MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ply1sca2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1sca2 20357
Description: Scalars of a univariate polynomial ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ply1lmod.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
Assertion
Ref Expression
ply1sca2 ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)

Proof of Theorem ply1sca2
StepHypRef Expression
1 fvi 6739 . . 3 (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
2 ply1lmod.p . . . 4 𝑃 = (Poly1𝑅)
32ply1sca 20356 . . 3 (𝑅 ∈ V → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
41, 3eqtrd 2861 . 2 (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃))
5 fvprc 6662 . . 3 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
6 fvprc 6662 . . . . 5 𝑅 ∈ V → (Poly1𝑅) = ∅)
76fveq2d 6673 . . . 4 𝑅 ∈ V → (Scalar‘(Poly1𝑅)) = (Scalar‘∅))
82fveq2i 6672 . . . 4 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘(Poly1𝑅))
9 df-sca 16576 . . . . 5 Scalar = Slot 5
109str0 16530 . . . 4 ∅ = (Scalar‘∅)
117, 8, 103eqtr4g 2886 . . 3 𝑅 ∈ V → (Scalar‘𝑃) = ∅)
125, 11eqtr4d 2864 . 2 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃))
134, 12pm2.61i 183 1 ( I ‘𝑅) = (Scalar‘𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3500  c0 4295   I cid 5458  cfv 6354  5c5 11689  Scalarcsca 16563  Poly1cpl1 20280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12888  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-tset 16579  df-ple 16580  df-psr 20071  df-opsr 20075  df-psr1 20283  df-ply1 20285
This theorem is referenced by:  ply1tmcl  20375  ply1scltm  20384  ply1sclf  20388  ply1scl0  20393  ply1scl1  20395  deg1invg  24634
  Copyright terms: Public domain W3C validator