Theorem plngrotlem3 29260

Description: Lemma for plngrot 29261. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
plngrot.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
plngrot.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
plngrot.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
plngrot.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
plngrotlem3.1	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}

Assertion

Ref	Expression
plngrotlem3	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐸   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡   𝑌,𝑎,𝑏,𝑡   𝑍,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎, 𝑏)   𝐸(𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem plngrotlem3

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		plngval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		plngval.1	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		plngval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
5		plngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		plngrot.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
8	7	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
9		plngrot.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10	9	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑌 ∈ 𝑃)
11		plngrot.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
12	11	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
13		plngrot.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
14	13	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑋 ≠ 𝑌)
15		plngrotlem3.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
16		simpllr 788	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑤 ∈ 𝑃)
17		simplr 781	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤))
18		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑌 ≠ 𝑤)
19	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18	plngrotlem2 29259	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
20	19	anasss 472	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤)) → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
21		eqid 2761	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
22	11	eldifad 3911	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
23	1	fvexi 6897	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
25	7	eldifad 3911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
26	24, 25, 9, 13	nehash2 14612	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
27	1, 21, 2, 5, 22, 9, 26	tgbtwndiff 28962	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤))
28	20, 27	r19.29a 3171	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {copab 5167  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  distcds 17430  TarskiGcstrkg 28882  Itvcitv 28888  LineGclng 28889  hlGcplng 29244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-concat 14709  df-s1 14736  df-s2 14992  df-s3 14993  df-trkgc 28903  df-trkgb 28904  df-trkgcb 28905  df-trkgld 28907  df-trkg 28908  df-cgrg 28967  df-leg 29039  df-hlg 29057  df-mir 29118  df-rag 29162  df-perpg 29164  df-hpg 29229  df-plng 29245

This theorem is used by:  plngrot  29261