-mre 17283  df-mrc 17284  df-acs 17286  df-proset 18001  df-poset 18019  df-plt 18036  df-lub 18052  df-glb 18053  df-join 18054  df-meet 18055  df-p0 18131  df-p1 18132  df-lat 18138  df-clat 18205  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-submnd 18419  df-grp 18568  df-minusg 18569  df-sbg 18570  df-subg 18740  df-cntz 18911  df-oppg 18938  df-lsm 19229  df-cmn 19376  df-abl 19377  df-mgp 19709  df-ur 19726  df-ring 19773  df-oppr 19850  df-dvdsr 19871  df-unit 19872  df-invr 19902  df-dvr 19913  df-drng 19981  df-lmod 20113  df-lss 20182  df-lsp 20222  df-lvec 20353  df-lsatoms 36976  df-lshyp 36977  df-lcv 37019  df-lfl 37058  df-lkr 37086  df-ldual 37124  df-oposet 37176  df-ol 37178  df-oml 37179  df-covers 37266  df-ats 37267  df-atl 37298  df-cvlat 37322  df-hlat 37351  df-llines 37498  df-lplanes 37499  df-lvols 37500  df-lines 37501  df-psubsp 37503  df-pmap 37504  df-padd 37796  df-lhyp 37988  df-laut 37989  df-ldil 38104  df-ltrn 38105  df-trl 38159  df-tgrp 38743  df-tendo 38755  df-edring 38757  df-dveca 39003  df-disoa 39029  df-dvech 39079  df-dib 39139  df-dic 39173  df-dih 39229  df-doch 39348  df-djh 39395  df-lcdual 39587  df-mapd 39625  df-hvmap 39757  df-hdmap1 39793  df-hdmap 39794
This theorem is referenced by:  hdmapnzcl  39845  hdmapneg  39846  hdmap11  39848  hgmapval0  39892  hgmapval1  39893  hgmapadd  39894  hgmapmul  39895  hgmaprnlem1N  39896  hdmaplkr  39913
  Copyright terms: Public domain W3C validator