MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cygznlem1 21461
Description: Lemma for cygzn 21465. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
cygzn.n ๐‘ = if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0)
cygzn.y ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘)
cygzn.m ยท = (.gโ€˜๐บ)
cygzn.l ๐ฟ = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
cygzn.e ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
cygzn.g (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ CycGrp)
cygzn.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ)
Assertion
Ref Expression
cygznlem1 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ฟโ€˜๐พ) = (๐ฟโ€˜๐‘€) โ†” (๐พ ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท ๐‘‹)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘›,๐ต   ๐‘›,๐บ,๐‘ฅ   ยท ,๐‘›,๐‘ฅ   ๐‘›,๐‘Œ,๐‘ฅ   ๐‘›,๐ฟ,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘   ๐‘›,๐‘‹,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘›)   ๐ธ(๐‘ฅ,๐‘›)   ๐พ(๐‘ฅ,๐‘›)   ๐‘€(๐‘ฅ,๐‘›)   ๐‘(๐‘›)

Proof of Theorem cygznlem1
StepHypRef Expression
1 cygzn.n . . . . 5 ๐‘ = if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0)
2 hashcl 14321 . . . . . . 7 (๐ต โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
32adantl 481 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐ต) โˆˆ โ„•0)
4 0nn0 12491 . . . . . . 7 0 โˆˆ โ„•0
54a1i 11 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ยฌ ๐ต โˆˆ Fin) โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
63, 5ifclda 4558 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0) โˆˆ โ„•0)
71, 6eqeltrid 2831 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
87adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
9 simprl 768 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„ค)
10 simprr 770 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
11 cygzn.y . . . 4 ๐‘Œ = (โ„ค/nโ„คโ€˜๐‘)
12 cygzn.l . . . 4 ๐ฟ = (โ„คRHomโ€˜๐‘Œ)
1311, 12zndvds 21444 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ฟโ€˜๐พ) = (๐ฟโ€˜๐‘€) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐พ โˆ’ ๐‘€)))
148, 9, 10, 13syl3anc 1368 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ฟโ€˜๐พ) = (๐ฟโ€˜๐‘€) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐พ โˆ’ ๐‘€)))
15 cygzn.g . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ CycGrp)
16 cyggrp 19810 . . . . . . 7 (๐บ โˆˆ CycGrp โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
18 cygzn.x . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ)
19 cygzn.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
20 cygzn.m . . . . . . 7 ยท = (.gโ€˜๐บ)
21 cygzn.e . . . . . . 7 ๐ธ = {๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆฃ ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘ฅ)) = ๐ต}
22 eqid 2726 . . . . . . 7 (odโ€˜๐บ) = (odโ€˜๐บ)
2319, 20, 21, 22cyggenod2 19805 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ธ) โ†’ ((odโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) = if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0))
2417, 18, 23syl2anc 583 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((odโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) = if(๐ต โˆˆ Fin, (โ™ฏโ€˜๐ต), 0))
2524, 1eqtr4di 2784 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((odโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) = ๐‘)
2625adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((odโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) = ๐‘)
2726breq1d 5151 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((odโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) โˆฅ (๐พ โˆ’ ๐‘€) โ†” ๐‘ โˆฅ (๐พ โˆ’ ๐‘€)))
2817adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
2919, 20, 21iscyggen 19800 . . . . . 6 (๐‘‹ โˆˆ ๐ธ โ†” (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ran (๐‘› โˆˆ โ„ค โ†ฆ (๐‘› ยท ๐‘‹)) = ๐ต))
3029simplbi 497 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ ๐ธ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3118, 30syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
3231adantr 480 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
33 eqid 2726 . . . 4 (0gโ€˜๐บ) = (0gโ€˜๐บ)
3419, 22, 20, 33odcong 19469 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((odโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) โˆฅ (๐พ โˆ’ ๐‘€) โ†” (๐พ ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท ๐‘‹)))
3528, 32, 9, 10, 34syl112anc 1371 . 2 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ (((odโ€˜๐บ)โ€˜๐‘‹) โˆฅ (๐พ โˆ’ ๐‘€) โ†” (๐พ ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท ๐‘‹)))
3614, 27, 353bitr2d 307 1 ((๐œ‘ โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค)) โ†’ ((๐ฟโ€˜๐พ) = (๐ฟโ€˜๐‘€) โ†” (๐พ ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {crab 3426  ifcif 4523   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  ran crn 5670  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941  0cc0 11112   โˆ’ cmin 11448  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ™ฏchash 14295   โˆฅ cdvds 16204  Basecbs 17153  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  .gcmg 18995  odcod 19444  CycGrpccyg 19797  โ„คRHomczrh 21386  โ„ค/nโ„คczn 21389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-imas 17463  df-qus 17464  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-nsg 19051  df-eqg 19052  df-ghm 19139  df-od 19448  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-cyg 19798  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-lidl 21067  df-rsp 21068  df-2idl 21107  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-zn 21393
This theorem is referenced by:  cygznlem2a  21462  cygznlem3  21464
  Copyright terms: Public domain W3C validator