MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chrcong Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chrcong 20348
Description: If two integers are congruent relative to the ring characteristic, their images in the ring are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
chrcl.c 𝐶 = (chr‘𝑅)
chrid.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
chrid.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
chrcong ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝐿𝑀) = (𝐿𝑁)))

Proof of Theorem chrcong
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . . 5 (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
2 eqid 2738 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3 chrcl.c . . . . 5 𝐶 = (chr‘𝑅)
41, 2, 3chrval 20344 . . . 4 ((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) = 𝐶
54breq1i 5037 . . 3 (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ∥ (𝑀𝑁) ↔ 𝐶 ∥ (𝑀𝑁))
6 ringgrp 19421 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
763ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Grp)
8 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
98, 2ringidcl 19440 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1093ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11 simp2 1138 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
12 simp3 1139 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
13 eqid 2738 . . . . 5 (.g𝑅) = (.g𝑅)
14 chrid.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
158, 1, 13, 14odcong 18795 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀(.g𝑅)(1r𝑅)) = (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅))))
167, 10, 11, 12, 15syl112anc 1375 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r𝑅)) ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀(.g𝑅)(1r𝑅)) = (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅))))
175, 16bitr3id 288 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀(.g𝑅)(1r𝑅)) = (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅))))
18 chrid.l . . . . 5 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
1918, 13, 2zrhmulg 20330 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) = (𝑀(.g𝑅)(1r𝑅)))
20193adant3 1133 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀) = (𝑀(.g𝑅)(1r𝑅)))
2118, 13, 2zrhmulg 20330 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿𝑁) = (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅)))
22213adant2 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿𝑁) = (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅)))
2320, 22eqeq12d 2754 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿𝑀) = (𝐿𝑁) ↔ (𝑀(.g𝑅)(1r𝑅)) = (𝑁(.g𝑅)(1r𝑅))))
2417, 23bitr4d 285 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝐿𝑀) = (𝐿𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  cmin 10948  cz 12062  cdvds 15699  Basecbs 16586  0gc0g 16816  Grpcgrp 18219  .gcmg 18342  odcod 18770  1rcur 19370  Ringcrg 19416  ℤRHomczrh 20320  chrcchr 20322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-inf 8980  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-rp 12473  df-fz 12982  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-dvds 15700  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-mhm 18072  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-sbg 18224  df-mulg 18343  df-subg 18394  df-ghm 18474  df-od 18774  df-cmn 19026  df-mgp 19359  df-ur 19371  df-ring 19418  df-cring 19419  df-rnghom 19589  df-subrg 19652  df-cnfld 20218  df-zring 20290  df-zrh 20324  df-chr 20326
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator