MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cygznlem1 21504
Description: Lemma for cygzn 21508. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
cygzn.n ๐‘ = if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0)
cygzn.y ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘)
cygzn.m ยท = (.gโ€˜๐บ)
cygzn.l ๐ฟ = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
cygzn.e ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
cygzn.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ CycGrp)
cygzn.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ)
Assertion
Ref Expression
cygznlem1 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ฟโ€˜๐พ) = (๐ฟโ€˜๐‘€) โ†” (๐พ ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท ๐‘‹)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ต   ๐‘›,๐บ,๐‘ฅ   ยท ,๐‘›,๐‘ฅ   ๐‘›,๐‘Œ,๐‘ฅ   ๐‘›,๐ฟ,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘›,๐‘‹,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘›)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘›)   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘›)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘›)   ๐‘(๐‘›)

Proof of Theorem cygznlem1
StepHypRef Expression
1 cygzn.n . . . . 5 ๐‘ = if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0)
2 hashcl 14347 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
32adantl 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
4 0nn0 12517 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„•0
54a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
63, 5ifclda 4559 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„•0)
71, 6eqeltrid 2829 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
87adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
9 simprl 769 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
10 simprr 771 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
11 cygzn.y . . . 4 ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘)
12 cygzn.l . . . 4 ๐ฟ = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
1311, 12zndvds 21487 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ฟโ€˜๐พ) = (๐ฟโ€˜๐‘€) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐พ โˆ’ ๐‘€)))
148, 9, 10, 13syl3anc 1368 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ฟโ€˜๐พ) = (๐ฟโ€˜๐‘€) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐พ โˆ’ ๐‘€)))
15 cygzn.g . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ CycGrp)
16 cyggrp 19849 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ CycGrp โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
18 cygzn.x . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ)
19 cygzn.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
20 cygzn.m . . . . . . 7 ยท = (.gโ€˜๐บ)
21 cygzn.e . . . . . . 7 ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
22 eqid 2725 . . . . . . 7 (odโ€˜๐บ) = (odโ€˜๐บ)
2319, 20, 21, 22cyggenod2 19844 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((odโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) = if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0))
2417, 18, 23syl2anc 582 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((odโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) = if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0))
2524, 1eqtr4di 2783 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((odโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) = ๐‘)
2625adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((odโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) = ๐‘)
2726breq1d 5153 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((odโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) โˆฅ (๐พ โˆ’ ๐‘€) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐พ โˆ’ ๐‘€)))
2817adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
2919, 20, 21iscyggen 19839 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ ๐ธ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘‹)) = ๐ต))
3029simplbi 496 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ ๐ธ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3118, 30syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3231adantr 479 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
33 eqid 2725 . . . 4 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
3419, 22, 20, 33odcong 19508 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((odโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) โˆฅ (๐พ โˆ’ ๐‘€) โ†” (๐พ ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท ๐‘‹)))
3528, 32, 9, 10, 34syl112anc 1371 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((odโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) โˆฅ (๐พ โˆ’ ๐‘€) โ†” (๐พ ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท ๐‘‹)))
3614, 27, 353bitr2d 306 1 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ฟโ€˜๐พ) = (๐ฟโ€˜๐‘€) โ†” (๐พ ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3419  ifcif 4524   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  ran crn 5673  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Fincfn 8962  0cc0 11138   โˆ’ cmin 11474  โ„•0cn0 12502  โ„คcz 12588  โ™ฏchash 14321   โˆฅ cdvds 16230  Basecbs 17179  0gc0g 17420  Grpcgrp 18894  .gcmg 19027  odcod 19483  CycGrpccyg 19836  โ„คRHomczrh 21429  โ„ค/nโ„คczn 21432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-ec 8725  df-qs 8729  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-0g 17422  df-imas 17489  df-qus 17490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-nsg 19083  df-eqg 19084  df-ghm 19172  df-od 19487  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-cyg 19837  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-sra 21062  df-rgmod 21063  df-lidl 21108  df-rsp 21109  df-2idl 21148  df-cnfld 21284  df-zring 21377  df-zrh 21433  df-zn 21436
This theorem is referenced by:  cygznlem2a  21505  cygznlem3  21507
  Copyright terms: Public domain W3C validator