Theorem chrcong 21658

Description: If two integers are congruent relative to the ring characteristic, their images in the ring are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
chrcl.c	⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
chrid.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
chrid.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
chrcong	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝐿‘𝑀) = (𝐿‘𝑁)))

Proof of Theorem chrcong

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (od‘𝑅) = (od‘𝑅)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		chrcl.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (chr‘𝑅)
4	1, 2, 3	chrval 21654	. . . 4 ⊢ ((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) = 𝐶
5	4	breq1i 5117	. . 3 ⊢ (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ 𝐶 ∥ (𝑀 − 𝑁))
6		ringgrp 20321	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
7	6	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑅 ∈ Grp)
8		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
9	8, 2	ringidcl 20349	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
10	9	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
11		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
14		chrid.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15	8, 1, 13, 14	odcong 19620	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
16	7, 10, 11, 12, 15	syl112anc 1401	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((od‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
17	5, 16	bitr3id 288	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
18		chrid.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
19	18, 13, 2	zrhmulg 21640	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑀) = (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
20	19	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑀) = (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
21	18, 13, 2	zrhmulg 21640	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
22	21	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝑁) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
23	20, 22	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝑀) = (𝐿‘𝑁) ↔ (𝑀(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑁(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))))
24	17, 23	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐶 ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝐿‘𝑀) = (𝐿‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412   − cmin 11442  ℤcz 12592   ∥ cdvds 16311  Basecbs 17270  0_gc0g 17493  Grpcgrp 19001  ._gcmg 19134  odcod 19595  1_rcur 20264  Ringcrg 20316  ℤRHomczrh 21630  chrcchr 21632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180  ax-mulf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-dvds 16312  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-0g 17495  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mhm 18842  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-mulg 19135  df-subg 19190  df-ghm 19285  df-od 19599  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-cring 20319  df-rhm 20555  df-subrng 20632  df-subrg 20656  df-cnfld 21504  df-zring 21578  df-zrh 21634  df-chr 21636

This theorem is referenced by: (None)