Theorem plngrot 29261

Description: The plane defined by a line (𝑋𝐿𝑌) and a point 𝑍 is also defined by the line (𝑍𝐿𝑌) and the point 𝑋. See first part of Theorem 9.24 of [Schwabhauser] p. 74. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
plngrot.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
plngrot.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
plngrot.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
plngrot.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
plngrot	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) = ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

Proof of Theorem plngrot

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3		plngval.1	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		plngval.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
5		plngval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		plngrot.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
7		plngrot.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8		plngrot.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
9		plngrot.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
10		eleq1w 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))))
11		eleq1w 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))))
12	10, 11	bi2anan9 650	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))))
13		eleq1w 2844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑢 → (𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ 𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)))
14	13	cbvrexvw 3242	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))
15		oveq12 7427	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) = (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
16	15	eleq2d 2847	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ 𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
17	16	rexbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
18	14, 17	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
19	12, 18	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))))
20	19	cbvopabv 5178	. . 3 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))}
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20	plngrotlem3 29260	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
22		plngval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
23	6	eldifad 3911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
24	1, 22, 3, 5, 23, 7, 9	tglinerflx2 29095	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
25	8	eldifbd 3912	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
26		nelne2 3054	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
27	24, 25, 26	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
28	27	necomd 3011	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
29		eleq1w 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))))
30		eleq1w 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))))
31	29, 30	bi2anan9 650	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))))
32	13	cbvrexvw 3242	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))
33	16	rexbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
34	32, 33	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
35	31, 34	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))))
36	35	cbvopabv 5178	. . 3 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))}
37	1, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 6, 28, 36	plngrotlem3 29260	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋) ⊆ ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍))
38	21, 37	eqssd 3948	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) = ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896  {copab 5167  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  TarskiGcstrkg 28882  Itvcitv 28888  LineGclng 28889  hlGcplng 29244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-dju 9975  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-uz 12959  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-hash 14468  df-word 14652  df-concat 14709  df-s1 14736  df-s2 14992  df-s3 14993  df-trkgc 28903  df-trkgb 28904  df-trkgcb 28905  df-trkgld 28907  df-trkg 28908  df-cgrg 28967  df-leg 29039  df-hlg 29057  df-mir 29118  df-rag 29162  df-perpg 29164  df-hpg 29229  df-plng 29245

This theorem is used by:  lnssplnglem  29262  prlngex  29422  quadcgrprlng  29437