Theorem plngrotlem3 29071

Description: Lemma for plngrot 29072. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
plngrot.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
plngrot.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
plngrot.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
plngrot.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
plngrotlem3.1	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}

Assertion

Ref	Expression
plngrotlem3	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐸   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡   𝑌,𝑎,𝑏,𝑡   𝑍,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem plngrotlem3

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		plngval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		plngval.1	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		plngval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
5		plngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		plngrot.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
8	7	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
9		plngrot.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10	9	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑌 ∈ 𝑃)
11		plngrot.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
12	11	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
13		plngrot.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
14	13	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑋 ≠ 𝑌)
15		plngrotlem3.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
16		simpllr 787	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑤 ∈ 𝑃)
17		simplr 780	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤))
18		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑌 ≠ 𝑤)
19	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18	plngrotlem2 29070	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
20	19	anasss 471	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤)) → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
21		eqid 2763	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
22	11	eldifad 3917	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
23	1	fvexi 6895	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
25	7	eldifad 3917	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
26	24, 25, 9, 13	nehash2 14507	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
27	1, 21, 2, 5, 22, 9, 26	tgbtwndiff 28775	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤))
28	20, 27	r19.29a 3173	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ⊆ wss 3905  {copab 5173  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  distcds 17314  TarskiGcstrkg 28696  Itvcitv 28702  LineGclng 28703  hlGcplng 29055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-s1 14630  df-s2 14881  df-s3 14882  df-trkgc 28717  df-trkgb 28718  df-trkgcb 28719  df-trkgld 28721  df-trkg 28722  df-cgrg 28780  df-leg 28852  df-hlg 28870  df-mir 28930  df-rag 28974  df-perpg 28976  df-hpg 29040  df-plng 29056

This theorem is referenced by:  plngrot  29072