Theorem nprmmul3 48431

Description: Special factorization of a non-prime integer greater than 3. (Contributed by AV, 4-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmmul3	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))

Distinct variable group:   𝑁,𝑎,𝑏

Proof of Theorem nprmmul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nprmmul2 48430	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
2		elfzoelz 13716	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℤ)
3	2	zred 12728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℝ)
4	3	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → 𝑎 ∈ ℝ)
5		elfzoelz 13716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ ℤ)
6	5	zred 12728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ ℝ)
7		leloe 11323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏)))
8	4, 6, 7	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏)))
9	8	anbi1d 643	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
10		andir 1026	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
11	9, 10	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))))
12	11	rexbidva 3186	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))))
13		r19.43 3132	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) ↔ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
14		oveq2 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑎))
15	14	equcoms 2053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑎))
16	15	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑎))
17	2	zcnd 12729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℂ)
18	17	sqvald 14209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → (𝑎↑2) = (𝑎 · 𝑎))
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑎↑2) = (𝑎 · 𝑎))
20	16, 19	eqtr4d 2800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑎↑2))
21	20	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑁 = (𝑎↑2)))
22	21	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑁 = (𝑎↑2)))
23	22	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → (𝑎 = 𝑏 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑁 = (𝑎↑2))))
24	23	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 = 𝑏 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑁 = (𝑎↑2))))
25	24	impd 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 = (𝑎↑2)))
26	25	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 = (𝑎↑2))))
27	26	rexlimdv 3163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 = (𝑎↑2)))
28		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑎 ∈ (2..^𝑁))
29		equequ2 2059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑎))
30	14	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
31	29, 30	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (𝑎 = 𝑎 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎))))
32	31	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) ∧ 𝑏 = 𝑎) → ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (𝑎 = 𝑎 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎))))
33	18	eqeq2d 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝑎↑2) ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
34	33	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
35	34	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
36	35	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑁 = (𝑎 · 𝑎))
37		equid 2045	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑎 = 𝑎
38	36, 37	jctil 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → (𝑎 = 𝑎 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
39	28, 32, 38	rspcedvd 3581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
40	39	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑎↑2) → ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
41	27, 40	impbid 215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ 𝑁 = (𝑎↑2)))
42	41	orbi2d 929	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → ((∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) ↔ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2))))
43	13, 42	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) ↔ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2))))
44	12, 43	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2))))
45	44	rexbidva 3186	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)(∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2))))
46		r19.43 3132	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)(∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2)) ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2)))
47	45, 46	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))
48	1, 47	bitrd 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3063  ∃wrex 3088   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℝcr 11126   · cmul 11132   < clt 11270   ≤ cle 11271  2c2 12322  4c4 12324  ℤ_≥cuz 12890  ..^cfzo 13711  ↑cexp 14127  ℙcprime 16765

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-dvds 16347  df-prm 16766

This theorem is used by:  nprmdvdsfacm1  48529