Theorem chrcong 21462

Description: If two integers are congruent relative to the ring characteristic, their images in the ring are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
chrcl.c	⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
chrid.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
chrid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chrcong	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝐿‘𝑀) = (𝐿‘𝑁)))

Proof of Theorem chrcong

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		chrcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
4	1, 2, 3	chrval 21458	. . . 4 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 𝐶
5	4	breq1i 5098	. . 3 ⊢ (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ 𝐶 ∥ (𝑀 − 𝑁))
6		ringgrp 20154	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Grp)
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 2	ringidcl 20181	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
14		chrid.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15	8, 1, 13, 14	odcong 19459	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
16	7, 10, 11, 12, 15	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
17	5, 16	bitr3id 285	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
18		chrid.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
19	18, 13, 2	zrhmulg 21444	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑀) = (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
20	19	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑀) = (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
21	18, 13, 2	zrhmulg 21444	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
22	21	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
23	20, 22	eqeq12d 2747	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑀) = (𝐿‘𝑁) ↔ (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
24	17, 23	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝐿‘𝑀) = (𝐿‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   − cmin 11341  ℤcz 12465   ∥ cdvds 16160  Basecbs 17117  0_gc0g 17340  Grpcgrp 18843  ._gcmg 18977  odcod 19434  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  ℤRHomczrh 21434  chrcchr 21436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081  ax-addf 11082  ax-mulf 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-rp 12888  df-fz 13405  df-fl 13693  df-mod 13771  df-seq 13906  df-exp 13966  df-cj 15003  df-re 15004  df-im 15005  df-sqrt 15139  df-abs 15140  df-dvds 16161  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-mulg 18978  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-od 19438  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rhm 20388  df-subrng 20459  df-subrg 20483  df-cnfld 21290  df-zring 21382  df-zrh 21438  df-chr 21440

This theorem is referenced by: (None)