HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm-i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm-i 29470
Description: Theorem 3.3(i) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
norm-i (𝐴 ∈ ℋ → ((norm𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))

Proof of Theorem norm-i
StepHypRef Expression
1 normgt0 29468 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (norm𝐴)))
2 normcl 29466 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → (norm𝐴) ∈ ℝ)
3 normge0 29467 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm𝐴))
4 0re 10961 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5 leltne 11048 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ (norm𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝐴)) → (0 < (norm𝐴) ↔ (norm𝐴) ≠ 0))
64, 5mp3an1 1446 . . . . 5 (((norm𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm𝐴)) → (0 < (norm𝐴) ↔ (norm𝐴) ≠ 0))
72, 3, 6syl2anc 583 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (norm𝐴) ↔ (norm𝐴) ≠ 0))
81, 7bitrd 278 . . 3 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0 ↔ (norm𝐴) ≠ 0))
98necon4bid 2990 . 2 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0 ↔ (norm𝐴) = 0))
109bicomd 222 1 (𝐴 ∈ ℋ → ((norm𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2109  wne 2944   class class class wbr 5078  cfv 6430  cr 10854  0cc0 10855   < clt 10993  cle 10994  chba 29260  normcno 29264  0c0v 29265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933  ax-hv0cl 29344  ax-hvmul0 29351  ax-hfi 29420  ax-his1 29423  ax-his3 29425  ax-his4 29426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-rp 12713  df-seq 13703  df-exp 13764  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-hnorm 29309
This theorem is referenced by:  normne0  29471  norm-i-i  29474  hhnv  29506  norm1exi  29591  hhssnv  29605  nmlnop0iALT  30336  nmcfnlbi  30393  riesz4i  30404  pjnormssi  30509  hst1h  30568  hst0h  30569  strlem1  30591  cdj3lem1  30775
  Copyright terms: Public domain W3C validator