Theorem zringmpg 21821

Description: The multiplicative group of the ring of integers is the restriction of the multiplicative group of the complex numbers to the integers. (Contributed by AV, 15-Jun-2019.)

Assertion

Ref	Expression
zringmpg	⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)

Proof of Theorem zringmpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cndrng 21749	. 2 ⊢ ℂfld ∈ DivRing
2		zex 12740	. 2 ⊢ ℤ ∈ V
3		df-zring 21797	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
4		eqid 2763	. . 3 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
5	3, 4	mgpress 20412	. 2 ⊢ ((ℂfld ∈ DivRing ∧ ℤ ∈ V) → ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring))
6	1, 2, 5	mp2an 705	1 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ℤ) = (mulGrp‘ℤring)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℤcz 12731   ↾_s cress 17449  mulGrpcmgp 20402  DivRingcdr 21022  ℂ_fldccnfld 21720  ℤ_ringczring 21796

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-addf 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-tpos 8279  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-fz 13678  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-0g 17653  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-grp 19188  df-minusg 19189  df-cmn 20038  df-abl 20039  df-mgp 20403  df-rng 20417  df-ur 20450  df-ring 20503  df-cring 20504  df-oppr 20609  df-dvdsr 20629  df-unit 20630  df-invr 20660  df-dvr 20673  df-drng 21024  df-cnfld 21721  df-zring 21797

This theorem is used by:  fermltlchr  21879  zrhpsgnmhm  21934  lgsqrlem1  27719  lgseisenlem4  27751  dchrisum0flblem1  27881  znfermltl  34019