Theorem ply1sca2 19897

Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ply1lmod.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ply1sca2	⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)

Proof of Theorem ply1sca2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvi 6444	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
2		ply1lmod.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3	2	ply1sca 19896	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
4	1, 3	eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃))
5		fvprc 6368	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
6		fvprc 6368	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Poly1‘𝑅) = ∅)
7	6	fveq2d 6379	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Scalar‘(Poly1‘𝑅)) = (Scalar‘∅))
8	2	fveq2i 6378	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘(Poly1‘𝑅))
9		df-sca 16230	. . . . 5 ⊢ Scalar = Slot 5
10	9	str0 16183	. . . 4 ⊢ ∅ = (Scalar‘∅)
11	7, 8, 10	3eqtr4g 2824	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (Scalar‘𝑃) = ∅)
12	5, 11	eqtr4d 2802	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃))
13	4, 12	pm2.61i 176	1 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  Vcvv 3350  ∅c0 4079   I cid 5184  ‘cfv 6068  5c5 11330  Scalarcsca 16217  Poly₁cpl1 19820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-fz 12534  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-tset 16233  df-ple 16234  df-psr 19630  df-opsr 19634  df-psr1 19823  df-ply1 19825

This theorem is referenced by:  ply1tmcl  19915  ply1scltm  19924  ply1sclf  19928  ply1scl0  19933  ply1scl1  19935  deg1invg  24157