Theorem plngrot 28994

Description: The plane defined by a line (𝑋𝐿𝑌) and a point 𝑍 is also defined by the line (𝑍𝐿𝑌) and the point 𝑋. See first part of Theorem 9.24 of [Schwabhauser] p. 74. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
plngrot.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
plngrot.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
plngrot.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
plngrot.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
plngrot	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) = ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

Proof of Theorem plngrot

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3		plngval.1	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		plngval.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
5		plngval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		plngrot.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
7		plngrot.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8		plngrot.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
9		plngrot.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
10		eleq1w 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))))
11		eleq1w 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))))
12	10, 11	bi2anan9 647	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))))
13		eleq1w 2845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑢 → (𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ 𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)))
14	13	cbvrexvw 3241	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))
15		oveq12 7405	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) = (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
16	15	eleq2d 2848	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ 𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
17	16	rexbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
18	14, 17	bitrid 285	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
19	12, 18	anbi12d 641	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))))
20	19	cbvopabv 5173	. . 3 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))}
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20	plngrotlem3 28993	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
22		plngval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
23	6	eldifad 3916	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
24	1, 22, 3, 5, 23, 7, 9	tglinerflx2 28800	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
25	8	eldifbd 3917	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
26		nelne2 3055	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
27	24, 25, 26	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
28	27	necomd 3012	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
29		eleq1w 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))))
30		eleq1w 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))))
31	29, 30	bi2anan9 647	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))))
32	13	cbvrexvw 3241	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))
33	16	rexbidv 3186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
34	32, 33	bitrid 285	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
35	31, 34	anbi12d 641	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))))
36	35	cbvopabv 5173	. . 3 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))}
37	1, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 6, 28, 36	plngrotlem3 28993	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋) ⊆ ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍))
38	21, 37	eqssd 3953	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) = ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3901  {copab 5162  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  TarskiGcstrkg 28593  Itvcitv 28599  LineGclng 28600  hlGcplng 28977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-hash 14344  df-word 14527  df-concat 14584  df-s1 14610  df-s2 14861  df-s3 14862  df-trkgc 28614  df-trkgb 28615  df-trkgcb 28616  df-trkgld 28618  df-trkg 28619  df-cgrg 28677  df-leg 28749  df-hlg 28767  df-mir 28823  df-rag 28864  df-perpg 28866  df-hpg 28928  df-plng 28978

This theorem is referenced by:  lnssplnglem  28995