Theorem nprmmul3 48687

Description: Special factorization of a non-prime integer greater than 3. (Contributed by AV, 4-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
nprmmul3	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))

Distinct variable group:   𝑁,𝑎,𝑏

Proof of Theorem nprmmul3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nprmmul2 48686	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
2		elfzoelz 13794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℤ)
3	2	zred 12804	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℝ)
4	3	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → 𝑎 ∈ ℝ)
5		elfzoelz 13794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ ℤ)
6	5	zred 12804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → 𝑏 ∈ ℝ)
7		leloe 11397	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏)))
8	4, 6, 7	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ (𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏)))
9	8	anbi1d 643	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
10		andir 1026	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 < 𝑏 ∨ 𝑎 = 𝑏) ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
11	9, 10	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑏 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))))
12	11	rexbidva 3184	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))))
13		r19.43 3130	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) ↔ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
14		oveq2 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑎))
15	14	equcoms 2052	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑎))
16	15	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑎))
17	2	zcnd 12805	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → 𝑎 ∈ ℂ)
18	17	sqvald 14287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → (𝑎↑2) = (𝑎 · 𝑎))
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑎↑2) = (𝑎 · 𝑎))
20	16, 19	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑎 · 𝑏) = (𝑎↑2))
21	20	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑁 = (𝑎↑2)))
22	21	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (2..^𝑁) ∧ 𝑎 = 𝑏) → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑁 = (𝑎↑2)))
23	22	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → (𝑎 = 𝑏 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑁 = (𝑎↑2))))
24	23	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑎 = 𝑏 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑁 = (𝑎↑2))))
25	24	impd 416	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 = (𝑎↑2)))
26	25	a1d 26	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑏 ∈ (2..^𝑁) → ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 = (𝑎↑2))))
27	26	rexlimdv 3161	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑁 = (𝑎↑2)))
28		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑎 ∈ (2..^𝑁))
29		equequ2 2058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑎 = 𝑏 ↔ 𝑎 = 𝑎))
30	14	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → (𝑁 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
31	29, 30	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 𝑎 → ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (𝑎 = 𝑎 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎))))
32	31	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) ∧ 𝑏 = 𝑎) → ((𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (𝑎 = 𝑎 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎))))
33	18	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝑎↑2) ↔ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
34	33	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (2..^𝑁) → (𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
35	34	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑎↑2) → 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
36	35	imp 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → 𝑁 = (𝑎 · 𝑎))
37		equid 2044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑎 = 𝑎
38	36, 37	jctil 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → (𝑎 = 𝑎 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑎)))
39	28, 32, 38	rspcedvd 3578	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) ∧ 𝑁 = (𝑎↑2)) → ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)))
40	39	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (𝑁 = (𝑎↑2) → ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))))
41	27, 40	impbid 215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ 𝑁 = (𝑎↑2)))
42	41	orbi2d 929	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → ((∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) ↔ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2))))
43	13, 42	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)((𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ (𝑎 = 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏))) ↔ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2))))
44	12, 43	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑎 ∈ (2..^𝑁)) → (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2))))
45	44	rexbidva 3184	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)(∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2))))
46		r19.43 3130	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)(∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ 𝑁 = (𝑎↑2)) ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2)))
47	45, 46	bitrdi 290	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))
48	1, 47	bitrd 282	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑁 ∉ ℙ ↔ (∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)∃𝑏 ∈ (2..^𝑁)(𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑁 = (𝑎 · 𝑏)) ∨ ∃𝑎 ∈ (2..^𝑁)𝑁 = (𝑎↑2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∉ wnel 3061  ∃wrex 3086   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11200   · cmul 11206   < clt 11344   ≤ cle 11345  2c2 12398  4c4 12400  ℤ_≥cuz 12966  ..^cfzo 13789  ↑cexp 14205  ℙcprime 16847

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-exp 14206  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-dvds 16424  df-prm 16848

This theorem is used by:  nprmdvdsfacm1  48785