Theorem nprmmul2 48686

Description: Special factorization of a non-prime integer greater than 3. (Contributed by AV, 6-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmmul2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))

Distinct variable group:   𝑁,𝑎,𝑏

Proof of Theorem nprmmul2

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nprmmul1 48685	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑚 ∈ (2..^𝑁)∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑚 · 𝑛)))
2		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑛 ≤ 𝑏))
3		oveq1 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑛 · 𝑏))
4	3	eqeq2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑁 = (𝑛 · 𝑏)))
5	2, 4	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑛 → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (𝑛 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑛 · 𝑏))))
6		breq2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑚 → (𝑛 ≤ 𝑏 ↔ 𝑛 ≤ 𝑚))
7		oveq2 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑏) = (𝑛 · 𝑚))
8	7	eqeq2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑚 → (𝑁 = (𝑛 · 𝑏) ↔ 𝑁 = (𝑛 · 𝑚)))
9	6, 8	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑚 → ((𝑛 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑛 · 𝑏)) ↔ (𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑁 = (𝑛 · 𝑚))))
10		simp1rr 1258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → 𝑛 ∈ (2..^𝑁))
11		simp1rl 1257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
12		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → 𝑛 ≤ 𝑚)
13		elfzo2nn 48475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
14		elfzo2nn 48475	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ (2..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ)
15		nnmulcom 12397	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑛) = (𝑛 · 𝑚))
16	13, 14, 15	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑚 · 𝑛) = (𝑛 · 𝑚))
17	16	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑚 · 𝑛) ↔ 𝑁 = (𝑛 · 𝑚)))
18	17	biimpd 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑚 · 𝑛) → 𝑁 = (𝑛 · 𝑚)))
19	18	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) → (𝑁 = (𝑚 · 𝑛) → 𝑁 = (𝑛 · 𝑚)))
20	19	imp 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → 𝑁 = (𝑛 · 𝑚))
21	20	3adant2 1149	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → 𝑁 = (𝑛 · 𝑚))
22	12, 21	jca 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → (𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑁 = (𝑛 · 𝑚)))
23	5, 9, 10, 11, 22	2rspcedvdw 3589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑛 ≤ 𝑚 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
24	23	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) → (𝑛 ≤ 𝑚 → (𝑁 = (𝑚 · 𝑛) → ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))))
25		breq1 5105	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ 𝑚 ≤ 𝑏))
26		oveq1 7427	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑚 · 𝑏))
27	26	eqeq2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑁 = (𝑚 · 𝑏)))
28	25, 27	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝑚 → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (𝑚 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑏))))
29		breq2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑛 → (𝑚 ≤ 𝑏 ↔ 𝑚 ≤ 𝑛))
30		oveq2 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = 𝑛 → (𝑚 · 𝑏) = (𝑚 · 𝑛))
31	30	eqeq2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = 𝑛 → (𝑁 = (𝑚 · 𝑏) ↔ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)))
32	29, 31	anbi12d 644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑛 → ((𝑚 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑏)) ↔ (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛))))
33		simp1rl 1257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → 𝑚 ∈ (2..^𝑁))
34		simp1rr 1258	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → 𝑛 ∈ (2..^𝑁))
35		3simpc 1168	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → (𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)))
36	28, 32, 33, 34, 35	2rspcedvdw 3589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑚 ≤ 𝑛 ∧ 𝑁 = (𝑚 · 𝑛)) → ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
37	36	3exp 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) → (𝑚 ≤ 𝑛 → (𝑁 = (𝑚 · 𝑛) → ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))))
38		elfzoelz 13794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) → 𝑚 ∈ ℤ)
39	38	zred 12804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) → 𝑚 ∈ ℝ)
40		elfzoelz 13794	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ (2..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
41	40	zred 12804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ (2..^𝑁) → 𝑛 ∈ ℝ)
42	39, 41	anim12ci 626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ))
43	42	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ))
44		letric 11411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑛 ≤ 𝑚 ∨ 𝑚 ≤ 𝑛))
45	43, 44	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) → (𝑛 ≤ 𝑚 ∨ 𝑚 ≤ 𝑛))
46	24, 37, 45	mpjaod 874	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑚 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑛 ∈ (2..^𝑁))) → (𝑁 = (𝑚 · 𝑛) → ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
47	46	rexlimdvva 3219	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∃𝑚 ∈ (2..^𝑁)∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑚 · 𝑛) → ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
48		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑎 → (𝑚 · 𝑛) = (𝑎 · 𝑛))
49	48	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑎 → (𝑁 = (𝑚 · 𝑛) ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑛)))
50		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → (𝑎 · 𝑛) = (𝑎 · 𝑏))
51	50	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑏 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑛) ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
52		simplrl 789	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑎 ∈ (2..^𝑁))
53		simplrr 790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑏 ∈ (2..^𝑁))
54		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))
55	49, 51, 52, 53, 54	2rspcedvdw 3589	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑚 ∈ (2..^𝑁)∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑚 · 𝑛))
56	55	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → ∃𝑚 ∈ (2..^𝑁)∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑚 · 𝑛)))
57	56	adantld 496	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁))) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑚 ∈ (2..^𝑁)∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑚 · 𝑛)))
58	57	rexlimdvva 3219	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑚 ∈ (2..^𝑁)∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑚 · 𝑛)))
59	47, 58	impbid 215	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∃𝑚 ∈ (2..^𝑁)∃𝑛 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑚 · 𝑛) ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
60	1, 59	bitrd 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11200   · cmul 11206   ≤ cle 11345  ℕcn 12336  2c2 12398  4c4 12400  ℤ_≥cuz 12966  ..^cfzo 13789  ℙcprime 16847

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-exp 14206  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-dvds 16424  df-prm 16848

This theorem is used by:  nprmmul3  48687