Theorem nprmmul3 47983

Description: Special factorization of a non-prime integer greater than 3. (Contributed by AV, 4-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmmul3	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))

Distinct variable group:   𝑁,𝑎,𝑏

Proof of Theorem nprmmul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nprmmul2 47982	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
2		elfzoelz 13613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℤ)
3	2	zred 12633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℝ)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → 𝑎 ∈ ℝ)
5		elfzoelz 13613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ ℤ)
6	5	zred 12633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ ℝ)
7		leloe 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏)))
8	4, 6, 7	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏)))
9	8	anbi1d 632	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
10		andir 1011	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
11	9, 10	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))))
12	11	rexbidva 3160	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))))
13		r19.43 3106	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) ↔ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
14		oveq2 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑎))
15	14	equcoms 2022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑎))
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑎))
17	2	zcnd 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℂ)
18	17	sqvald 14105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → (𝑎↑2) = (𝑎 · 𝑎))
19	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑎↑2) = (𝑎 · 𝑎))
20	16, 19	eqtr4d 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑎↑2))
21	20	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑁 = (𝑎↑2)))
22	21	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑁 = (𝑎↑2)))
23	22	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → (𝑎 = 𝑏 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑁 = (𝑎↑2))))
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 = 𝑏 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑁 = (𝑎↑2))))
25	24	impd 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 = (𝑎↑2)))
26	25	a1d 25	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 = (𝑎↑2))))
27	26	rexlimdv 3137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 = (𝑎↑2)))
28		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑎 ∈ (2..^𝑁))
29		equequ2 2028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑎))
30	14	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
31	29, 30	anbi12d 633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (𝑎 = 𝑎 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎))))
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) ∧ 𝑏 = 𝑎) → ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (𝑎 = 𝑎 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎))))
33	18	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝑎↑2) ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
34	33	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
36	35	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑁 = (𝑎 · 𝑎))
37		equid 2014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑎 = 𝑎
38	36, 37	jctil 519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → (𝑎 = 𝑎 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
39	28, 32, 38	rspcedvd 3567	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
40	39	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑎↑2) → ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
41	27, 40	impbid 212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ 𝑁 = (𝑎↑2)))
42	41	orbi2d 916	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → ((∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) ↔ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2))))
43	13, 42	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) ↔ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2))))
44	12, 43	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2))))
45	44	rexbidva 3160	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)(∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2))))
46		r19.43 3106	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)(∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2)) ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2)))
47	45, 46	bitrdi 287	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))
48	1, 47	bitrd 279	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∉ wnel 3037  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180  2c2 12236  4c4 12238  ℤ_≥cuz 12788  ..^cfzo 13608  ↑cexp 14023  ℙcprime 16640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-dvds 16222  df-prm 16641

This theorem is referenced by:  nprmdvdsfacm1  48081