Theorem plngrot 29029

Description: The plane defined by a line (𝑋𝐿𝑌) and a point 𝑍 is also defined by the line (𝑍𝐿𝑌) and the point 𝑋. See first part of Theorem 9.24 of [Schwabhauser] p. 74. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
plngrot.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
plngrot.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
plngrot.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
plngrot.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
plngrot	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) = ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

Proof of Theorem plngrot

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3		plngval.1	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		plngval.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
5		plngval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		plngrot.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
7		plngrot.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8		plngrot.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
9		plngrot.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
10		eleq1w 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))))
11		eleq1w 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))))
12	10, 11	bi2anan9 649	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))))
13		eleq1w 2852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑢 → (𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ 𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)))
14	13	cbvrexvw 3250	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))
15		oveq12 7420	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) = (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
16	15	eleq2d 2855	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ 𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
17	16	rexbidv 3195	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
18	14, 17	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
19	12, 18	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))))
20	19	cbvopabv 5188	. . 3 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))}
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20	plngrotlem3 29028	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
22		plngval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
23	6	eldifad 3925	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
24	1, 22, 3, 5, 23, 7, 9	tglinerflx2 28868	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
25	8	eldifbd 3926	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
26		nelne2 3062	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
27	24, 25, 26	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
28	27	necomd 3019	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
29		eleq1w 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))))
30		eleq1w 2852	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))))
31	29, 30	bi2anan9 649	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))))
32	13	cbvrexvw 3250	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))
33	16	rexbidv 3195	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
34	32, 33	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
35	31, 34	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))))
36	35	cbvopabv 5188	. . 3 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))}
37	1, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 6, 28, 36	plngrotlem3 29028	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋) ⊆ ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍))
38	21, 37	eqssd 3962	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) = ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3910  {copab 5177  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  TarskiGcstrkg 28661  Itvcitv 28667  LineGclng 28668  hlGcplng 29012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-concat 14607  df-s1 14633  df-s2 14884  df-s3 14885  df-trkgc 28682  df-trkgb 28683  df-trkgcb 28684  df-trkgld 28686  df-trkg 28687  df-cgrg 28745  df-leg 28817  df-hlg 28835  df-mir 28891  df-rag 28932  df-perpg 28934  df-hpg 28998  df-plng 29013

This theorem is referenced by:  lnssplnglem  29030  prlngex  29153