Theorem plngrotlem3 29049

Description: Lemma for plngrot 29050. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
plngrot.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
plngrot.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
plngrot.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
plngrot.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
plngrotlem3.1	⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}

Assertion

Ref	Expression
plngrotlem3	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐸   𝐺,𝑎,𝑏,𝑡   𝐼,𝑎,𝑏,𝑡   𝐿,𝑎,𝑏,𝑡   𝑂,𝑎,𝑏,𝑡   𝑃,𝑎,𝑏,𝑡   𝑋,𝑎,𝑏,𝑡   𝑌,𝑎,𝑏,𝑡   𝑍,𝑎,𝑏,𝑡   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑎,𝑏)   𝐸(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem plngrotlem3

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		plngval.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		plngval.1	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		plngval.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
5		plngval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6	5	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝐺 ∈ TarskiG)
7		plngrot.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
8	7	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
9		plngrot.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
10	9	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑌 ∈ 𝑃)
11		plngrot.z	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
12	11	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
13		plngrot.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
14	13	ad3antrrr 742	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑋 ≠ 𝑌)
15		plngrotlem3.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎𝐼𝑏))}
16		simpllr 787	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑤 ∈ 𝑃)
17		simplr 780	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤))
18		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → 𝑌 ≠ 𝑤)
19	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17, 18	plngrotlem2 29048	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤)) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤) → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
20	19	anasss 471	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝑃) ∧ (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤)) → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
21		eqid 2770	. . 3 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
22	11	eldifad 3925	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑃)
23	1	fvexi 6899	. . . . 5 ⊢ 𝑃 ∈ V
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ V)
25	7	eldifad 3925	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
26	24, 25, 9, 13	nehash2 14514	. . 3 ⊢ (𝜑 → 2 ≤ (♯‘𝑃))
27	1, 21, 2, 5, 22, 9, 26	tgbtwndiff 28755	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑤 ∈ 𝑃 (𝑌 ∈ (𝑍𝐼𝑤) ∧ 𝑌 ≠ 𝑤))
28	20, 27	r19.29a 3180	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  ∃wrex 3096  Vcvv 3462   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {copab 5178  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  distcds 17322  TarskiGcstrkg 28676  Itvcitv 28682  LineGclng 28683  hlGcplng 29033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-oadd 8460  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-dju 9890  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12866  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-hash 14370  df-word 14554  df-concat 14611  df-s1 14637  df-s2 14888  df-s3 14889  df-trkgc 28697  df-trkgb 28698  df-trkgcb 28699  df-trkgld 28701  df-trkg 28702  df-cgrg 28760  df-leg 28832  df-hlg 28850  df-mir 28910  df-rag 28953  df-perpg 28955  df-hpg 29019  df-plng 29034

This theorem is referenced by:  plngrot  29050