Theorem mapdat 37688

Description: Atoms are preserved by the map defined by df-mapd 37646. Property (g) in [Baer] p. 41. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdat.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdat.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.b	⊢ 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
mapdat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mapdat	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑄) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mapdat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdat.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdat.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdat.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		mapdat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2799	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
7		mapdat.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mapd0 37686	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝐶)})
9		mapdat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
10		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ ( ⋖L ‘𝑈) = ( ⋖L ‘𝑈)
11	1, 3, 7	dvhlvec 37130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
12		mapdat.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
13	4, 9, 10, 11, 12	lsatcv0 35052	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ( ⋖L ‘𝑈)𝑄)
14		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
15		eqid 2799	. . . . 5 ⊢ ( ⋖L ‘𝐶) = ( ⋖L ‘𝐶)
16	1, 3, 7	dvhlmod 37131	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17	4, 14	lsssn0 19266	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → {(0g‘𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
18	16, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	14, 9, 16, 12	lsatlssel 35018	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑈))
20	1, 2, 3, 14, 10, 5, 15, 7, 18, 19	mapdcv 37681	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({(0g‘𝑈)} ( ⋖L ‘𝑈)𝑄 ↔ (𝑀‘{(0g‘𝑈)})( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘𝑄)))
21	13, 20	mpbid 224	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)})( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘𝑄))
22	8, 21	eqbrtrrd 4867	. 2 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} ( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘𝑄))
23		eqid 2799	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
24		mapdat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
25	1, 5, 7	lcdlvec 37612	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
26	1, 2, 3, 14, 5, 23, 7, 19	mapdcl2 37677	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑄) ∈ (LSubSp‘𝐶))
27	6, 23, 24, 15, 25, 26	lsat0cv 35054	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑄) ∈ 𝐵 ↔ {(0g‘𝐶)} ( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘𝑄)))
28	22, 27	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑄) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  {csn 4368   class class class wbr 4843  ‘cfv 6101  0_gc0g 16415  LModclmod 19181  LSubSpclss 19250  LSAtomsclsa 34995   ⋖_L clcv 35039  HLchlt 35371  LHypclh 36005  DVecHcdvh 37099  LCDualclcd 37607  mapdcmpd 37645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-riotaBAD 34974

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-tpos 7590  df-undef 7637  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-0g 16417  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-p0 17354  df-p1 17355  df-lat 17361  df-clat 17423  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-grp 17741  df-minusg 17742  df-sbg 17743  df-subg 17904  df-cntz 18062  df-oppg 18088  df-lsm 18364  df-cmn 18510  df-abl 18511  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-oppr 18939  df-dvdsr 18957  df-unit 18958  df-invr 18988  df-dvr 18999  df-drng 19067  df-lmod 19183  df-lss 19251  df-lsp 19293  df-lvec 19424  df-lsatoms 34997  df-lshyp 34998  df-lcv 35040  df-lfl 35079  df-lkr 35107  df-ldual 35145  df-oposet 35197  df-ol 35199  df-oml 35200  df-covers 35287  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372  df-llines 35519  df-lplanes 35520  df-lvols 35521  df-lines 35522  df-psubsp 35524  df-pmap 35525  df-padd 35817  df-lhyp 36009  df-laut 36010  df-ldil 36125  df-ltrn 36126  df-trl 36180  df-tgrp 36764  df-tendo 36776  df-edring 36778  df-dveca 37024  df-disoa 37050  df-dvech 37100  df-dib 37160  df-dic 37194  df-dih 37250  df-doch 37369  df-djh 37416  df-lcdual 37608  df-mapd 37646

This theorem is referenced by:  mapdspex  37689  mapdpglem5N  37698  mapdpglem20  37712  mapdpglem30a  37716  mapdpglem30b  37717