![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cygznlem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for cygzn 21465. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
cygzn.b | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
cygzn.n | โข ๐ = if(๐ต โ Fin, (โฏโ๐ต), 0) |
cygzn.y | โข ๐ = (โค/nโคโ๐) |
cygzn.m | โข ยท = (.gโ๐บ) |
cygzn.l | โข ๐ฟ = (โคRHomโ๐) |
cygzn.e | โข ๐ธ = {๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} |
cygzn.g | โข (๐ โ ๐บ โ CycGrp) |
cygzn.x | โข (๐ โ ๐ โ ๐ธ) |
Ref | Expression |
---|---|
cygznlem1 | โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ((๐ฟโ๐พ) = (๐ฟโ๐) โ (๐พ ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cygzn.n | . . . . 5 โข ๐ = if(๐ต โ Fin, (โฏโ๐ต), 0) | |
2 | hashcl 14321 | . . . . . . 7 โข (๐ต โ Fin โ (โฏโ๐ต) โ โ0) | |
3 | 2 | adantl 481 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ต โ Fin) โ (โฏโ๐ต) โ โ0) |
4 | 0nn0 12491 | . . . . . . 7 โข 0 โ โ0 | |
5 | 4 | a1i 11 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ยฌ ๐ต โ Fin) โ 0 โ โ0) |
6 | 3, 5 | ifclda 4558 | . . . . 5 โข (๐ โ if(๐ต โ Fin, (โฏโ๐ต), 0) โ โ0) |
7 | 1, 6 | eqeltrid 2831 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
8 | 7 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ๐ โ โ0) |
9 | simprl 768 | . . 3 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ๐พ โ โค) | |
10 | simprr 770 | . . 3 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ๐ โ โค) | |
11 | cygzn.y | . . . 4 โข ๐ = (โค/nโคโ๐) | |
12 | cygzn.l | . . . 4 โข ๐ฟ = (โคRHomโ๐) | |
13 | 11, 12 | zndvds 21444 | . . 3 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ฟโ๐พ) = (๐ฟโ๐) โ ๐ โฅ (๐พ โ ๐))) |
14 | 8, 9, 10, 13 | syl3anc 1368 | . 2 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ((๐ฟโ๐พ) = (๐ฟโ๐) โ ๐ โฅ (๐พ โ ๐))) |
15 | cygzn.g | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐บ โ CycGrp) | |
16 | cyggrp 19810 | . . . . . . 7 โข (๐บ โ CycGrp โ ๐บ โ Grp) | |
17 | 15, 16 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐บ โ Grp) |
18 | cygzn.x | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ ๐ธ) | |
19 | cygzn.b | . . . . . . 7 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
20 | cygzn.m | . . . . . . 7 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
21 | cygzn.e | . . . . . . 7 โข ๐ธ = {๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} | |
22 | eqid 2726 | . . . . . . 7 โข (odโ๐บ) = (odโ๐บ) | |
23 | 19, 20, 21, 22 | cyggenod2 19805 | . . . . . 6 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ โ ๐ธ) โ ((odโ๐บ)โ๐) = if(๐ต โ Fin, (โฏโ๐ต), 0)) |
24 | 17, 18, 23 | syl2anc 583 | . . . . 5 โข (๐ โ ((odโ๐บ)โ๐) = if(๐ต โ Fin, (โฏโ๐ต), 0)) |
25 | 24, 1 | eqtr4di 2784 | . . . 4 โข (๐ โ ((odโ๐บ)โ๐) = ๐) |
26 | 25 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ((odโ๐บ)โ๐) = ๐) |
27 | 26 | breq1d 5151 | . 2 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ (((odโ๐บ)โ๐) โฅ (๐พ โ ๐) โ ๐ โฅ (๐พ โ ๐))) |
28 | 17 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ๐บ โ Grp) |
29 | 19, 20, 21 | iscyggen 19800 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ธ โ (๐ โ ๐ต โง ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐)) = ๐ต)) |
30 | 29 | simplbi 497 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ธ โ ๐ โ ๐ต) |
31 | 18, 30 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
32 | 31 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ๐ โ ๐ต) |
33 | eqid 2726 | . . . 4 โข (0gโ๐บ) = (0gโ๐บ) | |
34 | 19, 22, 20, 33 | odcong 19469 | . . 3 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ โ ๐ต โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ (((odโ๐บ)โ๐) โฅ (๐พ โ ๐) โ (๐พ ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
35 | 28, 32, 9, 10, 34 | syl112anc 1371 | . 2 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ (((odโ๐บ)โ๐) โฅ (๐พ โ ๐) โ (๐พ ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
36 | 14, 27, 35 | 3bitr2d 307 | 1 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ((๐ฟโ๐พ) = (๐ฟโ๐) โ (๐พ ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 {crab 3426 ifcif 4523 class class class wbr 5141 โฆ cmpt 5224 ran crn 5670 โcfv 6537 (class class class)co 7405 Fincfn 8941 0cc0 11112 โ cmin 11448 โ0cn0 12476 โคcz 12562 โฏchash 14295 โฅ cdvds 16204 Basecbs 17153 0gc0g 17394 Grpcgrp 18863 .gcmg 18995 odcod 19444 CycGrpccyg 19797 โคRHomczrh 21386 โค/nโคczn 21389 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-inf2 9638 ax-cnex 11168 ax-resscn 11169 ax-1cn 11170 ax-icn 11171 ax-addcl 11172 ax-addrcl 11173 ax-mulcl 11174 ax-mulrcl 11175 ax-mulcom 11176 ax-addass 11177 ax-mulass 11178 ax-distr 11179 ax-i2m1 11180 ax-1ne0 11181 ax-1rid 11182 ax-rnegex 11183 ax-rrecex 11184 ax-cnre 11185 ax-pre-lttri 11186 ax-pre-lttrn 11187 ax-pre-ltadd 11188 ax-pre-mulgt0 11189 ax-pre-sup 11190 ax-addf 11191 ax-mulf 11192 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-se 5625 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-isom 6546 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-tpos 8212 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-oadd 8471 df-omul 8472 df-er 8705 df-ec 8707 df-qs 8711 df-map 8824 df-en 8942 df-dom 8943 df-sdom 8944 df-fin 8945 df-sup 9439 df-inf 9440 df-oi 9507 df-card 9936 df-acn 9939 df-pnf 11254 df-mnf 11255 df-xr 11256 df-ltxr 11257 df-le 11258 df-sub 11450 df-neg 11451 df-div 11876 df-nn 12217 df-2 12279 df-3 12280 df-4 12281 df-5 12282 df-6 12283 df-7 12284 df-8 12285 df-9 12286 df-n0 12477 df-z 12563 df-dec 12682 df-uz 12827 df-rp 12981 df-fz 13491 df-fl 13763 df-mod 13841 df-seq 13973 df-exp 14033 df-hash 14296 df-cj 15052 df-re 15053 df-im 15054 df-sqrt 15188 df-abs 15189 df-dvds 16205 df-struct 17089 df-sets 17106 df-slot 17124 df-ndx 17136 df-base 17154 df-ress 17183 df-plusg 17219 df-mulr 17220 df-starv 17221 df-sca 17222 df-vsca 17223 df-ip 17224 df-tset 17225 df-ple 17226 df-ds 17228 df-unif 17229 df-0g 17396 df-imas 17463 df-qus 17464 df-mgm 18573 df-sgrp 18652 df-mnd 18668 df-mhm 18713 df-grp 18866 df-minusg 18867 df-sbg 18868 df-mulg 18996 df-subg 19050 df-nsg 19051 df-eqg 19052 df-ghm 19139 df-od 19448 df-cmn 19702 df-abl 19703 df-cyg 19798 df-mgp 20040 df-rng 20058 df-ur 20087 df-ring 20140 df-cring 20141 df-oppr 20236 df-dvdsr 20259 df-rhm 20374 df-subrng 20446 df-subrg 20471 df-lmod 20708 df-lss 20779 df-lsp 20819 df-sra 21021 df-rgmod 21022 df-lidl 21067 df-rsp 21068 df-2idl 21107 df-cnfld 21241 df-zring 21334 df-zrh 21390 df-zn 21393 |
This theorem is referenced by: cygznlem2a 21462 cygznlem3 21464 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |