![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cygznlem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma for cygzn 21508. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
cygzn.b | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
cygzn.n | โข ๐ = if(๐ต โ Fin, (โฏโ๐ต), 0) |
cygzn.y | โข ๐ = (โค/nโคโ๐) |
cygzn.m | โข ยท = (.gโ๐บ) |
cygzn.l | โข ๐ฟ = (โคRHomโ๐) |
cygzn.e | โข ๐ธ = {๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} |
cygzn.g | โข (๐ โ ๐บ โ CycGrp) |
cygzn.x | โข (๐ โ ๐ โ ๐ธ) |
Ref | Expression |
---|---|
cygznlem1 | โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ((๐ฟโ๐พ) = (๐ฟโ๐) โ (๐พ ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cygzn.n | . . . . 5 โข ๐ = if(๐ต โ Fin, (โฏโ๐ต), 0) | |
2 | hashcl 14347 | . . . . . . 7 โข (๐ต โ Fin โ (โฏโ๐ต) โ โ0) | |
3 | 2 | adantl 480 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ๐ต โ Fin) โ (โฏโ๐ต) โ โ0) |
4 | 0nn0 12517 | . . . . . . 7 โข 0 โ โ0 | |
5 | 4 | a1i 11 | . . . . . 6 โข ((๐ โง ยฌ ๐ต โ Fin) โ 0 โ โ0) |
6 | 3, 5 | ifclda 4559 | . . . . 5 โข (๐ โ if(๐ต โ Fin, (โฏโ๐ต), 0) โ โ0) |
7 | 1, 6 | eqeltrid 2829 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ โ0) |
8 | 7 | adantr 479 | . . 3 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ๐ โ โ0) |
9 | simprl 769 | . . 3 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ๐พ โ โค) | |
10 | simprr 771 | . . 3 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ๐ โ โค) | |
11 | cygzn.y | . . . 4 โข ๐ = (โค/nโคโ๐) | |
12 | cygzn.l | . . . 4 โข ๐ฟ = (โคRHomโ๐) | |
13 | 11, 12 | zndvds 21487 | . . 3 โข ((๐ โ โ0 โง ๐พ โ โค โง ๐ โ โค) โ ((๐ฟโ๐พ) = (๐ฟโ๐) โ ๐ โฅ (๐พ โ ๐))) |
14 | 8, 9, 10, 13 | syl3anc 1368 | . 2 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ((๐ฟโ๐พ) = (๐ฟโ๐) โ ๐ โฅ (๐พ โ ๐))) |
15 | cygzn.g | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐บ โ CycGrp) | |
16 | cyggrp 19849 | . . . . . . 7 โข (๐บ โ CycGrp โ ๐บ โ Grp) | |
17 | 15, 16 | syl 17 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐บ โ Grp) |
18 | cygzn.x | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ ๐ธ) | |
19 | cygzn.b | . . . . . . 7 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
20 | cygzn.m | . . . . . . 7 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
21 | cygzn.e | . . . . . . 7 โข ๐ธ = {๐ฅ โ ๐ต โฃ ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐ฅ)) = ๐ต} | |
22 | eqid 2725 | . . . . . . 7 โข (odโ๐บ) = (odโ๐บ) | |
23 | 19, 20, 21, 22 | cyggenod2 19844 | . . . . . 6 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ โ ๐ธ) โ ((odโ๐บ)โ๐) = if(๐ต โ Fin, (โฏโ๐ต), 0)) |
24 | 17, 18, 23 | syl2anc 582 | . . . . 5 โข (๐ โ ((odโ๐บ)โ๐) = if(๐ต โ Fin, (โฏโ๐ต), 0)) |
25 | 24, 1 | eqtr4di 2783 | . . . 4 โข (๐ โ ((odโ๐บ)โ๐) = ๐) |
26 | 25 | adantr 479 | . . 3 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ((odโ๐บ)โ๐) = ๐) |
27 | 26 | breq1d 5153 | . 2 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ (((odโ๐บ)โ๐) โฅ (๐พ โ ๐) โ ๐ โฅ (๐พ โ ๐))) |
28 | 17 | adantr 479 | . . 3 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ๐บ โ Grp) |
29 | 19, 20, 21 | iscyggen 19839 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ธ โ (๐ โ ๐ต โง ran (๐ โ โค โฆ (๐ ยท ๐)) = ๐ต)) |
30 | 29 | simplbi 496 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ธ โ ๐ โ ๐ต) |
31 | 18, 30 | syl 17 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ โ ๐ต) |
32 | 31 | adantr 479 | . . 3 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ๐ โ ๐ต) |
33 | eqid 2725 | . . . 4 โข (0gโ๐บ) = (0gโ๐บ) | |
34 | 19, 22, 20, 33 | odcong 19508 | . . 3 โข ((๐บ โ Grp โง ๐ โ ๐ต โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ (((odโ๐บ)โ๐) โฅ (๐พ โ ๐) โ (๐พ ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
35 | 28, 32, 9, 10, 34 | syl112anc 1371 | . 2 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ (((odโ๐บ)โ๐) โฅ (๐พ โ ๐) โ (๐พ ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
36 | 14, 27, 35 | 3bitr2d 306 | 1 โข ((๐ โง (๐พ โ โค โง ๐ โ โค)) โ ((๐ฟโ๐พ) = (๐ฟโ๐) โ (๐พ ยท ๐) = (๐ ยท ๐))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 {crab 3419 ifcif 4524 class class class wbr 5143 โฆ cmpt 5226 ran crn 5673 โcfv 6543 (class class class)co 7416 Fincfn 8962 0cc0 11138 โ cmin 11474 โ0cn0 12502 โคcz 12588 โฏchash 14321 โฅ cdvds 16230 Basecbs 17179 0gc0g 17420 Grpcgrp 18894 .gcmg 19027 odcod 19483 CycGrpccyg 19836 โคRHomczrh 21429 โค/nโคczn 21432 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-rep 5280 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7738 ax-inf2 9664 ax-cnex 11194 ax-resscn 11195 ax-1cn 11196 ax-icn 11197 ax-addcl 11198 ax-addrcl 11199 ax-mulcl 11200 ax-mulrcl 11201 ax-mulcom 11202 ax-addass 11203 ax-mulass 11204 ax-distr 11205 ax-i2m1 11206 ax-1ne0 11207 ax-1rid 11208 ax-rnegex 11209 ax-rrecex 11210 ax-cnre 11211 ax-pre-lttri 11212 ax-pre-lttrn 11213 ax-pre-ltadd 11214 ax-pre-mulgt0 11215 ax-pre-sup 11216 ax-addf 11217 ax-mulf 11218 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3769 df-csb 3885 df-dif 3942 df-un 3944 df-in 3946 df-ss 3956 df-pss 3959 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-tp 4629 df-op 4631 df-uni 4904 df-int 4945 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-se 5628 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7372 df-ov 7419 df-oprab 7420 df-mpo 7421 df-om 7869 df-1st 7991 df-2nd 7992 df-tpos 8230 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-1o 8485 df-oadd 8489 df-omul 8490 df-er 8723 df-ec 8725 df-qs 8729 df-map 8845 df-en 8963 df-dom 8964 df-sdom 8965 df-fin 8966 df-sup 9465 df-inf 9466 df-oi 9533 df-card 9962 df-acn 9965 df-pnf 11280 df-mnf 11281 df-xr 11282 df-ltxr 11283 df-le 11284 df-sub 11476 df-neg 11477 df-div 11902 df-nn 12243 df-2 12305 df-3 12306 df-4 12307 df-5 12308 df-6 12309 df-7 12310 df-8 12311 df-9 12312 df-n0 12503 df-z 12589 df-dec 12708 df-uz 12853 df-rp 13007 df-fz 13517 df-fl 13789 df-mod 13867 df-seq 13999 df-exp 14059 df-hash 14322 df-cj 15078 df-re 15079 df-im 15080 df-sqrt 15214 df-abs 15215 df-dvds 16231 df-struct 17115 df-sets 17132 df-slot 17150 df-ndx 17162 df-base 17180 df-ress 17209 df-plusg 17245 df-mulr 17246 df-starv 17247 df-sca 17248 df-vsca 17249 df-ip 17250 df-tset 17251 df-ple 17252 df-ds 17254 df-unif 17255 df-0g 17422 df-imas 17489 df-qus 17490 df-mgm 18599 df-sgrp 18678 df-mnd 18694 df-mhm 18739 df-grp 18897 df-minusg 18898 df-sbg 18899 df-mulg 19028 df-subg 19082 df-nsg 19083 df-eqg 19084 df-ghm 19172 df-od 19487 df-cmn 19741 df-abl 19742 df-cyg 19837 df-mgp 20079 df-rng 20097 df-ur 20126 df-ring 20179 df-cring 20180 df-oppr 20277 df-dvdsr 20300 df-rhm 20415 df-subrng 20487 df-subrg 20512 df-lmod 20749 df-lss 20820 df-lsp 20860 df-sra 21062 df-rgmod 21063 df-lidl 21108 df-rsp 21109 df-2idl 21148 df-cnfld 21284 df-zring 21377 df-zrh 21433 df-zn 21436 |
This theorem is referenced by: cygznlem2a 21505 cygznlem3 21507 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |