Theorem hdmapeq0 42702

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 3. (Contributed by NM, 22-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap12a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12a.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
hdmap12a.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12a.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
hdmap12a.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap12a.x	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapeq0	⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇) = 𝑄 ↔ 𝑇 = 0 ))

Proof of Theorem hdmapeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap12a.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		hdmap12a.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		hdmap12a.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
5		hdmap12a.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (LSpan‘𝐶) = (LSpan‘𝐶)
7		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ((mapd‘𝐾)‘𝑊) = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
8		hdmap12a.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
9		hdmap12a.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10		hdmap12a.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝑉)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	hdmap10 42698	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑇})) = ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆‘𝑇)}))
12		hdmap12a.o	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
13		hdmap12a.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
14	1, 7, 2, 12, 5, 13, 9	mapd0 42523	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }) = {𝑄})
15	11, 14	eqeq12d 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑇})) = (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }) ↔ ((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆‘𝑇)}) = {𝑄}))
16		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
17	1, 2, 9	dvhlmod 41968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
18	3, 16, 4	lspsncl 21160	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	17, 10, 18	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
20	12, 16	lsssn0 21131	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑈))
21	17, 20	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 0 } ∈ (LSubSp‘𝑈))
22	1, 2, 16, 7, 9, 19, 21	mapd11 42497	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑇})) = (((mapd‘𝐾)‘𝑊)‘{ 0 }) ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) = { 0 }))
23	1, 5, 9	lcdlmod 42450	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
24		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
25	1, 2, 3, 5, 24, 8, 9, 10	hdmapcl 42688	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶))
26	24, 13, 6	lspsneq0 21195	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆‘𝑇) ∈ (Base‘𝐶)) → (((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆‘𝑇)}) = {𝑄} ↔ (𝑆‘𝑇) = 𝑄))
27	23, 25, 26	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((LSpan‘𝐶)‘{(𝑆‘𝑇)}) = {𝑄} ↔ (𝑆‘𝑇) = 𝑄))
28	15, 22, 27	3bitr3rd 313	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇) = 𝑄 ↔ ((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) = { 0 }))
29	3, 12, 4	lspsneq0 21195	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) = { 0 } ↔ 𝑇 = 0 ))
30	17, 10, 29	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (((LSpan‘𝑈)‘{𝑇}) = { 0 } ↔ 𝑇 = 0 ))
31	28, 30	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑇) = 𝑄 ↔ 𝑇 = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4587  ‘cfv 6537  Basecbs 17303  0_gc0g 17526  LModclmod 21043  LSubSpclss 21114  LSpanclspn 21154  HLchlt 40208  LHypclh 40842  DVecHcdvh 41936  LCDualclcd 42444  mapdcmpd 42482  HDMapchdma 42650

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-riotaBAD 39811

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13562  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-0g 17528  df-mre 17672  df-mrc 17673  df-acs 17675  df-proset 18384  df-poset 18403  df-plt 18418  df-lub 18434  df-glb 18435  df-join 18436  df-meet 18437  df-p0 18513  df-p1 18514  df-lat 18522  df-clat 18589  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-sbg 19061  df-subg 19245  df-cntz 19443  df-oppg 19472  df-lsm 19762  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-rng 20287  df-ur 20320  df-ring 20373  df-oppr 20477  df-dvdsr 20497  df-unit 20498  df-invr 20528  df-dvr 20541  df-nzr 20672  df-rlreg 20855  df-domn 20856  df-drng 20891  df-lmod 21045  df-lss 21115  df-lsp 21155  df-lvec 21286  df-lsatoms 39834  df-lshyp 39835  df-lcv 39877  df-lfl 39916  df-lkr 39944  df-ldual 39982  df-oposet 40034  df-ol 40036  df-oml 40037  df-covers 40124  df-ats 40125  df-atl 40156  df-cvlat 40180  df-hlat 40209  df-llines 40356  df-lplanes 40357  df-lvols 40358  df-lines 40359  df-psubsp 40361  df-pmap 40362  df-padd 40654  df-lhyp 40846  df-laut 40847  df-ldil 40962  df-ltrn 40963  df-trl 41017  df-tgrp 41601  df-tendo 41613  df-edring 41615  df-dveca 41861  df-disoa 41887  df-dvech 41937  df-dib 41997  df-dic 42031  df-dih 42087  df-doch 42206  df-djh 42253  df-lcdual 42445  df-mapd 42483  df-hvmap 42615  df-hdmap1 42651  df-hdmap 42652

This theorem is used by:  hdmapnzcl  42703  hdmapneg  42704  hdmap11  42706  hgmapval0  42750  hgmapval1  42751  hgmapadd  42752  hgmapmul  42753  hgmaprnlem1N  42754  hdmaplkr  42771