Theorem chrcong 21482

Description: If two integers are congruent relative to the ring characteristic, their images in the ring are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
chrcl.c	⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
chrid.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
chrid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chrcong	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝐿‘𝑀) = (𝐿‘𝑁)))

Proof of Theorem chrcong

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		chrcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
4	1, 2, 3	chrval 21478	. . . 4 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 𝐶
5	4	breq1i 5105	. . 3 ⊢ (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ 𝐶 ∥ (𝑀 − 𝑁))
6		ringgrp 20173	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Grp)
8		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 2	ringidcl 20200	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
14		chrid.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15	8, 1, 13, 14	odcong 19478	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
16	7, 10, 11, 12, 15	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
17	5, 16	bitr3id 285	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
18		chrid.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
19	18, 13, 2	zrhmulg 21464	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑀) = (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
20	19	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑀) = (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
21	18, 13, 2	zrhmulg 21464	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
22	21	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
23	20, 22	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑀) = (𝐿‘𝑁) ↔ (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
24	17, 23	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝐿‘𝑀) = (𝐿‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   − cmin 11364  ℤcz 12488   ∥ cdvds 16179  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  ._gcmg 18997  odcod 19453  1_rcur 20116  Ringcrg 20168  ℤRHomczrh 21454  chrcchr 21456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-od 19457  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-zrh 21458  df-chr 21460

This theorem is referenced by: (None)