Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdat 41129
Description: Atoms are preserved by the map defined by df-mapd 41087. Property (g) in [Baer] p. 41. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdat.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdat.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdat.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.b 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
mapdat.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdat.q (𝜑𝑄𝐴)
Assertion
Ref Expression
mapdat (𝜑 → (𝑀𝑄) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mapdat
StepHypRef Expression
1 mapdat.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdat.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdat.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2727 . . . 4 (0g𝑈) = (0g𝑈)
5 mapdat.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 eqid 2727 . . . 4 (0g𝐶) = (0g𝐶)
7 mapdat.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7mapd0 41127 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝑈)}) = {(0g𝐶)})
9 mapdat.a . . . . 5 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
10 eqid 2727 . . . . 5 ( ⋖L𝑈) = ( ⋖L𝑈)
111, 3, 7dvhlvec 40571 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
12 mapdat.q . . . . 5 (𝜑𝑄𝐴)
134, 9, 10, 11, 12lsatcv0 38492 . . . 4 (𝜑 → {(0g𝑈)} ( ⋖L𝑈)𝑄)
14 eqid 2727 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
15 eqid 2727 . . . . 5 ( ⋖L𝐶) = ( ⋖L𝐶)
161, 3, 7dvhlmod 40572 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
174, 14lsssn0 20825 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → {(0g𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
1816, 17syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {(0g𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
1914, 9, 16, 12lsatlssel 38458 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑈))
201, 2, 3, 14, 10, 5, 15, 7, 18, 19mapdcv 41122 . . . 4 (𝜑 → ({(0g𝑈)} ( ⋖L𝑈)𝑄 ↔ (𝑀‘{(0g𝑈)})( ⋖L𝐶)(𝑀𝑄)))
2113, 20mpbid 231 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘{(0g𝑈)})( ⋖L𝐶)(𝑀𝑄))
228, 21eqbrtrrd 5166 . 2 (𝜑 → {(0g𝐶)} ( ⋖L𝐶)(𝑀𝑄))
23 eqid 2727 . . 3 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
24 mapdat.b . . 3 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
251, 5, 7lcdlvec 41053 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
261, 2, 3, 14, 5, 23, 7, 19mapdcl2 41118 . . 3 (𝜑 → (𝑀𝑄) ∈ (LSubSp‘𝐶))
276, 23, 24, 15, 25, 26lsat0cv 38494 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑄) ∈ 𝐵 ↔ {(0g𝐶)} ( ⋖L𝐶)(𝑀𝑄)))
2822, 27mpbird 257 1 (𝜑 → (𝑀𝑄) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  {csn 4624   class class class wbr 5142  cfv 6542  0gc0g 17414  LModclmod 20736  LSubSpclss 20808  LSAtomsclsa 38435  L clcv 38479  HLchlt 38811  LHypclh 39446  DVecHcdvh 40540  LCDualclcd 41048  mapdcmpd 41086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-riotaBAD 38414
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-0g 17416  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-lub 18331  df-glb 18332  df-join 18333  df-meet 18334  df-p0 18410  df-p1 18411  df-lat 18417  df-clat 18484  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-cntz 19261  df-oppg 19290  df-lsm 19584  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-dvr 20333  df-drng 20619  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-lsp 20849  df-lvec 20981  df-lsatoms 38437  df-lshyp 38438  df-lcv 38480  df-lfl 38519  df-lkr 38547  df-ldual 38585  df-oposet 38637  df-ol 38639  df-oml 38640  df-covers 38727  df-ats 38728  df-atl 38759  df-cvlat 38783  df-hlat 38812  df-llines 38960  df-lplanes 38961  df-lvols 38962  df-lines 38963  df-psubsp 38965  df-pmap 38966  df-padd 39258  df-lhyp 39450  df-laut 39451  df-ldil 39566  df-ltrn 39567  df-trl 39621  df-tgrp 40205  df-tendo 40217  df-edring 40219  df-dveca 40465  df-disoa 40491  df-dvech 40541  df-dib 40601  df-dic 40635  df-dih 40691  df-doch 40810  df-djh 40857  df-lcdual 41049  df-mapd 41087
This theorem is referenced by:  mapdspex  41130  mapdpglem5N  41139  mapdpglem20  41153  mapdpglem30a  41157  mapdpglem30b  41158
  Copyright terms: Public domain W3C validator