Theorem norm-i 31215

Description: Theorem 3.3(i) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
norm-i	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Proof of Theorem norm-i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normgt0 31213	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (normℎ‘𝐴)))
2		normcl 31211	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
3		normge0 31212	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
4		0re 11137	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		leltne 11226	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐴)) → (0 < (normℎ‘𝐴) ↔ (normℎ‘𝐴) ≠ 0))
6	4, 5	mp3an1 1451	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐴)) → (0 < (normℎ‘𝐴) ↔ (normℎ‘𝐴) ≠ 0))
7	2, 3, 6	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (normℎ‘𝐴) ↔ (normℎ‘𝐴) ≠ 0))
8	1, 7	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ (normℎ‘𝐴) ≠ 0))
9	8	necon4bid 2978	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ ↔ (normℎ‘𝐴) = 0))
10	9	bicomd 223	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  ℝcr 11028  0cc0 11029   < clt 11170   ≤ cle 11171   ℋchba 31005  norm_ℎcno 31009  0_ℎc0v 31010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-hv0cl 31089  ax-hvmul0 31096  ax-hfi 31165  ax-his1 31168  ax-his3 31170  ax-his4 31171

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-hnorm 31054

This theorem is referenced by:  normne0  31216  norm-i-i  31219  hhnv  31251  norm1exi  31336  hhssnv  31350  nmlnop0iALT  32081  nmcfnlbi  32138  riesz4i  32149  pjnormssi  32254  hst1h  32313  hst0h  32314  strlem1  32336  cdj3lem1  32520