MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cygznlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cygznlem1 20310
Description: Lemma for cygzn 20314. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cygzn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cygzn.n 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
cygzn.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
cygzn.m · = (.g𝐺)
cygzn.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
cygzn.e 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
cygzn.g (𝜑𝐺 ∈ CycGrp)
cygzn.x (𝜑𝑋𝐸)
Assertion
Ref Expression
cygznlem1 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝐿𝐾) = (𝐿𝑀) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝐺,𝑥   · ,𝑛,𝑥   𝑛,𝑌,𝑥   𝑛,𝐿,𝑥   𝑥,𝑁   𝑛,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐸(𝑥,𝑛)   𝐾(𝑥,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem cygznlem1
StepHypRef Expression
1 cygzn.n . . . . 5 𝑁 = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0)
2 hashcl 13462 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ Fin → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
32adantl 475 . . . . . 6 ((𝜑𝐵 ∈ Fin) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
4 0nn0 11659 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐵 ∈ Fin) → 0 ∈ ℕ0)
63, 5ifclda 4340 . . . . 5 (𝜑 → if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0) ∈ ℕ0)
71, 6syl5eqel 2862 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
87adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
9 simprl 761 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℤ)
10 simprr 763 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
11 cygzn.y . . . 4 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
12 cygzn.l . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
1311, 12zndvds 20293 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐿𝐾) = (𝐿𝑀) ↔ 𝑁 ∥ (𝐾𝑀)))
148, 9, 10, 13syl3anc 1439 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝐿𝐾) = (𝐿𝑀) ↔ 𝑁 ∥ (𝐾𝑀)))
15 cygzn.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ CycGrp)
16 cyggrp 18677 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ CycGrp → 𝐺 ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
18 cygzn.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐸)
19 cygzn.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
20 cygzn.m . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
21 cygzn.e . . . . . . 7 𝐸 = {𝑥𝐵 ∣ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑥)) = 𝐵}
22 eqid 2777 . . . . . . 7 (od‘𝐺) = (od‘𝐺)
2319, 20, 21, 22cyggenod2 18673 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐸) → ((od‘𝐺)‘𝑋) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
2417, 18, 23syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝑋) = if(𝐵 ∈ Fin, (♯‘𝐵), 0))
2524, 1syl6eqr 2831 . . . 4 (𝜑 → ((od‘𝐺)‘𝑋) = 𝑁)
2625adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((od‘𝐺)‘𝑋) = 𝑁)
2726breq1d 4896 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((od‘𝐺)‘𝑋) ∥ (𝐾𝑀) ↔ 𝑁 ∥ (𝐾𝑀)))
2817adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝐺 ∈ Grp)
2919, 20, 21iscyggen 18668 . . . . . 6 (𝑋𝐸 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ran (𝑛 ∈ ℤ ↦ (𝑛 · 𝑋)) = 𝐵))
3029simplbi 493 . . . . 5 (𝑋𝐸𝑋𝐵)
3118, 30syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
3231adantr 474 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → 𝑋𝐵)
33 eqid 2777 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3419, 22, 20, 33odcong 18352 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((od‘𝐺)‘𝑋) ∥ (𝐾𝑀) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋)))
3528, 32, 9, 10, 34syl112anc 1442 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((od‘𝐺)‘𝑋) ∥ (𝐾𝑀) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋)))
3614, 27, 353bitr2d 299 1 ((𝜑 ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝐿𝐾) = (𝐿𝑀) ↔ (𝐾 · 𝑋) = (𝑀 · 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2106  {crab 3093  ifcif 4306   class class class wbr 4886  cmpt 4965  ran crn 5356  cfv 6135  (class class class)co 6922  Fincfn 8241  0cc0 10272  cmin 10606  0cn0 11642  cz 11728  chash 13435  cdvds 15387  Basecbs 16255  0gc0g 16486  Grpcgrp 17809  .gcmg 17927  odcod 18328  CycGrpccyg 18665  ℤRHomczrh 20244  ℤ/nczn 20247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-ec 8028  df-qs 8032  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-dvds 15388  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-0g 16488  df-imas 16554  df-qus 16555  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-mulg 17928  df-subg 17975  df-nsg 17976  df-eqg 17977  df-ghm 18042  df-od 18332  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-cyg 18666  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-rnghom 19104  df-subrg 19170  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-lidl 19571  df-rsp 19572  df-2idl 19629  df-cnfld 20143  df-zring 20215  df-zrh 20248  df-zn 20251
This theorem is referenced by:  cygznlem2a  20311  cygznlem3  20313
  Copyright terms: Public domain W3C validator