Theorem plngrot 29072

Description: The plane defined by a line (𝑋𝐿𝑌) and a point 𝑍 is also defined by the line (𝑍𝐿𝑌) and the point 𝑋. See first part of Theorem 9.24 of [Schwabhauser] p. 74. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
plngval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
plngval.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
plngval.1	⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
plngval.e	⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
plngval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
plngrot.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
plngrot.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
plngrot.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
plngrot.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
plngrot	⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) = ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

Proof of Theorem plngrot

Dummy variables 𝑡 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plngval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Itv‘𝐺) = (Itv‘𝐺)
3		plngval.1	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LineG‘𝐺)
4		plngval.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (hlG‘𝐺)
5		plngval.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		plngrot.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))
7		plngrot.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃)
8		plngrot.z	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))
9		plngrot.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
10		eleq1w 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))))
11		eleq1w 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))))
12	10, 11	bi2anan9 649	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)))))
13		eleq1w 2846	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑢 → (𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ 𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)))
14	13	cbvrexvw 3244	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))
15		oveq12 7419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) = (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))
16	15	eleq2d 2849	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ 𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
17	16	rexbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
18	14, 17	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
19	12, 18	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))))
20	19	cbvopabv 5184	. . 3 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑋𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑋𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))}
21	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20	plngrotlem3 29071	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) ⊆ ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))
22		plngval.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
23	6	eldifad 3917	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
24	1, 22, 3, 5, 23, 7, 9	tglinerflx2 28907	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
25	8	eldifbd 3918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌))
26		nelne2 3056	. . . . 5 ⊢ ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑌) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑋𝐿𝑌)) → 𝑌 ≠ 𝑍)
27	24, 25, 26	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑍)
28	27	necomd 3013	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 𝑌)
29		eleq1w 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ↔ 𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))))
30		eleq1w 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑑 → (𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ↔ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))))
31	29, 30	bi2anan9 649	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ↔ (𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)))))
32	13	cbvrexvw 3244	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))
33	16	rexbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
34	32, 33	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏) ↔ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑)))
35	31, 34	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑) → (((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏)) ↔ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))))
36	35	cbvopabv 5184	. . 3 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑏 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑡 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑡 ∈ (𝑎(Itv‘𝐺)𝑏))} = {⟨𝑐, 𝑑⟩ ∣ ((𝑐 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑃 ∖ (𝑍𝐿𝑌))) ∧ ∃𝑢 ∈ (𝑍𝐿𝑌)𝑢 ∈ (𝑐(Itv‘𝐺)𝑑))}
37	1, 2, 3, 4, 5, 8, 7, 6, 28, 36	plngrotlem3 29071	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋) ⊆ ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍))
38	21, 37	eqssd 3954	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋𝐿𝑌)𝐸𝑍) = ((𝑍𝐿𝑌)𝐸𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∖ cdif 3902  {copab 5173  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  TarskiGcstrkg 28696  Itvcitv 28702  LineGclng 28703  hlGcplng 29055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-concat 14604  df-s1 14630  df-s2 14881  df-s3 14882  df-trkgc 28717  df-trkgb 28718  df-trkgcb 28719  df-trkgld 28721  df-trkg 28722  df-cgrg 28780  df-leg 28852  df-hlg 28870  df-mir 28930  df-rag 28974  df-perpg 28976  df-hpg 29040  df-plng 29056

This theorem is referenced by:  lnssplnglem  29073  prlngex  29201  quadcgrprlng  29216