Theorem nprmmul3 48245

Description: Special factorization of a non-prime integer greater than 3. (Contributed by AV, 4-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmmul3	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))

Distinct variable group:   𝑁,𝑎,𝑏

Proof of Theorem nprmmul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nprmmul2 48244	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
2		elfzoelz 13687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℤ)
3	2	zred 12699	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℝ)
4	3	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → 𝑎 ∈ ℝ)
5		elfzoelz 13687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ ℤ)
6	5	zred 12699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ ℝ)
7		leloe 11295	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏)))
8	4, 6, 7	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏)))
9	8	anbi1d 642	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
10		andir 1024	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
11	9, 10	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))))
12	11	rexbidva 3185	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))))
13		r19.43 3131	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) ↔ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
14		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑎))
15	14	equcoms 2048	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑎))
16	15	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑎))
17	2	zcnd 12700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℂ)
18	17	sqvald 14179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → (𝑎↑2) = (𝑎 · 𝑎))
19	18	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑎↑2) = (𝑎 · 𝑎))
20	16, 19	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑎↑2))
21	20	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑁 = (𝑎↑2)))
22	21	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑁 = (𝑎↑2)))
23	22	ex 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → (𝑎 = 𝑏 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑁 = (𝑎↑2))))
24	23	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 = 𝑏 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑁 = (𝑎↑2))))
25	24	impd 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 = (𝑎↑2)))
26	25	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 = (𝑎↑2))))
27	26	rexlimdv 3162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 = (𝑎↑2)))
28		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑎 ∈ (2..^𝑁))
29		equequ2 2054	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑎))
30	14	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
31	29, 30	anbi12d 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (𝑎 = 𝑎 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎))))
32	31	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) ∧ 𝑏 = 𝑎) → ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (𝑎 = 𝑎 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎))))
33	18	eqeq2d 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝑎↑2) ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
34	33	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
35	34	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
36	35	imp 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑁 = (𝑎 · 𝑎))
37		equid 2040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑎 = 𝑎
38	36, 37	jctil 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → (𝑎 = 𝑎 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
39	28, 32, 38	rspcedvd 3582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
40	39	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑎↑2) → ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
41	27, 40	impbid 215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ 𝑁 = (𝑎↑2)))
42	41	orbi2d 928	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → ((∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) ↔ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2))))
43	13, 42	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) ↔ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2))))
44	12, 43	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2))))
45	44	rexbidva 3185	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)(∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2))))
46		r19.43 3131	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)(∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2)) ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2)))
47	45, 46	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))
48	1, 47	bitrd 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ∉ wnel 3062  ∃wrex 3087   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098   · cmul 11104   < clt 11242   ≤ cle 11243  2c2 12294  4c4 12296  ℤ_≥cuz 12861  ..^cfzo 13682  ↑cexp 14097  ℙcprime 16728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9401  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-exp 14098  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16310  df-prm 16729

This theorem is referenced by:  nprmdvdsfacm1  48343