Theorem xrge0tmd 33931

Description: The extended nonnegative real numbers monoid is a topological monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.) (Proof Shortened by Thierry Arnoux, 21-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0tmd	⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd

Proof of Theorem xrge0tmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑦 = 0))
2		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (log‘𝑥) = (log‘𝑦))
3	2	negeqd 11376	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝑦))
4	1, 3	ifbieq2d 4505	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = if(𝑦 = 0, +∞, -(log‘𝑦)))
5	4	cbvmptv 5199	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 = 0, +∞, -(log‘𝑦)))
6		xrge0topn 33929	. . 3 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
7	5, 6	xrge0iifmhm 33925	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥))) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
8	5, 6	xrge0iifhmeo 33922	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥))) ∈ (IIHomeo(TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
9		cnfldex 21283	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ V
10		ovex 7386	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) ∈ V
11		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,]1)) = (ℂfld ↾s (0[,]1))
12		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
13	11, 12	mgpress 20054	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,]1))))
14	9, 10, 13	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,]1)))
15	11	dfii4 24794	. . . . 5 ⊢ II = (TopOpen‘(ℂfld ↾s (0[,]1)))
16	14, 15	mgptopn 20052	. . . 4 ⊢ II = (TopOpen‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
17	16	oveq1i 7363	. . 3 ⊢ (IIHomeo(TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))) = ((TopOpen‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))Homeo(TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
18	8, 17	eleqtri 2826	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥))) ∈ ((TopOpen‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))Homeo(TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
19		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
20	19	iistmd 33888	. 2 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd
21		xrge0tps 33928	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
22	7, 18, 20, 21	mhmhmeotmd 33913	1 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438  ifcif 4478   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029  +∞cpnf 11165  -cneg 11367  [,]cicc 13270   ↾_s cress 17160  TopOpenctopn 17344  ℝ^*_𝑠cxrs 17423  mulGrpcmgp 20044  ℂ_fldccnfld 21280  Homeochmeo 23657  TopMndctmd 23974  IIcii 24785  logclog 26480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13271  df-ioc 13272  df-ico 13273  df-icc 13274  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-mod 13793  df-seq 13928  df-exp 13988  df-fac 14200  df-bc 14229  df-hash 14257  df-shft 14993  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-limsup 15397  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15613  df-ef 15993  df-sin 15995  df-cos 15996  df-pi 15998  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-hom 17204  df-cco 17205  df-rest 17345  df-topn 17346  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-topgen 17366  df-pt 17367  df-prds 17370  df-ordt 17424  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-ps 18491  df-tsr 18492  df-plusf 18532  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18676  df-submnd 18677  df-grp 18834  df-minusg 18835  df-sbg 18836  df-mulg 18966  df-subg 19021  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-abl 19681  df-mgp 20045  df-rng 20057  df-ur 20086  df-ring 20139  df-cring 20140  df-subrng 20450  df-subrg 20474  df-abv 20713  df-lmod 20784  df-scaf 20785  df-sra 21096  df-rgmod 21097  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-fbas 21277  df-fg 21278  df-cnfld 21281  df-top 22798  df-topon 22815  df-topsp 22837  df-bases 22850  df-cld 22923  df-ntr 22924  df-cls 22925  df-nei 23002  df-lp 23040  df-perf 23041  df-cn 23131  df-cnp 23132  df-haus 23219  df-tx 23466  df-hmeo 23659  df-fil 23750  df-fm 23842  df-flim 23843  df-flf 23844  df-tmd 23976  df-tgp 23977  df-trg 24064  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-nm 24487  df-ngp 24488  df-nrg 24490  df-nlm 24491  df-ii 24787  df-cncf 24788  df-limc 25784  df-dv 25785  df-log 26482

This theorem is referenced by:  esumsplit  34039  esumadd  34043  esumaddf  34047  esumcst  34049