Theorem hdmapeq0 39844

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 3. (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap12a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap12a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmap12a.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap12a.x	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapeq0	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇) = 𝑄 ↔ 𝑇 = 0 ))

Proof of Theorem hdmapeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap12a.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap12a.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap12a.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
5		hdmap12a.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap12a.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmap12a.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		hdmap12a.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	hdmap10 39840	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑇})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆‘𝑇)}))
12		hdmap12a.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
13		hdmap12a.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
14	1, 7, 2, 12, 5, 13, 9	mapd0 39665	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }) = {𝑄})
15	11, 14	eqeq12d 2754	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑇})) = (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }) ↔ ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆‘𝑇)}) = {𝑄}))
16		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
17	1, 2, 9	dvhlmod 39110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
18	3, 16, 4	lspsncl 20227	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	17, 10, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
20	12, 16	lsssn0 20197	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑈))
21	17, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑈))
22	1, 2, 16, 7, 9, 19, 21	mapd11 39639	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑇})) = (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }) ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) = { 0 }))
23	1, 5, 9	lcdlmod 39592	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
24		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
25	1, 2, 3, 5, 24, 8, 9, 10	hdmapcl 39830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶))
26	24, 13, 6	lspsneq0 20262	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶)) → (((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆‘𝑇)}) = {𝑄} ↔ (𝑆‘𝑇) = 𝑄))
27	23, 25, 26	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆‘𝑇)}) = {𝑄} ↔ (𝑆‘𝑇) = 𝑄))
28	15, 22, 27	3bitr3rd 310	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇) = 𝑄 ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) = { 0 }))
29	3, 12, 4	lspsneq0 20262	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) = { 0 } ↔ 𝑇 = 0 ))
30	17, 10, 29	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) = { 0 } ↔ 𝑇 = 0 ))
31	28, 30	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇) = 𝑄 ↔ 𝑇 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {csn 4562  ‘cfv 6427  Basecbs 16900  0_gc0g 17138  LModclmod 20111  LSubSpclss 20181  LSpanclspn 20221  HLchlt 37350  LHypclh 37984  DVecHcdvh 39078  LCDualclcd 39586  mapdcmpd 39624  HDMapchdma 39792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-riotaBAD 36953

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-ot 4571  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-tpos 8030  df-undef 8077  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-map 8605  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-n0 12222  df-z 12308  df-uz 12571  df-fz 13228  df-struct 16836  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-sca 16966  df-vsca 16967  df-0g 17140  df-mre 17283  df-mrc 17284  df-acs 17286  df-proset 18001  df-poset 18019  df-plt 18036  df-lub 18052  df-glb 18053  df-join 18054  df-meet 18055  df-p0 18131  df-p1 18132  df-lat 18138  df-clat 18205  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-submnd 18419  df-grp 18568  df-minusg 18569  df-sbg 18570  df-subg 18740  df-cntz 18911  df-oppg 18938  df-lsm 19229  df-cmn 19376  df-abl 19377  df-mgp 19709  df-ur 19726  df-ring 19773  df-oppr 19850  df-dvdsr 19871  df-unit 19872  df-invr 19902  df-dvr 19913  df-drng 19981  df-lmod 20113  df-lss 20182  df-lsp 20222  df-lvec 20353  df-lsatoms 36976  df-lshyp 36977  df-lcv 37019  df-lfl 37058  df-lkr 37086  df-ldual 37124  df-oposet 37176  df-ol 37178  df-oml 37179  df-covers 37266  df-ats 37267  df-atl 37298  df-cvlat 37322  df-hlat 37351  df-llines 37498  df-lplanes 37499  df-lvols 37500  df-lines 37501  df-psubsp 37503  df-pmap 37504  df-padd 37796  df-lhyp 37988  df-laut 37989  df-ldil 38104  df-ltrn 38105  df-trl 38159  df-tgrp 38743  df-tendo 38755  df-edring 38757  df-dveca 39003  df-disoa 39029  df-dvech 39079  df-dib 39139  df-dic 39173  df-dih 39229  df-doch 39348  df-djh 39395  df-lcdual 39587  df-mapd 39625  df-hvmap 39757  df-hdmap1 39793  df-hdmap 39794

This theorem is referenced by:  hdmapnzcl  39845  hdmapneg  39846  hdmap11  39848  hgmapval0  39892  hgmapval1  39893  hgmapadd  39894  hgmapmul  39895  hgmaprnlem1N  39896  hdmaplkr  39913