Theorem plngrot 29275

Description: The plane defined by a line (𝑋𝐿𝑌) and a point 𝑍 is also defined by the line (𝑍𝐿𝑌) and the point 𝑋. See first part of Theorem 9.24 of [Schwabhauser] p. 74. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
plngrot.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
plngrot.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
plngrot.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
plngrot.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
plngrot	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) = ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

Proof of Theorem plngrot

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3		plngval.1	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		plngval.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
5		plngval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		plngrot.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
7		plngrot.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8		plngrot.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
9		plngrot.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
10		eleq1w 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))))
11		eleq1w 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))))
12	10, 11	bi2anan9 650	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))))
13		eleq1w 2843	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑢 → (𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ 𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)))
14	13	cbvrexvw 3241	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))
15		oveq12 7431	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) = (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
16	15	eleq2d 2846	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ 𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
17	16	rexbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
18	14, 17	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
19	12, 18	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))))
20	19	cbvopabv 5177	. . 3 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))}
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20	plngrotlem3 29274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
22		plngval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
23	6	eldifad 4050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
24	1, 22, 3, 5, 23, 7, 9	tglinerflx2 29109	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
25	8	eldifbd 4051	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
26		nelne2 3053	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
27	24, 25, 26	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
28	27	necomd 3010	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
29		eleq1w 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))))
30		eleq1w 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))))
31	29, 30	bi2anan9 650	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))))
32	13	cbvrexvw 3241	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))
33	16	rexbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
34	32, 33	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
35	31, 34	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))))
36	35	cbvopabv 5177	. . 3 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))}
37	1, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 6, 28, 36	plngrotlem3 29274	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋) ⊆ ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍))
38	21, 37	eqssd 3926	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) = ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ∖ cdif 4044  {copab 5166  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394  TarskiGcstrkg 28896  Itvcitv 28902  LineGclng 28903  hlGcplng 29258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-oadd 8485  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-dju 9987  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-n0 12612  df-xnn0 12685  df-z 12699  df-uz 12971  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-hash 14480  df-word 14664  df-concat 14721  df-s1 14748  df-s2 15005  df-s3 15006  df-trkgc 28917  df-trkgb 28918  df-trkgcb 28919  df-trkgld 28921  df-trkg 28922  df-cgrg 28981  df-leg 29053  df-hlg 29071  df-mir 29132  df-rag 29176  df-perpg 29178  df-hpg 29243  df-plng 29259

This theorem is used by:  lnssplnglem  29276  prlngex  29436  quadcgrprlng  29451