Theorem norm-i 31148

Description: Theorem 3.3(i) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
norm-i	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Proof of Theorem norm-i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normgt0 31146	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ 0 < (normℎ‘𝐴)))
2		normcl 31144	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)
3		normge0 31145	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → 0 ≤ (normℎ‘𝐴))
4		0re 11263	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		leltne 11350	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐴)) → (0 < (normℎ‘𝐴) ↔ (normℎ‘𝐴) ≠ 0))
6	4, 5	mp3an1 1450	. . . . 5 ⊢ (((normℎ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (normℎ‘𝐴)) → (0 < (normℎ‘𝐴) ↔ (normℎ‘𝐴) ≠ 0))
7	2, 3, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (0 < (normℎ‘𝐴) ↔ (normℎ‘𝐴) ≠ 0))
8	1, 7	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0ℎ ↔ (normℎ‘𝐴) ≠ 0))
9	8	necon4bid 2986	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 = 0ℎ ↔ (normℎ‘𝐴) = 0))
10	9	bicomd 223	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴) = 0 ↔ 𝐴 = 0ℎ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  ℝcr 11154  0cc0 11155   < clt 11295   ≤ cle 11296   ℋchba 30938  norm_ℎcno 30942  0_ℎc0v 30943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-hv0cl 31022  ax-hvmul0 31029  ax-hfi 31098  ax-his1 31101  ax-his3 31103  ax-his4 31104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-hnorm 30987

This theorem is referenced by:  normne0  31149  norm-i-i  31152  hhnv  31184  norm1exi  31269  hhssnv  31283  nmlnop0iALT  32014  nmcfnlbi  32071  riesz4i  32082  pjnormssi  32187  hst1h  32246  hst0h  32247  strlem1  32269  cdj3lem1  32453