Theorem mapdat 42817

Description: Atoms are preserved by the map defined by df-mapd 42775. Property (g) in [Baer] p. 41. (Contributed by NM, 14-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdat.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdat.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdat.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdat.b	⊢ 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
mapdat.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdat.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
mapdat	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑄) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mapdat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdat.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdat.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdat.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
5		mapdat.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
7		mapdat.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	mapd0 42815	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)}) = {(0g‘𝐶)})
9		mapdat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
10		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ( ⋖L ‘𝑈) = ( ⋖L ‘𝑈)
11	1, 3, 7	dvhlvec 42259	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
12		mapdat.q	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝐴)
13	4, 9, 10, 11, 12	lsatcv0 40181	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ( ⋖L ‘𝑈)𝑄)
14		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
15		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ( ⋖L ‘𝐶) = ( ⋖L ‘𝐶)
16	1, 3, 7	dvhlmod 42260	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17	4, 14	lsssn0 21228	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → {(0g‘𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
18	16, 17	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑈)} ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	14, 9, 16, 12	lsatlssel 40147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (LSubSp‘𝑈))
20	1, 2, 3, 14, 10, 5, 15, 7, 18, 19	mapdcv 42810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ({(0g‘𝑈)} ( ⋖L ‘𝑈)𝑄 ↔ (𝑀‘{(0g‘𝑈)})( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘𝑄)))
21	13, 20	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘{(0g‘𝑈)})( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘𝑄))
22	8, 21	eqbrtrrd 5128	. 2 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝐶)} ( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘𝑄))
23		eqid 2760	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
24		mapdat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (LSAtoms‘𝐶)
25	1, 5, 7	lcdlvec 42741	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
26	1, 2, 3, 14, 5, 23, 7, 19	mapdcl2 42806	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑄) ∈ (LSubSp‘𝐶))
27	6, 23, 24, 15, 25, 26	lsat0cv 40183	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑄) ∈ 𝐵 ↔ {(0g‘𝐶)} ( ⋖L ‘𝐶)(𝑀‘𝑄)))
28	22, 27	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑄) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4584   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  0_gc0g 17615  LModclmod 21140  LSubSpclss 21211  LSAtomsclsa 40124   ⋖_L clcv 40168  HLchlt 40500  LHypclh 41134  DVecHcdvh 42228  LCDualclcd 42736  mapdcmpd 42774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-riotaBAD 40103

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8246  df-undef 8293  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-0g 17617  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-proset 18473  df-poset 18492  df-plt 18507  df-lub 18523  df-glb 18524  df-join 18525  df-meet 18526  df-p0 18602  df-p1 18603  df-lat 18611  df-clat 18678  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-subg 19338  df-cntz 19536  df-oppg 19565  df-lsm 19855  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-oppr 20572  df-dvdsr 20592  df-unit 20593  df-invr 20623  df-dvr 20636  df-nzr 20768  df-rlreg 20951  df-domn 20952  df-drng 20987  df-lmod 21142  df-lss 21212  df-lsp 21252  df-lvec 21383  df-lsatoms 40126  df-lshyp 40127  df-lcv 40169  df-lfl 40208  df-lkr 40236  df-ldual 40274  df-oposet 40326  df-ol 40328  df-oml 40329  df-covers 40416  df-ats 40417  df-atl 40448  df-cvlat 40472  df-hlat 40501  df-llines 40648  df-lplanes 40649  df-lvols 40650  df-lines 40651  df-psubsp 40653  df-pmap 40654  df-padd 40946  df-lhyp 41138  df-laut 41139  df-ldil 41254  df-ltrn 41255  df-trl 41309  df-tgrp 41893  df-tendo 41905  df-edring 41907  df-dveca 42153  df-disoa 42179  df-dvech 42229  df-dib 42289  df-dic 42323  df-dih 42379  df-doch 42498  df-djh 42545  df-lcdual 42737  df-mapd 42775

This theorem is used by:  mapdspex  42818  mapdpglem5N  42827  mapdpglem20  42841  mapdpglem30a  42845  mapdpglem30b  42846