Theorem nprmmul2 48532

Description: Special factorization of a non-prime integer greater than 3. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmmul2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))

Distinct variable group:   𝑁,𝑎,𝑏

Proof of Theorem nprmmul2

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nprmmul1 48531	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑚 ∈ (2..^𝑁)∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑚 · 𝑛)))
2		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑛 ≤ 𝑏))
3		oveq1 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑛 · 𝑏))
4	3	eqeq2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑁 = (𝑛 · 𝑏)))
5	2, 4	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (𝑛 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑛 · 𝑏))))
6		breq2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑚 → (𝑛 ≤ 𝑏 ↔ 𝑛 ≤ 𝑚))
7		oveq2 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑏) = (𝑛 · 𝑚))
8	7	eqeq2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑚 → (𝑁 = (𝑛 · 𝑏) ↔ 𝑁 = (𝑛 · 𝑚)))
9	6, 8	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑚 → ((𝑛 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑛 · 𝑏)) ↔ (𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑁 = (𝑛 · 𝑚))))
10		simp1rr 1258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → 𝑛 ∈ (2..^𝑁))
11		simp1rl 1257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
12		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → 𝑛 ≤ 𝑚)
13		elfzo2nn 48321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
14		elfzo2nn 48321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (2..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ)
15		nnmulcom 12366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑛) = (𝑛 · 𝑚))
16	13, 14, 15	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑚 · 𝑛) = (𝑛 · 𝑚))
17	16	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑚 · 𝑛) ↔ 𝑁 = (𝑛 · 𝑚)))
18	17	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑚 · 𝑛) → 𝑁 = (𝑛 · 𝑚)))
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) → (𝑁 = (𝑚 · 𝑛) → 𝑁 = (𝑛 · 𝑚)))
20	19	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → 𝑁 = (𝑛 · 𝑚))
21	20	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → 𝑁 = (𝑛 · 𝑚))
22	12, 21	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → (𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑁 = (𝑛 · 𝑚)))
23	5, 9, 10, 11, 22	2rspcedvdw 3589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
24	23	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) → (𝑛 ≤ 𝑚 → (𝑁 = (𝑚 · 𝑛) → ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))))
25		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑚 ≤ 𝑏))
26		oveq1 7415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑚 · 𝑏))
27	26	eqeq2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑁 = (𝑚 · 𝑏)))
28	25, 27	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (𝑚 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑏))))
29		breq2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑛 → (𝑚 ≤ 𝑏 ↔ 𝑚 ≤ 𝑛))
30		oveq2 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑏) = (𝑚 · 𝑛))
31	30	eqeq2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑛 → (𝑁 = (𝑚 · 𝑏) ↔ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)))
32	29, 31	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑛 → ((𝑚 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑏)) ↔ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛))))
33		simp1rl 1257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
34		simp1rr 1258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → 𝑛 ∈ (2..^𝑁))
35		3simpc 1168	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)))
36	28, 32, 33, 34, 35	2rspcedvdw 3589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
37	36	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) → (𝑚 ≤ 𝑛 → (𝑁 = (𝑚 · 𝑛) → ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))))
38		elfzoelz 13762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) → 𝑚 ∈ ℤ)
39	38	zred 12773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) → 𝑚 ∈ ℝ)
40		elfzoelz 13762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (2..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
41	40	zred 12773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (2..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℝ)
42	39, 41	anim12ci 626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ))
43	42	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ))
44		letric 11382	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ 𝑚 ∨ 𝑚 ≤ 𝑛))
45	43, 44	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) → (𝑛 ≤ 𝑚 ∨ 𝑚 ≤ 𝑛))
46	24, 37, 45	mpjaod 874	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) → (𝑁 = (𝑚 · 𝑛) → ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
47	46	rexlimdvva 3219	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∃𝑚 ∈ (2..^𝑁)∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑚 · 𝑛) → ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
48		oveq1 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑎 → (𝑚 · 𝑛) = (𝑎 · 𝑛))
49	48	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑎 → (𝑁 = (𝑚 · 𝑛) ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑛)))
50		oveq2 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → (𝑎 · 𝑛) = (𝑎 · 𝑏))
51	50	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑛) ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
52		simplrl 789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑎 ∈ (2..^𝑁))
53		simplrr 790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑏 ∈ (2..^𝑁))
54		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))
55	49, 51, 52, 53, 54	2rspcedvdw 3589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑚 ∈ (2..^𝑁)∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑚 · 𝑛))
56	55	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → ∃𝑚 ∈ (2..^𝑁)∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑚 · 𝑛)))
57	56	adantld 496	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑚 ∈ (2..^𝑁)∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑚 · 𝑛)))
58	57	rexlimdvva 3219	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑚 ∈ (2..^𝑁)∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑚 · 𝑛)))
59	47, 58	impbid 215	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∃𝑚 ∈ (2..^𝑁)∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑚 · 𝑛) ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
60	1, 59	bitrd 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3061  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℝcr 11171   · cmul 11177   ≤ cle 11316  ℕcn 12305  2c2 12367  4c4 12369  ℤ_≥cuz 12935  ..^cfzo 13757  ℙcprime 16809

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-rp 13091  df-fz 13610  df-fzo 13758  df-seq 14114  df-exp 14174  df-cj 15234  df-re 15235  df-im 15236  df-sqrt 15370  df-abs 15371  df-dvds 16391  df-prm 16810

This theorem is used by:  nprmmul3  48533