Theorem xrge0tmd 34030

Description: The extended nonnegative real numbers monoid is a topological monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Mar-2017.) (Proof Shortened by Thierry Arnoux, 21-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0tmd	⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd

Proof of Theorem xrge0tmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑦 = 0))
2		fveq2 6831	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (log‘𝑥) = (log‘𝑦))
3	2	negeqd 11365	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -(log‘𝑥) = -(log‘𝑦))
4	1, 3	ifbieq2d 4503	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥)) = if(𝑦 = 0, +∞, -(log‘𝑦)))
5	4	cbvmptv 5199	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥))) = (𝑦 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑦 = 0, +∞, -(log‘𝑦)))
6		xrge0topn 34028	. . 3 ⊢ (TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))) = ((ordTop‘ ≤ ) ↾t (0[,]+∞))
7	5, 6	xrge0iifmhm 34024	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥))) ∈ (((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) MndHom (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))
8	5, 6	xrge0iifhmeo 34021	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥))) ∈ (IIHomeo(TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
9		cnfldex 21303	. . . . . 6 ⊢ ℂfld ∈ V
10		ovex 7388	. . . . . 6 ⊢ (0[,]1) ∈ V
11		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (ℂfld ↾s (0[,]1)) = (ℂfld ↾s (0[,]1))
12		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
13	11, 12	mgpress 20076	. . . . . 6 ⊢ ((ℂfld ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,]1))))
14	9, 10, 13	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = (mulGrp‘(ℂfld ↾s (0[,]1)))
15	11	dfii4 24824	. . . . 5 ⊢ II = (TopOpen‘(ℂfld ↾s (0[,]1)))
16	14, 15	mgptopn 20074	. . . 4 ⊢ II = (TopOpen‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))
17	16	oveq1i 7365	. . 3 ⊢ (IIHomeo(TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)))) = ((TopOpen‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))Homeo(TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
18	8, 17	eleqtri 2831	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑥 = 0, +∞, -(log‘𝑥))) ∈ ((TopOpen‘((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)))Homeo(TopOpen‘(ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞))))
19		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1))
20	19	iistmd 33987	. 2 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s (0[,]1)) ∈ TopMnd
21		xrge0tps 34027	. 2 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopSp
22	7, 18, 20, 21	mhmhmeotmd 34012	1 ⊢ (ℝ*𝑠 ↾s (0[,]+∞)) ∈ TopMnd

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ifcif 4476   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  0cc0 11017  1c1 11018  +∞cpnf 11154  -cneg 11356  [,]cicc 13255   ↾_s cress 17148  TopOpenctopn 17332  ℝ^*_𝑠cxrs 17412  mulGrpcmgp 20066  ℂ_fldccnfld 21300  Homeochmeo 23688  TopMndctmd 24005  IIcii 24815  logclog 26510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096  ax-mulf 11097

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13256  df-ioc 13257  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13916  df-exp 13976  df-fac 14188  df-bc 14217  df-hash 14245  df-shft 14981  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-limsup 15385  df-clim 15402  df-rlim 15403  df-sum 15601  df-ef 15981  df-sin 15983  df-cos 15984  df-pi 15986  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-ordt 17413  df-xrs 17414  df-qtop 17419  df-imas 17420  df-xps 17422  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-ps 18480  df-tsr 18481  df-plusf 18555  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-mulg 18989  df-subg 19044  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-cring 20162  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-abv 20733  df-lmod 20804  df-scaf 20805  df-sra 21116  df-rgmod 21117  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-cnfld 21301  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-cld 22954  df-ntr 22955  df-cls 22956  df-nei 23033  df-lp 23071  df-perf 23072  df-cn 23162  df-cnp 23163  df-haus 23250  df-tx 23497  df-hmeo 23690  df-fil 23781  df-fm 23873  df-flim 23874  df-flf 23875  df-tmd 24007  df-tgp 24008  df-trg 24095  df-xms 24255  df-ms 24256  df-tms 24257  df-nm 24517  df-ngp 24518  df-nrg 24520  df-nlm 24521  df-ii 24817  df-cncf 24818  df-limc 25814  df-dv 25815  df-log 26512

This theorem is referenced by:  esumsplit  34138  esumadd  34142  esumaddf  34146  esumcst  34148